2.9 线性方程组有解的条件

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二、线性方程组的初等变换及有解条件
线性方程组的初等变换
在中学我们学过用加减消元法求解二元、三元线性 方程组.实际上, 这种方法解方程组具有普遍性.下面就来 介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.
例 求解
线性方程组 (1) (2) (3) (4)
2 x1 2 x2 x3 1, 2 x 3 x 5 x 7, 1 2 3 x2 x3 1, 2 x1 16 x2 14 x3 24,
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总结消元的过程：
把含有未知量x1的方程放到方程组的 第一个位置（必要时通过互换）， 消去其他方程中含有的x1
最后得到一个阶梯型的方程组 我们再看一个复杂一点的例子
例1 解方程组 2 x1 x2 x3 x4 2 x x 2x x 4 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9
x1 x 2 2 x 3 x 4 4 2x x x x 2 ①② 1 2 3 4 ③÷2 2x1 3 x 2 x 3 x 4 2 3 x1 6 x 2 9 x 3 7 x 4 9 x1 x 2 2 x 3 x 4 4 ②÷2 x2 x3 x4 0 ③ + 5② 2 x 4 6 ④－3② x 4 3
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四、线性方程组的初等变换和有解条件
定理 Amn x b 有解 r ( A) r( A)
证 设方程组Ax b有解，
1 0 b 1 0 行 b 变 2 0 0 bm 0 x1 1 0 0 0
行最简形
0 0 b11 b1, n r 0 b21 1 br 1 0 0 0 0 0 b2, n r br ,n r 0 0 0 d1 d2 dr d r 1 0 0
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当bi 0 (i 1, 2, , m )时, 齐次线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n am 1 x1 am 2 x2 amn xn 称为方程组（1）的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。 0 0 (2) 0
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§2.9 线性方程组有解的条件
问题：
什么时候线性方程组有解？ 什么时候无解？ 有解时什么时候是唯一解？ 什么时候是无穷解？
解决：利用系数矩阵 A 和增广矩阵 A 的秩， 讨论线性方程组 Ax b 的解．
§2.9 线性方程组有解的条件
一、线性方程组的基本概念及其矩阵表示
设一般线性方程组为 a11 x1 a x 21 1 am 1 x1 a12 x2 a1n xn b1 (1) a22 x2 am 2 x2 a2 n xn amn xn b2 bm
①－③ ②–③ ①–②
x1 x2 2 x3 x4 4 2 x2 2 x3 2 x4 0 ④－3① 5 x2 5 x3 3 x4 6 3 x2 3 x3 4 x4 3 x1 x 2 2 x 3 x 4 4 ③④ x2 x3 x4 0 ④－2③ x 4 3 0= 0 阶梯形 0 0 自由未知量 x1 c 4 x2 2 4x 3 7 x1 x 3 4 x1 3 x c 3 2 x32 3x 3 3x2 x3 3 x2 x x c x c 3 3 x 4 x 34 3x4 3 x4 3
xn d n
若r ( A) r ( A)＝n, 有唯一解 定理 Amn x b 有解
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若r ( A) r ( A) n, 有无穷多的解 r ( A) r ( A) 1 0 0 b11 b1,n r d1 0 1 0 b b d 证 21 2, n r 2 a11 a12 a1 n b1 行 a 0 0 1 b b d 变 r1 r ,n r r 21 a22 a2 n b2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 am 1 am 2 amn bm 0 0 0 0 0 0 x1 x2 xr xr 1 xn bb x cr11 b12 b12 c2x b1, n br1, cnnrrx 1d1 xx 1 1 11 11 r 2 n d xx bb x cr11 b22 b22 c2x b2, nb cnnrrx 2d 2 2 2 21 21 r 2 r 2, n d (c1 ( ,x cr2 crn2r 为任意常数） xn为自由变量） 1, x xx bb x cr11 bb x br rd r r r r1 r1 r2 rc 22 r 2 ,n b r rc ,n n rrx n d
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其中x1 ,x2 , , xn代表n个未知量，m是方程的个数,aij 称为 方程组的系数， b j ( j 1, 2, , m )称为常数项.
