2021-2022年高考数学一轮复习专题2.8指数式与对数式讲

2021年高考数学一轮复习专题2.8指数式与对数式讲
【考纲解读】
内 容
要 求
备注
A B C
函数概念与基本初等
函数Ⅰ
指数函数的图象与性质
√
1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
2．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，
理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像的特征，知
道指数函数是一重要的函数模型．
【直击考点】
题组一 常识题
1．[教材改编] 计算213×4－2
3＝________．
【解析】213×4－23＝213×(22)－23＝213－43＝2－1
＝12.
2．[教材改编] 给出下列函数：(1)y ＝5·3x ；(2)y ＝4x －1
；(3)y ＝x 3；(4)y ＝2x
＋1；(5)y
＝42x
，其中是指数函数的有________个．
据指数函数的定义，只有满足形如y ＝a x (a >0，a ≠1)的函数才是指数函数．因为y ＝42x
＝16x
，所以y ＝42x
是指数函数．
3．[教材改编] 若函数f (x )＝a x
(a >0，且a ≠1)的图像经过点(－1，3)，则f (2)＝________．
4．[教材改编] 函数y ＝1－3x
的定义域为 ________. 【解析】要使函数有意义，需1－3x
≥0，得x ≤0. 5．[教材改编] 函数y ＝a
x －1
＋2(a >0且a ≠1)的图像恒过定点________．
【解析】令x －1＝0，得x ＝1，又y ＝a 0
＋2＝3，所以图像恒过定点(1，3)． 题组二 常错题
6．当x ∈[－2，2]时，a x
<2(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________． 【解析】当x ∈[－2，2]时，a x
<2(a >0且a ≠1)，当a >1时，y ＝a x
是一个增函数，则有
a 2<2
，可得－2<a <2，故有1<a <2；当0<a <1时，y ＝a x 是一个减函数，则有a －2<2，可得a >
22或a <－22(舍)，故有22<a <1.综上可得，a ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
22，1∪(1，2)． 7．设函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ＞0)满足f (1－x )＝f (1＋x )，则f (2x )与f (3x
)的大小关系是____________．
题组三 常考题
8． 设a ＝2－1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122
3，c ＝4－2
，则a ，b ，c 的大小关系为________________．
【解析】a ＝2－1，b ＝2－23
，c ＝2－4，因为y ＝2x
是R 上的增函数，所以b >a >c .
9．设函数f (x )＝则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是
________．
【解析】当x <1时，e
x －1
≤2，即e
x －1
≤e ln 2
，得
x ≤1＋ln 2，所以x <1；当x ≥1时，x 12
≤2＝412
，得x ≤4，所以1≤x ≤4.综上x ≤4.
10． 若存在正数x 使2x
(x －a )<1成立，则a 的取值范围是________．
【解析】由题意存在正数x 使得a >x －12x 成立，即a >⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x min .由于y ＝x －12x 是(0，＋∞)上的增函数，故x －12x >0－1
2
0＝－1，所以a >－1.
【知识清单】1 根式与指数幂的运算
1．()(*)
(
(0)
(
(0)
n
n
n n
a a n N
a n
a a a
a n
a a
⎧=∈
⎪
⎧
⎨⎪
=≥
⎧
⎨
⎪=
⎨
⎪
⎪-<
⎩
⎩
⎩
为奇数）
为偶数）
2. 有理数指数幂的运算性质:
①;
②;
③.
2对数式与对数式的运算
1.①log a1＝0；②log a a＝1；③；④.
2. ①log a(M·N)＝log a M＋log a N，
②log a
M
N
＝log a M－log a N，
③log a M n＝n log a M(n∈R)
【考点深度剖析】
与指数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．
【重点难点突破】
考点1 根式与指数幂的运算
【1-1】给出下列命题:
①与都等于(n∈N*);②；③函数与都不是指数函数；④若（），则．其中正确的是. 【答案】③
【1-2】化简：
1
60.250
34
2
16
(23)4()28( 2.015)
49
-
---
【答案】98
【解析】原式＝1111
663
23 32
44
7
2342212372198
4
⨯⨯⨯
⋅-⨯-⋅-=⋅---=．
【1-3】
33
1122
22
11
22
m m
m m4.
m m
-
-
-
-
+=
-
，求
【答案】15．
【思想方法】
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. 【温馨提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
考点2 对数式与对数式的运算
【2-1】若，则.
【答案】.
【解析】由，得，即，，所以．
【2-2】设2a＝5b＝m，且
1
a
＋
1
b
＝2，则m＝
【答案】.
【解析】由题意a＝log2m，b＝log5m，代入
1
a
＋
1
b
＝2得log m2＋log m5＝2，即log m10＝2，所以m＝10.
【2-3】已知log147＝a，14b＝5，则log3528等于________．(用a，b表示)
【答案】．
【解析】因为14b＝5，所以b＝log145，所以a＋b＝log147＋log145＝log1435，1－a＝1－log147＝log142.由换底公式得，log3528＝
log1428
log1435
＝
1＋log142
log1435
＝
2－a
a＋b
．
【思想方法】
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．2．熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．
【温馨提醒】要时刻谨记对数本身的式子有意义，否则容易导致多解．
【易错试题常警惕】
利用指数函数的性质求参数问题，一般是利用指数函数的单调性求最值，特别是指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分和两种情况讨论．
如：若函数（且）在上的最大值为，最小值为，且函数
在上是增函数，则．
【分析】函数在上是增函数，则，即．当时，函数在上单调递增，最小值为，最大值为，解得，，与矛盾；当时，函数在上单调递减，最小值为，最大值为，解得，．所以．
【易错点】本题容易忽视了对参数的讨论，以为而致误．
【练一练】函数f(x)＝log a(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是________. 【答案】(3，＋∞)。