2019-2020学年广西南宁十九中高一(上)期中数学试卷(附答案详解)

2019-2020学年广西南宁十九中高一（上）期中数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x|1<x<3}，则下列关系中正确的是()
A. 1∈A
B. 3∈A
C. 1∉A
D. 2∉A
2.若a14>a23，则a的范围是()
A. a>1
B. 0<a<1
C. 1
4<a<2
3
D. a>2
3
3.如果N=a2(a>0且a≠1)，则有()
A. log2N=a
B. log2a=N
C. log N a=2
D. log a N=2
4.集合M={1,2,3}的真子集个数为()
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
5.函数f(x)=−x2+5x−6的零点是()
A. (−2,3)
B. 2，3
C. (2,3)
D. −2，−3
6.下列图象中，不能表示函数的是()
A. B.
C. D.
7.函数f(x)=−x2+2x+3的单调递减区间是()
A. [1,+∞)
B. (−∞,1]
C. (−∞,0)
D. (0,+∞)
8.函数y=f(x)的图象如图所示，则函数的定义域与
值域分别是()
A. 定义域：[−2,15]，值域：[1,2]
B. 定义域：[−2,1.5)，值域：[0.5,2]
C. 定义域：[−2,2]，值域：(1,2]
D. 定义域：[−2,1)，值域：(1.5,2]
9. 函数y =2x−1−5+x 的零点会落在区间( )内
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4) 10. 已知a =log 0.33，b =(23
)−34，c =4−1，则下列大小比较正确的是( ) A. a <c <b B. b <a <c C. a <c <b D. c <b <a
11. 已知函数f(x)是偶函数，且在[−3,−2]上是减函数，在[−2,−1]上是增函数，则下
列说法错误的是( )
A. 函数f(x)在[1,2]上是减函数
B. 函数f(x)在[2,3]上是增函数
C. 函数f(x)在[−3,−1]上有一个最小值f(−2)
D. 函数f(x)在[1,3]上有一个最大值f(2)
12. 已知A ={x|3a −1<x <2a +3}，B ={x|x 2−x −2≤0}，A ⊆B ，则a 的取值范
围为( )
A. {a|a ≤−12}
B. {a|a ≤12或a ≥0}
C. {a|a ≥4}
D. {a|a ≤0或a ≥4} 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知集合A ={x|0<x <3}，B ={x|2<x <7}，则A ∪B =______．
14. 若log 34⋅log 48⋅log 8m =log 416，则m =______．
15. 已知函数f(x)为偶函数，且f(x)的定义域为[a +1,3]，则a 的值为______．
16. 已知函数f(x)={−2x +1,x ≥0x 2+1,x <0
，则f(f(−1))=______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知全集U ={1,2,3,4,5,6}，A ={2,3,5}，B ={3,6}，求A ∩B ，A ∪B ．
18. 求下列函数的定义域．
(1)f(x)=2x+1；
(2)f(x)=√2−2x −√x +3；
(3)f(x)=√5−x+ln(x−3)．
19.计算下列各式的值．
)−2+25634−3−1+(√2−1)0；
(1)0.027−13−(−1
7
+log57−log51.8．
(2)log535−2log57
3
20.判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)=3x2−7；
(2)f(x)=−2x3+1
．
x
21.判断函数f(x)=x2−3x在区间[2,5]上的单调性，并求出函数在这个区间上的最大
值与最小值．
22.是否存在实数a，使函数f(x)=log a(ax2−x)在区间[2,4]上是增函数？若存在，求
出a的取值范围；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意易知，集合A中不含1和3这2个元素，故A，B选项错误，元素2是属于集合A中，选项D错误．
故选：C．
由元素与集合的关系可得结论．
本题属于容易题，学生需要知道元素与集合的关系．
2.【答案】B
【解析】解：∵1
4<2
3
，且a14>a23，
∴y=a x在(0,+∞)上是减函数．
∴0<a<1．
故选：B．
由题目给出的不等关系，看出幂指数小的函数值大，说明指数函数是减函数，从而可求a的取值范围．
