高中数学必修2第1、2章知识点+习题

高中数学必修2第1、2章知识点+习题
第一章空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
1.2空间几何体的三视图和直观图
1 三视图：
正视图：从前往后
侧视图：从左往右
俯视图：从上往下
2 画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等
3直观图：斜二测画法
4斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；
（3）.画法要写好。

5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和
2 圆柱的表面积
3 圆锥的表面积2r
rl
Sπ
π+
=
4 圆台的表面积2
2R
Rl
r
rl
Sπ
π
π
π+
+
+
=
5 球的表面积2
4R
Sπ
=
（二）空间几何体的体积
1柱体的体积h
S
V⨯
=
底
2锥体的体积h
S
V⨯
=
底
3
1
3台体的体积h
S
S
S
S
V⨯
+
+
=)
3
1
下
下
上
上
（
4球体的体积3
3
4
R
Vπ
=
第一章空间几何体
一、选择题
1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个()．
2
2
2r
rl
Sπ
π+
=
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主视图左视图俯视图
(第1题) A．棱台B．棱锥C．棱柱
D．正八面体
2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()．
A．2＋2B．
22
1＋C．
22
＋
2
D．2
＋
1
3．棱长都是1的三棱锥的表面积为()．
A．3B．23C．33
D．43
4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是()．
A．25πB．50πC．125π
D．都不对
5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )．A．3∶1 B．3∶2 C．2∶3
D．3∶3
6．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是()．
A．
2
9πB．
2
7πC．
2
5π
D．
2
3π
7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是()．
A．130 B．140 C．150
D．160
8．如图，在多面体ABCDEF
中，已知平面ABCD是边长为3
的正方形，EF∥AB，EF＝
2
3，且
EF与平面ABCD的距离为2，则
该多面体的体积为()．
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A．
2
9B．5
C．6 D．
2
15
9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，
错误
．．的是()．
A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形
B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是()．
(第10题)
二、填空题
11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．
12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．
13．正方体ABCD－A1B1C1D1
中，O是上底面ABCD的中心，若正
方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1
的体积为_____________．
14．如图，E，F分别为正方体
的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是___________．15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分
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别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．
16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一
个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．
三、解答题
17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm，求它的深度．
18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]
19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．
(第19题)
20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融
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化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 m(高不变)；二是高度增加 4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？
第二章直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的
2 平面的画法及表示
（1）平面的画法：水平放置的
平面通常画成一个平行四边形，
锐角画成450，且横边画成邻边
的2倍长（如图）
（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。

3 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
A ∈L
B∈L => L α
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
D C
B
A
α
α
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（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
a ∥
b
c ∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
C ·
B
· A · α P
· α L β
共面
=>a ∥
2
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（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a ∩α=A
a ∥α
2
.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：
a α
b β => a ∥α a ∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：
a
β
b
β
a
∩b = P β∥α
a
∥α
b
∥α
2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

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2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：
a ∥α
a β a ∥
b α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：
α∥β
α∩γ= a a ∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面α互相垂直，记作L ⊥α，直线L 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L 的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。

L p
α
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A
梭 l β B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一
个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3 —2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

