数值分析(30)代数特征值问题(QR方法)

* * *
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二、化一般矩阵为上Hessenberg阵
称形如 h11 h12 h1n 1 h1n h h h h 22 2n 1 2n 21 h32 h33 h3 n H hnn 1 hnn 的矩阵为上海森堡（H es s enberg) 阵。如果此对角 线元hii 1 ( i 2, 3, , n)全不为零 ,则称该矩阵为不可 约的上H es s enberg矩阵。 讨论用 Householder 变换将一般矩阵A相似变 换成H es s enberg阵

21, 0, 0

T
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习题
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第三节 求矩阵全部特征值的QR方法 一、求矩阵全部特征值的QR方法
60年代出现的QR算法是目前计算中小型矩阵的 全部特征值与特征向量的最有效方法。 理论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交 矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元 符号取定时，分解是唯一的。
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uuT H2 I 2 T u u 2 2 1 0 4 2 0 1 2 4 0 1 0 0 1 0 H 2 0 0 2 2 2 0 0 2
2 2 4 2 2 2 2 4 2 0 0 2 2 2 2
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例:用Householder 变换将矩阵A化成上H essenberg阵。 5 2 0 1 A 0 2 2 0 3 2 5 2 2 2 2 1 0 4 1 2 2
2 1 解：求Householder 矩阵 H 2 满足 H 2 , 2 0 1 2, u ( 2, 2)T 2(1, 0)T ( 2 2, 2)T ，
T a11 a2 H 1 于是有 H1 AH1 H 1a1 H1 A22 H1 其中a1 (a21 , a31 , , an1 )T , a2 (a12 , a13 , , a1n )T ,
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a22 a2 n A22 . an 2 ann 只要取 H 1使得 H 1a1 ( 1 , 0, , 0) , 就会使得变换后
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（Schur定理）
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平面旋转阵(Givens变换阵)
定义 n阶方阵 1 1 cos sin i 1 Ri , j 1 sin cos j 1 1 ( j i) 称为平面旋转阵，或称为Givens变换阵。 数值分析
于是A2 R1Q1 Q 1 AQ1 , 即A2与A相似。 同理可得，Ak 与A 相似 ( k 2, 3, )。 故Ak 与A有相同的特征值。
可证，在一定条件下，基本QR方法产生的矩
阵序列｛Ak｝ “基本”收敛于一个上三角阵（或
分块上三角阵）。即主对角线（或主对角线子块） 及其以下元素均收敛，主对角线（或主对角线子 块）以上元素可以不收敛。特别的，如果A是实对 称阵，则｛Ak ｝ “基本”收敛于对角矩阵。
i1i2i1i3对矩阵作变换得数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析习题数值分析数值分析第三节求矩阵全部特征值的qr方法一求矩阵全部特征值的qr方法60年代出现的qr算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法
i k 1
(2)计算Hk 1 A A j k , k 1, , n n 1 （1）t j ( ul( k 1) alj )
k 1 k 1 ( k 1 ak 1，k ) U ( k 1) (0, ..., 0, k 1 ak 1，k , ak 2,k , ..., ank )
化为 r , 0, 0 . T (1) 解：记x =x 2,1, 4 ，对x (1)计算C和S。
T
C
x1
2 2 x1 x2

2 5
,
S
x2
2 2 x1 x2

1 5
R1,2
2 5 1 5 0
(1)
1 2 0
5 5
T
R1,2 x


5, 0, 4

0 0 1
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x ( 2)
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x
(2)

(2)