本题考查了指数函数的单调性，属会考题型，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵N=a2(a>0且a≠1)，∴2=log a N，
故选：D．
利用同底的指数式与对数式的互化关系即可得出．
本题考查了同底的指数式与对数式的互化，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：集合M中有3个元素，有23=8个子集，有23−1=7个真子集；
故选B．
根据题意，集合M中有3个元素，由集合的子集与元素数目的关系，计算可得答案．
本题考查集合的元素数目与子集数目的关系，若集合中有n个元素，则其有2n个子集，有2n−1个真子集，
5.【答案】B
【解析】解：由−x2+5x−6=0得x=2或x=3.所以函数的零点为2或3．
故选：B．
根据零点的概念进行判断，一是解方程，二是注意结果是数不是点．
本题考查了函数的零点的概念，要注意零点是数不是点，再就是通过解方程求零点．6.【答案】A
【解析】解：由函数的定义，一个自变量对应一个函数值，
故A错，
故选：A．
根据函数的概念即可解决．
本题考查函数的概念，属于容易题．
7.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=−x2+2x+3=−(x−1)²+4
函数对称轴为x=1，开口向下，
则单调递减区间为[1,+∞)
故选：A．
根据开口方向，对称轴可以判断递减区间．
本题考查二次函数的单调性，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由图像观察可得
B项正确，
故选：B．
根据图像观察可得结果．
本题考查函数的图像定义与值域问题，属于容易题．
9.【答案】C
【解析】解：令f(x)=2x−1−5+x ，
因为f(0)=−92<0，f(1)=−3<0，f(2)=−1<0，f(3)=2>0，f(4)=7>0， 由零点的存在性定理可知，函数f(x)在区间(2,3)内有零点，
则函数y =2x−1−5+x 的零点会落在区间(2,3)内．
故选：C ．
利用函数零点的存在性定理进行分析判断即可．
本题考查了函数零点的存在性定理的理解与应用，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：因为a =log 0.33<log 0.31=0，即a <0，
c =4−1=14∈(0,1)， b =(23)−34=(32)34>(32)0=1，即b >1， 所以可得：a <c <b ，
故选：C ．
由对数函数及指数函数的单调性可得a ，b ，c 的范围，进而比较出它们的大小关系． 本题考查用指数，对数的单调性比较大小的知识点，属于基础题．
11.【答案】D
【解析】解：因为函数f(x)是偶函数，且在[−3,−2]上是减函数，在[−2,−1]上是增函数，
则f(x)在[2,3]上为单调递增函数，在[1,2]上为单调递减函数，
故选项A 正确，选项B 正确；
函数f(x)在[−3,−1]上有一个最小值f(−2)，
故选项C 正确；
函数f(x)在[1,3]上有一个最小值f(2)，
故选项D 错误．
故选：D ．
利用偶函数在对称区间上的单调性相反即可判断选项A ，B ，由f(x)的单调性，即可判断选项C ，D ．
本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，函数最值的求解，解题的关键是掌握偶函数在对称区间上的单调性相反，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
12.【答案】C
【解析】解：由题意知B ={x|−1≤x ≤2}，
(1)A =⌀时，3a −1≥2a +3，解得a ≥4，满足题意；
(2)A ≠⌀时，a <4，由A ⊆B ，即有{3a −1≥−12a +3≤2，解得{a ≥0a ≤−12
，可得a ∈⌀； 综上，a ≥4．
故选：C ．
分别讨论A 是否为空集，结合集合的关系，可得a 的不等式组，解不等式可得所求范围． 本题考查集合关系中的含参问题，注意对集合A 分空集和不是空集2种情况进行讨论，属于较易问题．
13.【答案】{x|0<x <7}
【解析】解：因为集合A ={x|0<x <3}，B ={x|2<x <7}，
则A ∪B ={x|0<x <7}．
故答案为：{x|0<x <7}．
直接利用集合并集的定义求解即可．
本题考查了集合的运算，主要考查了集合并集的求解，解题的关键是掌握并集的定义，属于基础题．
14.【答案】9
【解析】解：由log 34⋅log 48⋅log 8m =log 416，得lg4lg3⋅lg8lg4⋅
lgm lg8=2，
即lgm lg3=log 3m =2，所以m =9．
故答案为9． 把给出的等式左边利用换底公式化简后整理即可得到m 的值．
