山东省青岛市西海岸新区2017_2018学年高一数学12月“冬学”学科竞赛测试试题201801050

山东省青岛市西海岸新区 2017-2018学年高一数学 12月“冬学”学科
竞赛测试试题
一、选择题（满分 60分） 1．满足1
A
1,5
的所有集合 A 的个数（
）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．把函数 y
cos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，
然后把图象向左平移 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为
（
）
4
1
A. y
2 s in 2x B. y
2 s in 2x C. y
D.
2 cos 2x
y 2 cos x
4
2
4
1
3.已知 log 4[log (log x )]
0 ，那么 等于（
）
x 2
3
2
1 1 1 A ．
B ．
C ．
D ． 3
2 3
2 2
1 3 3
4.若
是第四象限角，且
，则
是 (
)
sin
cos 1
2 sin cos 2
2
2 2
2
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
e
x
e x
5.已知函数
，则关于函数
的说法正确的是（ ）
f (x )
f (x )
2
A.是奇函数，且在
(0,) 上是减函数 B.是奇函数，且在
(0,) 上是增函数 C.是偶函数，且在
(0,
) 上是减函数
D.是偶函数，且在
(0,
) 上是增函数
1
6.方程 e x
2
1的实数解所在的区间是（ ）.
x 1 1 3 3
A ． (0, )
B ． ( ,1)
C ． (1, )
D ． ( ,2) 2
2
2
2
7.若函数 y
f (x )的图象经过第一、第四象限，那么函数 y | f (| x |) | 的图象经过
( )
A.一、二象限
B.二、三象限
C.一、四象限
D.二、四象限
8.设函数y ax x a的定义域是时, 的取值范围为集合;它的值域是时,
log a2R a M R a N
的取值范围为集合,则下列表达式中正确的是
1
A. N M
B. M N R
C. M N
D. M N
9. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定的规则加入相关的数据组成传
输信息，设定原信息为，（），传输信息为，其中
a0,1
0a a a i0,1,20a a a h
h
12i0121
h h000011101110
，，运算规则为：，，，，
0a a1h a
0102
例如原信息为111，则传输信息为01111；传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息
出错，则下列接受信息一定有误的是（)
A. 11010
B.01100
C.10111
D. 01111
e e
y
x x
10.函数的图象大致为()
e e
x x
log
x,x0
1
f
11.已知函数若关于x的方程f x k有两个不等的实数根，则实数k
x
2
2,0
x x
的取值范围是()
A．(0,)B．(,1)C．(1,)D．0,1
3
[0,
2
12.已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f x3f x,且在区间]上是增函数,若方程f(x)m(m0)在区间6,6上有四个不同的根,x x x
则
x 1, x 2 , x 3, x 4
1, 2 , 3, 4
x
1
2
3
4
A ．
6 B ． 6
C ．
8 D ．8
二、填空题(满分 20分)：
13. 把函数 f
的图象向左平移 m 个单位 m
，所得图象关于 y 轴对称，
x
sin
2x
3
则 m 的最小值是________．
1
ln , x 0 x
14.已知
，则不等式 的解集为 .
f (x )
f (x )
1
1
, x 0
x
2
15. 定义新运算
：当 a b 时， a b a ；当 a b 时， a b b 2 ，则函数
f x 1 x
x
2 x
x
2,2
，
的最大值等于_________
16. 如图,函数
的图象
y
sin wx ,
,
A
w 0 0
2
的一部分，则该函数的解析式为_________________ 三、解答题(满分 70分) 17. （本小题满分 12分）
3
sin( ) cos(
) tan( )
2 2
f
已知
．
tan(
)sin(
)
（１）化简 f
（２）若 cos(
3 ) 1 ，求
的值
f
2
5
18. （本小题满分 12分）
某港口的水深 y （米）是时间t （ 0 t 24 ，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深
的关系表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y
10
13
9.9
7
10
13
10.1
7
10
经过长期观测， y f (t )可近似的看成是函数 y
A sin t b
（1）根据以上数据，求出 y
f (t )的解析式
（2）若船舶航行时，水深至少要 11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安 全的进出该港？
19．（本小题满分 12分）
1w0,0
已知函数f x cos2x, 相邻的两最高点之间的距离为，且图象
2
1
过点,
62
（1）求函数y f x的解析式；
（2）求函数y f x的单调递增区间及对称中心.
