高三数学第二学期平面向量多选题单元专项训练学能测试试题

高三数学第二学期平面向量多选题单元专项训练学能测试试题
一、平面向量多选题
1．在三棱锥M ABC -中，下列命题正确的是（ ）
A ．若12
33
AD AB AC =
+，则3BC BD = B ．若G 为ABC 的重心，则111
333
MG MA MB MC =++
C ．若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MB AC ⋅=
D ．若三棱锥M ABC -的棱长都为2，P ，Q 分别为MA ，BC 中点，则2PQ = 【答案】BC 【分析】
作出三棱锥M ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】
对于A ，由已知12
322233
AD AB AC AD AC AB AD AC AB AD =+⇒=+⇒-=-，即2CD DB =，则
3
2
BD BD DC BC =+=，故A 错误； 对于B ，由G 为ABC 的重心，得0GA GB GC ++=，又MG MA AG =+，
MG MB BG =+，MG MC CG =+，3MA MB MC MG ∴++=，即
111
333
MG MA MB MC =++，故B 正确；
对于C ，若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MC MA BC AB ⋅+⋅=，即
()00
MA BC AC CB MA BC AC C MC C M B M C ⋅++=⇒⋅++⋅⋅=⋅()
00MA BC A MC MC MC MC C BC MA BC AC ⋅⋅⋅⇒⋅+-=⇒-+=⋅()
000MC M CA BC AC AC CB AC CB AC C MC ⇒+=⇒+=⇒+=⋅⋅⋅⋅⋅，即
0MB AC ⋅=，故C 正确；
对于D ，111
()()222
PQ MQ MP MB MC MA MB MC MA ∴=-=
+-=+- ()
2
11
2PQ MB MC MA MB MC MA ∴=+-=
+-，又
(
)
22
2
2
222MB MC MA MB MC MA MB MC MB MA MC MA
+-=+++⋅-⋅-⋅
2221112222222222228222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，1
PQ ∴==，故
D 错误. 故选：BC 【点睛】
关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
2．已知a ，b 是平面上夹角为
23
π
的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）
A ．||1a b +=
B ．||3a b -=
C ．||3<c
D ．a b +，c 的夹角是钝角
【答案】ABC 【分析】
在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23
AOB π
∠=
，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A 、B ． 【详解】 对于A ：(
)
2
222+2||+cos
13
a b a b
a b a b π
+=
+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23
AOB π
∠=
，则2
222+c 3
2os
3AB O OA O A O B B π
-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ，
c OC =
的最大值为13+
32
2
22
+A b B O MC a M +=
=
+<，故C 正确； a b +与OM 同向，由图，
OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误． 故选：ABC ．
【点睛】
思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出
OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．
3．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且
(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（ ）
A ．当0x =时，[]2,3y ∈
B ．当P 是线段CE 的中点时，1
2x =-，52
y =
C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段
D ．x y -的最大值为1- 【答案】BCD 【分析】
利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则OP ON OM =+，然后可判断出D 正确. 【详解】
当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故A 错 当P 是线段CE 的中点时，1
3()2
OP OE EP OB EB BC =+=+
+ 115
3(2)222
OB OB AB OA OB =+-+=-+，故B 对
x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一
点，故P 的轨迹是线段，故C 对
如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：
OP ON OM =+；
又OP xOA yOB =+；0x ∴，1y ；
由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；
此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故D 正确 故选：BCD 【点睛】
结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.
4．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b ⊥，则tan 2θ=B ．若b 在a 上的投影为12
-
，则向量a 与b 的夹角为23π
C ．存在θ，使得||||||a b a b +=+
D ．a b 3【答案】BCD 【分析】
若a b ⊥，则tan 2θ=-A 错误； 若b 在a 上的投影为12
-，且||1b =，则2π
cos ,3a b 〈〉=，故B 正确；
若b 在a 上的投影为1
2
-
，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；
2cos sin a b θθ+== 3sin()θϕ+， a b 的最大值为3，故D 正确.