对线性方程组(1),如果常数项b1 , b2 , , bm不全为零时，则称它为 非齐次线性方程组；如果常数项b1 , b2 , , bm 全为零时，则称它为 齐次线性方程组.
过程：消元＋回代
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2 x1 2 x2 x3 1, (1) 2 x1 2 x2 x3 1, 2 x 3 x 5 x 7, 5 x2 4 x3 6, (2) ( 2)(1) 1 2 3 (4)(1) x2 x3 1, x x 1, (3) 2 3 18 x2 13 x3 23, (4) 2 x1 16 x2 14 x3 24, 2 x1 2 x2 x3 1, 2 x1 2 x2 x3 1, x x 1, x2 x3 1, 2 3 ( 2)( 3) ( 3) 5 ( 2) (4)18 ( 2) 5 x2 4 x3 6, x3 1, 18 x2 13 x3 23, 5 x3 5,
2 x1 2 x2 x3 1, 2 x1 2 x2 x3 1, (4) 5 ( 3) ( 3) 代入 ( 2) x2 x3 1, x2 2, x 1, x 1, x1 3, 3 3 ( 2)、 ( 3) 代入 (1) x2 2, x 1, 3
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① x1 x 2 2 x 3 x 4 4 ② 4 x1 6 x 2 2x 3 2 x 4 4 ③ 3 x1 6 x 2 9 x 3 7 x 4 9 ④
2 x1 x 2 x 3 x 4 2
同 解 变 换
(I)
交换方程顺序
a11 a 21 am 1
a12 a22 am 2
a1 n a2 n amn
0 0
x2 xr
xr 1 xn
显然 Amn x b 有解 r ( A) r( A), 也就是d r 1 0
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定理 Amn x b 有解 r ( A) r ( A) 若r ( A) r ( A)＝n, 有唯一解 证 若r ( A) r ( A) n, 有无穷多的解 自变量的个数 a11 a12 a1 n b1 1 0 0 0 0 0 b11 0 b1,d d1 1 n r 1 a 0 1 0 b b d a a b 21 22 2 n 2 行 变 n 2 0 1 0 021 0 2,d 2r d a a a b 0 0 1 b b m2 mn m m1 n r 0 0 0 0r 1 1 r ,d nr 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 d r 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 x1 d1 x d 2 2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 x1 x2 xr xr 1 xn
(II) 以数k (≠0)乘某个方程 (III)一个方程加上另一个 方程的 k 倍 均可逆
②－③ ③－2①
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定义：线性方程组的初等变换 (1) (2) (3) 用一非零的数乘某一方程 把一个方程的倍数加到另一个方程 互换两个方程的位置
可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换，所得到 的新的线性方程组与原方程组同解 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩 阵做初等行变换
பைடு நூலகம்
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对于齐次线性方程组(2)， x1 =x2 = = xn =0一定是它的解，这 个解称为齐次线性方程组(2) 的零解，如果一组不全为零的数 是齐次线性方程组(2)的解，则称之为齐次线性方程组(2)的 非零解，齐次线性方程组(2)一定有零解，但不一定有非零解.
利用矩阵的乘法，线性方程组(1)可以写成向量(矩阵)形式： Ax b, a11 a12 a1n x1 b1 a x b a a 22 2n 其中， A 21 , x 2 ,b 2 . a a a x m2 mn m1 n bm 则称矩阵A为方程组(1)的系数矩阵。 x称为未知量矩阵，b称为常数项矩阵.
初等行变换 B ( A, b) 阶梯形
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三、消元法
在具体求解线性方程组时,消元法是最有效且最基本的方法.
用消元法求解线性方程组的具体步骤归纳如下:
(1) 写出线性方程组的增广矩阵 B ( A, b); (2) 对增广矩阵 B ( A, b)进行初等行变换, 把他化为行 阶梯形矩阵; (3) 由行阶梯形矩阵判断方程组解的情况; (4) 在有解的情形下,由行阶梯形矩阵写出同解方程组, 并求出方程组的解.