5,0,4

T
对x 计算C和S,
5 21 0 4 21 0 1 0
5 C= , 21
S
4 21
R1,3
4 21 (1) 0 , R1,3 x 5 21
2 2 2 2
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于是有 H H 2 H 1 AH 1 H 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 5 2 2 2 3 2 0 0 5 2 2 2 2 2 1 2 0 2 1 0 2 0 2 4 1 2 0 5 2 5 1 0 1 0 3 2 2 0 2 2 3 2 1 2 2 0 0 2
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平面旋转阵Ri,j的性质： （1）RiT, j Ri , j I , Ri,1j RiT, j , 平面旋转阵是非对称的 正交阵。 T （2）Ri , j也是平面旋转阵。
(3)det(Ri , j )=1
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（1）将向量x = x1 , x2 , ..., xn 的第j个分量约化为零。 T Ri , j 左乘向量x= x1 , x2 ,..., xn 只改变x的第i个分量和 第j个分量。 y1 x1 若令y Ri , j x，有 y R1,2 x 2 2 yi xi cos x j sin cos sin x1 x y j xi sin x j cos sin cos 2 y x k 1, ..., n; k i , j k , k x1 cos x2 sin 调整，可将y j约化为零。 x1 sin x2 cos xj 令y j 0，得 tan xj xi
yj 0
T
Ri , j x = x1 , ..., xi-1 , r , xi+1 , ..., xj-1 , 0, xj+1 , ..., xn .
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（2）将向量x= x1 , x2 , ..., xn 的第i+1个分量到第n个 分量约化为零。
T
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Ri ,i 1 x = x1 , ..., xi-1 , r , 0, xi+2 , ..., xn , r
QR方法的基本思想是利用矩阵的QR分解通过 迭代格式 Ak Qk Rk (k 1, 2, ). Ak 1 Rk Qk 将A A1化成相似的上三角阵（或分块上三角阵）， 从而求出矩阵A的全部特征值与特征向量。
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1 由A A1 Q1 R1 ,即Q1 A R1。
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用Household方法对矩阵A作正交相似变换, 使A 相似与上Hessenberg阵，算法如下：
k 1, 2, ..., n 2 (1)计算H k 1 I 1
k 1
U ( k 1) (U ( k 1) )T
n 1 2 2

k 1
sign(ak 1，k )( (aik ) ) ,
T
xi2 xi21
T
Ri ,i 2 Ri ,i 1 x = x1 , ..., xi-1 , r , 0, 0, xi+3 , ..., xn , r
r
xi2 xi21 xi2 2
T 2 xi2 xn
Ri ,n Ri ,i 2 Ri ,i 1 x = x1 , ..., xi-1 , r , 0, ..., 0 ,
第二步
1 * * Bk Qk Rk 2 B 用Given变换产生迭代序列 B * k 1 Rk Qk n
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A （对称阵） 三对角阵B
用Householder阵 作正交相似变换
(3)用Ri , j 对矩阵A作变换得到的结论 Ri , j 左乘A只改变A的第i，j行。 RiT, j 右乘A只改变A的第i，j列。 T Ri , j ARi , j 只改变A的第i，j行和第i，j列。
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例 已知向量x = 2,1, 4 ，试用Givens变换将x约
T
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QR方法的实际计算步骤
第一步 A 上Hessenberg阵 B
用Householder阵 作正交相似变换
... ... ... ... * : : : : *
T
的矩阵H 1 AH 1的第一列出现n 2个零元。
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同理，可构造如下列形式Householder 矩阵 0 * * * * * * * * 1 0 0 使得H 2 H 1 AH 1 H 2 * * * 0 H2 * * * 0 如此进行n 2次，可以构造n 2个Householder 矩阵H 1 , H 2 , , 0 0 H n 2 , 使得 H n 2 H 2 H 1 AH 1 H 2 H n 2 H . 其中H 为上Hessenberg矩阵。特别地，当A为实对称矩阵，则 经过上述正交变换后，H 变为三对角阵。 1 0 H 2 0 0
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首先，选取Householder 矩阵H 1 , 使得经H 1 相似变 换后的矩阵H 1 AH 1的第一列中有尽可能多的零元素。 1 0 0 H1 0 H1 0
为此，应取H 1为如下形式
其中H 1为n 1阶Householder 矩阵。
T
平面旋转阵Ri,j的作用：

xi
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令y j 0，得 tan
xj xi
xi

xj
xi
xi 所以，取C cos 2 2 r xi x j xj xj S sin 2 2 r xi x j
于是
yi Cxi Sx j r xi2 x 2 j ,