【详解】
若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan 2θ=-，故A 错误； 若b 在a 上的投影为12
-
，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2π
cos ,3a b 〈〉=，故B 正确；
若2()2a b a b a b =+2
2
++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C
正确；
2cos sin a b θθ+== 3sin()θϕ+，因为0πθ≤≤，π
02ϕ<<，则当π2
θϕ+=时，
a b 的最大值为3，故D 正确，
故选：BCD ． 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足
20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）
A ．//P
B CQ B ．2133
BP BA BC =
+ C ．0PA PC ⋅< D ．2S =
【答案】BCD 【分析】
本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】
解：因为20PA PC +=，2QA QB =，
所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；
因为()
121
333
BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+
-=+，故选项B 正确； 因为
11
2223132
APQ ABC
AB h
S S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.
6．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫
≠
⎪⎝
⎭
角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若
12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在
23
π
θ=
的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（ ）
A ．()1,3a b -=-
B ．5a =
C ．a b ⊥
D ．a 在b 上的投影为37
【答案】AD 【分析】
123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；3
2
a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b 上的投影为3
372147a b b
-
⋅==-，故D 正确.
【详解】
()()
121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；
()
2
12
25a e e =
+==B 错误；(
)()
2
2
121211223
222322
a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-
，故C 错误； 由于(
)
2
22
27b e e =-=a 在b 上的投影为3
27a b b
-
⋅==，故D 正确。

故选：AD 【点睛】
本题主要考查新定义，考查向量的坐标运算和模的计算，考查向量的投影的计算，考查向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．设O ，A ，B 是平面内不共线的三点，若()1,2,3n OC OA nOB n =+=，则下列选项正确的是（ ）
A ．点1C ，2C ，3C 在同一直线上
B ．123O
C OC OC ==
C ．123OC OB OC OB OC OB ⋅<⋅<⋅
D ．123OC OA OC OA OC OA ⋅<⋅<⋅
【答案】AC 【分析】
利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案； 【详解】
()
12212()C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，()()2332
32C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，所以1
2
23C C
C C =，A 正确.
由向量加法的平行四边形法则可知B 不正确.
21OC OA OC OA OA OB ⋅-⋅=⋅，无法判断与0的大小关系，而()
2
1OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=+⋅=⋅+，
()2
2
22OC OB OA OB OB OA OB OB
⋅=+⋅=⋅+，
同理2
33OC OB OA OB OB ⋅=⋅+，所以C 正确，D 不正确. 故选：AC . 【点睛】
本题考查向量共线定理和向量的数量积，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
8．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，
则（ ）
A ．12
AF AD AB =+ B ．1
()2
EF AD AB =
+ C ．2133
AG AD AB =
- D ．3BG GD =
【答案】AB 【分析】
由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+
、1
()2
EF AD AB =+、21
33AG AD AB =
+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 11
22
AF AD DF AD DC AD AB =+=+
=+，即A 正确 11
()()22
EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确
连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示
由其性质有
||||1
||||2
GF GE AG CG == ∴211121
()333333
AG AE AC AD AB BC AD AB =
+=++=+，即C 错误 同理21212
()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =
+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1
()3
GD AD AB =-
∴2BG GD =，即D 错误 故选：AB 【点睛】
本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系
9．若平面向量,,a b c 两两夹角相等，,a b 为单位向量，2c =，则a b c ++=（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】AD 【分析】
由平面向量,,a b c 两两夹角相等可知，夹角为0︒或120︒.分两种情况对三个向量的和的模长进行讨论，算出结果. 【详解】
平面向量,,a b c 两两夹角相等，
∴两两向量所成的角是0︒或120︒.
当夹角为0︒时，
,,a b c 同向共线，
则4a b c ++=； 当夹角为120︒时，
,a b 为单位向量，
1a b ∴+= ，且a b +与c 反向共线，
又
2c =，
1a b c ∴++=.
故选：AD. 【点睛】
本题考查了平面向量共线的性质，平面向量的模的求法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
10．已知向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数t 可以为（ ） A ．-2 B ．
12
C ．1
D ．-1
【答案】ABD 【分析】
若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，即向量,AB BC 不共线，计算两个
向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解 【详解】
若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，则向量,AB BC 不共线， 由于向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-， 故(3,4)AB OB OA =-=-，(5,9)BC OC OB t t =-=+- 若A ，B ，C 三点不共线，则 3(9)4(5)01t t t ---+≠∴≠ 故选：ABD 【点睛】
本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力，属于中档题.。