第二章综合检测题
一、选择题
1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()
A．相交B．平行
C．异面D．平行或异面
2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB 共面也与CC1共面的棱的条数为()
A．3B．4C．5D．6
3．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()
A．平行B．相交C．垂直D．异面
4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于()
A．30°B．45°C．60°D．90°
5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()
A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥α
C．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α
6．下面四个命题：
①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；
②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；
③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；
④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.
其中真命题的个数为()
A．4B．3C．2D．1
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E ＝B1F，有下面四个结论：
①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.
其中一定正确的有()
A．①②B．②③C．②④D．①④
8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是()
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A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥b
B ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥b
C ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥β
D ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b
9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，n ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A ．A
B ∥m B ．A
C ⊥m C ．AB ∥β
D ．AC ⊥β 10．(2012·大纲版数学(文科))已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，
E 、
F 分别为BB 1、CC 1的中点，那么直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )
A ．－45 B. .35
C .34
D ．－35
11．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的余弦值为( )
A.33
B.13 C ．0 D ．－12
12．如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面
外，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ，则PB 与AC 所成的角是( )
A ．90°
B ．60°
C ．
45°
D
．30°
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
13．下列图形可用符号表示为________．
14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角C 1－AB －C 的平面角等于________．
15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.
16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)如下图，在三
棱柱ABC－A1B1C1中，△
ABC与△A1B1C1都为正三角
形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．
求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA ⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．
(1)证明：CD⊥平面PAE；
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．
19．(12分)如图所示，边长为
2的等边△PCD所在的平面垂直
于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求二面角P－AM－D的大小．
20．(本小题满分12分)(2010·辽宁文，19)如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
(1)证明：平面AB1C⊥平面
A1BC1；
(2)设D是A1C1上的点，且
A1B∥平面B1CD，求A1D DC1
的值．
21．(12分)如图，△ABC中，AC＝BC＝
2
2AB，ABED
是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．
(1)求证：GF∥底面ABC；
(2)求证：AC⊥平面EBC；
(3)求几何体ADEBC的体积V.
[分析](1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥C －ABED.
22．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB 的中点．
(1)求证：AC⊥BC1；
(2)求证：AC1∥平面CDB1；
(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．
第一章 空间几何体
参考答案
A 组 一、选择题
1．A 解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．
2．A 解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21(1＋2＋1)×2＝2＋2．
3．A 解析：因为四个面是全等的正三角形，则S
表面
＝4×4
3
＝3． 4．B 解析：长方体的对角线是球的直径，
l ＝2
2
2
5＋4＋3＝52，2R ＝52，R ＝225，S ＝4πR 2＝
50π．
5．C 解析：正方体的对角线是外接球的直径．
6．D 解析：V ＝V 大－V 小＝31πr 2
(1＋1.5－1)＝23π． 7．D 解析：设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而2
1
l ＝152－52，22
l ＝92－52，而21
l ＋22
l ＝
4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面＝4×8×5
＝160．
8．D 解析：过点E ，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，
V ＝2×3
1×43×3×2＋21×3×2×23＝215
． 9．B 解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．
10．D 解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D.
二、填空题
11．参考答案：5，4，3．解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．
12．参考答案：1∶22∶33．
r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，31
r ∶32
r ∶33
r ＝13∶(2)3∶
(3)3＝1∶22∶33．
13．参考答案：3
6
1a ．解析：画出正方体，平面
AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点，
三棱锥O －AB 1D 1的高h ＝33a ，V ＝31Sh ＝3
1
×43×2a 2×33a ＝6
1a 3
． 另法：三棱锥O －AB 1D 1也可以看成三棱锥A －OB 1D 1，它的高为AO ，等腰三角形OB 1D 1为底面．
14．参考答案：平行四边形或线段．
15．参考答案：6，6．解析：设ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，则V = abc ＝6，c ＝3，a ＝2，b ＝1，l ＝
1
＋2＋3＝6．
16．参考答案：12．解析：V ＝Sh ＝πr 2h ＝34πR 3
，R ＝
3
27
64×＝12．
三、解答题 17．参考答案： V ＝3
1(S ＋S S ′
＋S )h ，h ＝S S S S V ′
＋′＋3＝6001＋4002＋6003000
1903×＝75．
18．参考答案：
如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则CC'＝a ，OC ＝22a ，OC'
＝R ．
(第18题)
在Rt △C'CO 中，由勾股定理，得CC' 2＋OC 2＝OC'
2
，
即 a 2＋(22a )2＝R 2． ∴R ＝
2
6
a ，∴V 半球＝
2
6
πa 3
，V 正方体＝a 3
．
∴V 半球 ∶V 正方体＝6π∶2． 19．参考答案：
S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面
＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22 ＝(60＋42)π．
V ＝V 台－V 锥
＝31π(21
r ＋r 1r 2＋22
r )h －3
1πr 2
h 1 ＝3148π． 20．
C O A
解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积
V 1＝31Sh ＝3
1×π×(216)2×4＝3256π(m 3
)． 如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积
V 2＝31Sh ＝31×π×(212)2×8＝3
288π(m 3)． (2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ．
棱锥的母线长为l ＝
2
24＋8＝45，
仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)． 如果按方案二，仓库的高变成8 m ． 棱锥的母线长为l ＝
2
26＋8＝10，
仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)． (3) 参考答案：∵V 2＞V 1，S 2＜S 1，∴方案二比方案一更加经济些．
详解答案
1[答案] D
2[答案] C
[解析] AB 与CC 1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：
第一类与AB 平行与CC 1相交的有：CD 、C 1D 1 与CC 1平行且与AB 相交的有：BB 1、AA 1， 第二类与两者都相交的只有BC ，故共有5条． 3[答案] C
