求二面角

高考中求二面角的常考方法总结
适用学科数学适用年级高三年级适用区域全国课时时长（分钟）120
知识点直线垂直平面；平面与平面垂直；
二面角的平面角的定义；空间直角坐标系的建立；
教学目标1 理解和掌握求二面角的方法是高考的一个重点。

2 掌握二面角的常考形式并培养学生应用数学分析、解决实际函数的能力，空间想象能力。

3 培养学生学习的积极性和主动性，发现问题，善于解决问题，探究知识，合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。

教学重点做二面角的平面角、计算二面角。

教学难点用直线垂直平面法做二面角，建立空间直角坐标系求二面角。

教学过程
一 课堂导入
高考中对求二面角的平面角要求很高，而且难度很大，学生们做的一般不好。

现在我们就这个问题做一下研究，如何用直线垂直平面法做二面角的
平面角，如何用空间向量法求二面角等常考方法。

一定让大家把这些常考方法学到手，熟练提高综合应用能力和空间想象能力。

1. 设P 是二面角βα--l 内一点，P 到面βα,的距离PB PA ,分别为8和5，且7=AB ，求这个二面角的大小。

2. 正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为２，P 是侧棱1AA 上任意一点．当11BC B P ⊥时，求二面角11C B P C --的余弦值。

3. 四边形ABCD 是一个矩形，点E 和点F 分别在边AD 和边AB 上，其中4AE AF ED ===，6FB =。

现在以直线EF 为折痕，将三角形AEF 折起，得到三角形'A EF ，同时使得平面'A EF 与底面ABCD 垂直。

求二面角'A FB C --的余弦值。

二 复习预习
1空间点、直线、平面的位置关系 （1）平面
① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；
② 平面的表示：通常用希腊字母γβα,,表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。

③ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉ 点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：l A ∈； 点A 在直线l 外，记作l A ∉； 直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作α⊂l ；直线l 不在平面α内，记作α⊄l 。

（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）
应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内。

用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ （3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据
（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号：平面α和β相交，交线是l ，记作l =βα ，符号语言：,P A B A B l P l ∈⇒=∈。

公理3的作用：
①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
（8）空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点；直线不在平面内（或直线在平面外）①两直线相交（只有一个共同点）；②两直线平行（没有公共点）。

三种位置关系的符号表示：ααα//,,l a l l =⊂ 。

（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点，βα//；相交——有一条公共直线，b =βα 。

2空间中的垂直问题
（1）线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角，就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

3二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内．．分别作垂直于．．．棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角
三 知识讲解
考点一 二面角的定义法
以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内．．分别作垂直于．．．棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

二面角的定义法就是作出二面角的平面角，然后求出二面角平面角的大小。

作二面角的平面角的时候，两个半平面内都有中点之类的，或等腰三角形，或等边三角形，可以根据中点来作。

考点二 二面角的公式法
主要用到一个公式原面的面积
射影面的面积
=αcos ，射影面就是指一个平面在另一个平面上的投影；原面就是指第一个平面，角α为射影面与原面所成的二
面角的平面角。

考点三 直线垂直平面法
直线垂直平面法：主要是先作出二面角的平面角，作的过程用到直线垂直平面的判定定理。

先从一个平面作另一个平面的垂线，然后再从这个垂足点做公共棱的垂线，连接第一个平面的点和棱上的垂足点，以及刚才的那个垂线所做成的角就是二面角的平面角。

考点四 空间向量法
（1）定义：如图，1111D C B A ABCD -是单位正方体.以A 为原点，分别以OB OA OD ,,1的方向为正方向，建立三条x 轴，y 轴，z 轴。

这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz 。

1）O 叫做坐标原点
2）x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴.
3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。

大拇指指向为x 轴正方向，食指指向为y 轴正向，中指指向则为z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。

（3）任意点坐标表示：空间一点M 的坐标可以用有序实数组(,,)x y z 来表示，有序实数组(,,)x y z 叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作(,,)M x y z （x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的z 轴上的坐标）
（4）空间两点距离坐标公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=。

四 例题精析
直线垂直平面法
【例题1】
【题干】设P 是二面角βα--l 内一点，P 到面βα,的距离PB PA 、分别为8和5，且7=AB ，求这个二面角的大小。

【答案】∴∠ACB ＝1200
【解析】作l AC ⊥于C ，连结BC ，∵l PA l PA ⊥∴⊂⊥,,αα，又A PA AC l AC =⊥ ,，∴l PB l PB PC l PAC l ⊥∴⊂⊥⊥∴⊥,,,,ββ 面，又
PBC l P PC PB 面⊥∴=, ，∴面PAC 与面PBC 重合，且BC l ⊥，∴ACB ∠就是所求的二面角，PAB ∆中， 120,60,7,5,8=∠∴=∠∴===ACB P AB PB PA 。

【思路】：主要是从两个半平面作出二面角的平面角，然后用余弦定理计算。

【例题2】
【题干】在棱长为1的正方体1AC 中，（1）求二面角11A B D C --的大小；（2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小
【答案】（1）13
；（2）2
【解析】（1）取11B D 中点1O ，连接11,AO CO ，∵正方体1AC ，∴1111
11,B D AO C O B D ⊥⊥，∴1A O C ∠即为二面角11A B D C --的平面角，在AOC ∆中，
116,22AO CO AC ==
=，可以求得11
cos 3
AO C ∠=，即二面角11A B D C --的余弦值为13。

（2）过1C 作1C O BD ⊥于点O ，∵正方体1AC ，∴1CC ⊥平面ABCD ，∴1C O C ∠为平面1C BD 与平面ABCD 所成二面角1
C B
D C --的平面角，可以求得：1tan 2
COC ∠=所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的正切值为2。