本题考查了对数式的运算性质，考查了对数的换底公式，是基础的运算题．
15.【答案】−4
【解析】解：因为函数f(x)为偶函数，且f(x)的定义域为[a +1,3]，
则a +1+3=0，解得a =−4．
故答案为：−4．
利用偶函数的定义可知，其定义域关于原点对称，列式求解即可．
本题考查了偶函数性质的理解与应用，解题的关键是掌握偶函数的定义域关于原点对称，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
16.【答案】−3
【解析】解：函数f(x)={−2x +1,x ≥0x 2+1,x <0
，则f(−1)=2， 所以f(f(−1))=f(2)=−2×2+1=−3．
故答案为：−3．
先求出f(−1)，然后再求解f(f(−1))即可．
本题考查了分段函数的求值问题，解题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，属于基础题．
17.【答案】解：因为全集U ={1,2,3,4,5,6}，A ={2,3,5}，B ={3,6}，
所以A ∩B ={3}，A ∪B ={2,3,5,6}．
【解析】直接利用集合交集与并集的定义求解即可．
本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集与并集定义的理解与应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由函数的定义域得，x ≠−1，
故x ∈(−∞,−1)∪(−1,+∞)，
(2)由函数解析式得x 应满足
{2−2x ≥0x +3≥0即{x ≤1x ≥−3
， 故x ∈[−3,1]，
(3)由函数解析式得x 应满足
{5−x ≥0x −3>0即{x ≤5x ≥3
， 故x ∈[3,5]．
【解析】根据题意由函数的定义域逐个分析即可．
本题考查函数的定义域求解，属于容易题．
19.【答案】解：(1)原式=(0.3)3×(−13)−72+44×34−13+1=103−49+64−13+1=25； (2)原式=log 535−log 5
499+log 57−log 51810=log 5(35×949×7×1018)=log 552=2log 55=1．
【解析】(1)利用分数指数幂的运算性质求解即可；
(2)由对数的运算性质求解即可．
本题考查了分数指数幂的运算性质以及对数的运算性质的理解与应用，考查了化简运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为R ，关于原点对称，
又f(−x)=3(−x)2−7=3x 2=f(x)，
故函数f(x)为偶函数；
(2)函数f(x)的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称，
又f(−x)=−2(−x)3+1−x =−(−2x 3+1x )=−f(x)，
故函数f(x)为奇函数．
【解析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后利用奇函数与偶函数的定义判断即可．
第11页，共11页 本题考查了函数奇偶性的判断，函数奇偶性定义的理解与应用，要注意先判断函数的定义域是否关于原点对称，属于基础题．
21.【答案】解：f(x)=x 2−3x =(x −32)²−94
，则函数图像的开口线上，对称轴为x =32， 则当x ∈[2,5]时，函数f(x)单调递增，
当x =2时取最小值，最小值为f(2)=−2，
当x =5时取最大值，最大值为f(5)=10，
故函数在[2,5]上单调递增，且在此区间上的最大值为10，最小值为−2．
【解析】整理函数解析式得到f(x)=(x −32)²−94，利用二次函数的性质即可求得答案． 本题考查二次函数的性质，属于基础题．
22.【答案】解：设u(x)=ax 2−x ，显然二次函数u 的对称轴为x =12a ．
①当a >1时，
要使函数f(x)在[2,4]上为增函数，则u(x)=ax 2−x 在[2,4]上为增函数， 故应有{u(2)=4a −2>0
12a ≤2，解得 a >12． 综合可得，a >1．
②当0<a <1时，
要使函数f(x)在[2,4]上为增函数，则u(x)=ax 2−x 在[2,4]上为减函数，
应有{u(4)=16a −4>0
12a ≥4，解得a ∈⌀． 综上，a >1时，函数f(x)=log a (ax 2−x)在区间[2,4]上为增函数．
【解析】设u(x)=ax 2−x ，显然二次函数u 的对称轴为x =12a .分当a >1时和当0<a <1两种情况，分别利用二次
函数的性质、复合函数的单调性、以及对数函数的定义域，求得a 的范围，综合可得结论．
本题主要考查复合函数的单调性，体现了分了讨论、转化的数学思想，属于中档题．。