3
1
（3）将函数 y
f x
的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数
2
y
g x
g
0,
x
的图象，求函数
在
上的最大值和最小值．
4
20. （本小题满分 12分）
e
a
x
已知函数 f (x )
(a
0,a
R ) 是 R 上的偶函数.
a e
x
（1）求 a 的值； （2）证明函数 f (x ) 在[0,
) 上是增函数．
21．（本小题满分 12分）
设 f (x ) 是 R 上的奇函数，且当 x 0时， f (x ) lg(x 2 ax 10)， a R .
（1）若 f (1) lg5，求 f (x ) 的解析式；
（2）若 a
0 ，不等式 f (k 2x ) f (4x
k
1)
0 恒成立，求实数 k 的取值范围
22. （本小题满分 10分）函数 f (x ) x 2 ax 2a 3.
(Ⅰ) 若 f (x ) 在区间[
1, 2] 上是单调函数，求实数 a 的取值范围；
(Ⅱ) 若 f (x ) 存在零点，求实数 a 的取值范围； （Ⅲ）若 f (x ) 在区间 (
1, 2) 上存在零点，求实数 a 的取值范围.
4
青西新区胶南一中高一数学竞赛题参考答案
一、选择题
BBCBB BACCA DB 二、填空题
x 0 x e 或x 1
6
13.
14.
15.
16.y
3 sin 2x
12
3
f 17.解：（1）
3
sin( ) cos( ) tan(
)
2 2
tan( )sin(
)
(cos )(sin )(tan ) (tan ) sin
cos 3
1 （2）∵
cos(
)
2
5
∴
从而
1 sin
1
sin
5
5
∴
cos 1 sin 2
2 6 5
13 7
18.解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为 13，最小值为 7， h
10，
2
137 A 3 2
且相隔 9小时达到一次最大值说明周期为 9，因此
，
，
T
9
2
2
9 2
故
f (t ) 3sin
t 10 (0 t 24)
9
（2）要想船舶安全，必须深度f(t)11.5，即3sin21011.5
t
9
21225293159
∴解得：
sin t k t k
k t k k Z 9269644
又0t24
当k0时，333；当k1时，93123；当k2时，183213
t t t
444444
故船舶安全进港的时间段为(0:453:45)，(9:4512:45)，(18:4521:45)
1 1 π
19.解：(1)因为f(x)＝sin2x sinφ＋cos2x cosφ－2sin(＋φ)(0<φ<π)，
2 2
5
1 1＋cos2x 1 所以f(x)＝sin2x sinφ＋cosφ－cosφ
2 2 2 1 1
＝sin2x sinφ＋cos2x cosφ
2 2
1
＝(sin2x sinφ＋cos2x cosφ)
2
1
＝cos(2x－φ)，
2
π 1
又函数图象过点(2)，，
6
1 1 ππ
所以＝2cos (2 ×－φ)，即cos(－φ)＝1，
2 6 3
π
又0<φ<π，所以φ＝.
3
1 π 1
(2)由(1)知f(x)＝2cos (2x－3)，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，
2
1 π 纵坐
标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝2cos
(4x－3)，
π
因为x∈[0，4]，所以4x∈[0，π]，
ππ2π 1 π因此4x－∈ 3 ]，故－2≤cos(4x－3)≤1.
3 [－，
3
π 1 1
所以y＝g(x)在[0，4]上的最大值和最小值分别为和－.
2 4
x x
e a e a
20.解：（1）f(x)是偶函数，f(x)f(x)，即，…2分
x x
a e a e
111
整理得a e，得a0，又，．…………5分
（)(x)0
a0a1
a e a
x
1
f(x)e x
e
（2）由（1）得．
x
设，0x x
12
11 f(x)f(x)（e x )（e x )
12 12
x x
e e
12（e e)(e 1)
x x x x
1212
= ；…………8分
x x
e
12
0x
x
12
e x e x e x x
x x
120120,121，，，
（e e)(e1) x x x x
1212
x x
e
120f(x)f(x)0，即，
12
f(x)f
(x)
12
；…………………………………………………………………11分
6
所以函数f(x)在
[0,)上是增函数．…………………………………………12分21.解：（1）因为f(1)lg5,则f(x)lg(11a)lg5,所以a 6
所以当x 0时，f(x)
f (x)
lg(x26x 10),又f(0)0,故
f(x)
lg(x6x10),x
2
2
lg(x6x10),x
0,x 0
x6x
10),x
lg(2
(2)若a 0，则f(x)在R上单调递增，故f(k 2x)f(4x k 1)0等价于
k2x 4x k 10，另t 2x(t 0),
于是t2kt
1
(0,)恒成立，
k0在
设g(t)t2kt k 1
（1）
0时，解得：222k 222；
k
（2）
0时，，解的k
2
g(0)
综上，k
222
7。