【思路】：主要是从两个半平面作出二面角的平面角，然后用余弦定理计算。

【例题3】
【题干】正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱1AA 上任意一点．当11BC B P ⊥时，求二面角11C B P C --的余弦值。

【答案】
64
【解析】以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，过O 作OA 的垂线为z 轴，1(3,1,2)BC =-，由1
1BC B P ⊥，得110BC B P ⋅=，即0)2(22=-+a ，1a ∴=，又11BC B C ⊥
11BC CB P ∴⊥面∴1(3,1,2)BC =-是面1CB P 的法向量，设面11C B P 的法向量为(1,,)n y z =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
111
n C B n P B ，得(1,3,23)n =-,设二面角11C B P C --的大小为α，则4611=
⋅=
n
BC n BC Cos α，∴二面角11C B P C --的余弦值为64，即二面角'A FB C --的余弦值为3
3。

【思路】：建立空间直角坐标系，用空间向量法解余弦值。

【题干】如图，四棱锥ABCD S -的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点．若SD ⊥平面PAC ，求二面角D AC P --的大小． 【答案】30°.
【解析】连BD ，设AC 交BD 于O .由题意知SO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，OS OC OB ,,分别为X 轴、Y 轴、Z 轴正方向，建立坐标系XYZ O -，
如图.，设底面边长为a ，则高a SO 26
=.于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,22,0,0,0,22,26,0,0a C a D a S ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a SD a OC 26,0,22,0,22,0，0=⋅SD OC .故SD OC ⊥.从而SD AC ⊥.平面PAC 的一个法向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a DS 26,0,22，平面D A C 的一个法向量⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=a OS 26,0,0.设所求二面角为θ，则2
3
|
|||cos =
⋅=
DS OS DS OS θ，所求二面角的大小为30°. 【思路】：建立正确的空间直角坐标系，用空间向量法解余弦值。

补形法 【例题5】
【题干】PA ABCD ⊥平面，四边形ABCD 是一个直角梯形，其中1PA =，1AD =，1CD =，1
2
AB =。

90BAD ADC ︒∠=∠=。

求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的余弦值。

【答案】
63
【解析】延长直线DA 与BC ，它们相交于点E ，连接PE 。

由题意可知，BA 平行于CD ，AB 的长度是CD 的一半，且BA AD ⊥，BA PA ⊥，那么
BA PED ⊥平面，CD PED ⊥平面，1AE =，2PE =。

在三角形PED 中，2PD PE ==，2ED AE AD =+=。

那么根据勾股定理可知90DPE ︒∠=，
即DP PE ⊥，CD PED ⊥平面，DP PE ⊥，且DP 是CP 在平面PED 内的射影，根据三垂线定理知：CP PE ⊥。

又DP PE ⊥，即CPD ∠即为所求的二面角，在Rt CDP ∆中，1CD =，2PD =，3PC =。

那么6
cos 3
CPD ∠=
，即所以平面PAD 与平面PBC 所成二面角的余弦值为63。

【思路】：在原来的图像上再增加一个图像，然后做二面角的平面角。

套公式 【例题6】
【题干】如图 AC ⊥面BCD ，BD ⊥面ACD ，若AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角D AB C --的余弦值。

【答案】
3
3 【解析】作DF ⊥AB 于F ，CE ⊥AB 于E ，∵ AC =CD =1，∠ABC =30°，∴AD =2，BC =3，AB =2，BD =2，在Rt △ABC 中，
23231AB BC AC CE =⨯=⋅=
，同理1222AB
BD
AD DF =⨯=⋅=，∴ 1DF B D B F 22=-=，2
1
CE AC AE 22=-=，∴ 212112EF =--=， ∴ θ⋅-++=cos DF EF 2EF DF CE CD 2222，∴ 3
3
cos =θ，即所求角的余弦值为33。

【思路】：利用异面直线两点间的距离公式。

B
F
E A
C
D
二面角的定义法
【例题7】
【题干】如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点．求二面角
A SC
B --的余弦值． 【答案】33
【解析】取SC 中点M ，连结A M O M ，，知SO OC SA AC ==，，得O M S C A M S C ⊥⊥，，OMA ∠∴为二面角A S C B
--的平面角，由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ，所以AO OM ⊥，又32AM SA =，故26sin 33
AO AMO AM ∠===，即二面角A SC B --的余弦值为33。

【思路】：用定义法做二面角的平面角，在SC 边找中点即可。

O S B A C
【例题8】
【题干】如图，在空间四边形ABCD 中，BCD ∆是正三角形，ABD ∆是等腰直角三角形，且90BAD ∠=，又二面角A BD C --为直二面角，求二面角A CD B --的正切值。

【答案】233
【解析】过A 作AH BD ⊥于H ，∵二面角A BD C --为直二面角 ∴AH ⊥面BCD ，取CD 中点E ，F 为DE 中点，连接,HF AF ∵BE CD ⊥ ∴//HF BE ∴EF CD ⊥ ∴HF CD ⊥，∴AFH ∠为二面角A BD C --的平面角，令AB a =，则236,2222AH a BE a a ==⋅=，∴64
HF a =，∴在Rt AHF ∆中2tan 33AH AFH HF ∠==，即二面角A CD B --的大小为233。

【思路】：用定义法做二面角的平面角，在CD 边找中点即可。

课程小结
高考中对求二面角的平面角要求很高，而且难度很大，学生们做的一般不好。

现在我们就这个问题做一下研究，如何用直线垂直平面法做二面角的平面角，如何用空间向量法求二面角等常考方法。

一定让大家把这些常考方法学到手，熟练提高综合应用能力和空间想象能力。

（1）直线垂直平面法做二面角的平面角。

（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角。

（3）用定义法求二面角的值。

（4）其他形式的二面角求法。

（5）。