[解析] 1°直线l 与平面α斜交时，在平面α内不存在与l 平行的直线，∴A 错； 2°l ⊂α时，在α内不存在直线与l 异面，∴D 错； 3°l ∥α时，在α内不存在直线与l 相交．
无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．
4[答案] D
[解析]由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.
5[答案] B
[解析]对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a⊂α，b∥α，B正确；对于选项C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a⊂α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．6[答案] D
[解析]异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．
7[答案] D
[解析]如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F 分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF ⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．
8[答案] D
[解析]选项A中，a，b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a，b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，α，β还可能相交，所
以C是假命题；选项D中，由于a⊥α，α⊥β，则a ∥β或a⊂β，则β内存在直线l∥a，又b⊥β，则b⊥l，所以a⊥b.
9[答案] C
[解析]如图所示：
AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β.
10[答案]3
5命题意图]本试题考查了正方体
中异面直线的所成角的求解的运用．
[解析]首先根据已知条件，连接DF，然后则角DFD1即为
异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到
5＝DF＝D1F，DD1＝2，结合余弦定理得到结论．
11[答案] C
[解析]取BC中点E，连AE、DE，可证BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED为二面角A－BC－D的平面角
又AE＝ED＝2，AD＝2，∴∠AED＝90°，故选C.
12[答案] B
[解析]将其还原成正方体ABCD－PQRS，显见PB∥SC，△ACS为正三角形，∴∠ACS＝60°.
13[答案]α∩β＝AB
14[答案]45°
[解析]如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于BC⊥AB，BC1⊥AB，则∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，则∠C1BC＝45°. 15[答案]9
[解析]如下图所示，连接AC，BD，
则直线AB，CD确定一个平面ACBD. ∵α∥β，∴AC∥BD，
则AS SB ＝CS SD ，∴86
＝12
SD ，解得SD ＝9.
16[答案] ①②④
[解析] 如图所示，①取BD 中点，E 连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD
⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正
确．
②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22
a . 由①知∠AEC ＝90°是直二面角A －BD －C 的平
面角，且∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ，
∴△ACD 是等边三角形，故②正确．
③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不
正确．
④分别取BC ，AC 的中点为M ，N ， 连接ME ，NE ，MN . 则MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝1
2a ，
ME ∥CD ，且ME ＝12CD ＝1
2
a ，
∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角．
在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝2
2
a ，AC ＝a ，
∴NE ＝12AC ＝1
2
a .∴△MEN 是正三角形，∴∠EMN
＝60°，故④正确． 17[证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， ∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点，
∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .
又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ，
∴平面AB1F1∥平面C1BF.
(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.
又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，
∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，
∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
18[解析]
(1)如图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.
又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA ⊥CD.
而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.
(2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF.
由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE.
由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．
AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，由题意，知∠PBA＝∠BPF，
因为sin∠PBA＝PA
PB
，sin∠BPF＝BF
PB
，所以PA＝BF.
由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2.
在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所
以
BG＝AB2＋AG2＝25，BF＝AB2
BG
＝16
25
＝85
5.
于是PA＝BF＝85
5.
又梯形ABCD的面积为S＝1
2×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为
V＝1
3×S×PA＝
1
3×16×
85
5
＝1285
15.
19[解析](1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，
∵△PCD为正三角形，
∴PE⊥CD，PE＝PD sin∠PDE＝2sin60°＝ 3.
∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∴PE ⊥AM.
∵四边形ABCD是矩形，
∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝3，AM＝6，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.
又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.
(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，
∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．
∴tan∠PME＝PE
EM
＝3
3
＝1，∴∠PME＝45°.
∴二面角P－AM－D的大小为45°.
20[解析]
(1)因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，
又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，
所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C
所以平面AB1C⊥平面A1BC1 .
(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面
B1CD的交线．
因为A1B∥平面B1CD，A1B⊂平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD＝DE，所以A1B∥DE.
又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点．
即A1D DC1＝1.
21[解](1)证明：连接AE，如下图所示．
∵ADEB为正方形，
∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，
又G是EC的中点，
∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC.
(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，
又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB⊂平面ABED，
∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.
又∵AC＝BC＝2
2AB，
∴CA2＋CB2＝AB2，
∴AC⊥BC.
又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE.
(3)取AB的中点H，连GH，∵BC＝AC＝
2
2AB
＝2
2
，
∴CH⊥AB，且CH＝1
2
，又平面ABED⊥平面ABC
∴GH⊥平面ABCD，∴V＝1
3×1×1
2
＝1
6.
22[解析](1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.
又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.
∵BC1⊂平面BCC1B，∴AC⊥BC1.
(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形．
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1. ∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
(3)解：∵DE∥AC1，
∴∠CED为AC1与B1C所成的角．
在△CED中，ED＝1
2AC1＝
5
2
，
CD＝
1
2AB＝
5
2
，CE＝1
2CB1＝22，
∴cos∠CED＝2
5
2
＝22
5.
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为22
5.。