高中数学 第二章 《变化率与导数 综合》课件 北师大版选修2-2

结论：
当t0时,vhh(2t)h(2)4.9t13.1
t
t
一个稳定值13.1
lim h lim h(2 t) h(2)
用右式表示t0 t t0
t
lim(4.9t 13.1) t 0
13.1 v ( 2 )
h
l i m h 体现了什么数学思想？
t
t 0 t
逼近思想
从平均速度vhh(2t)h(2)过渡到
结论: V一定时, r逐渐变小，即
半径的增量 r rV2rV1逐渐减小
体积的增量 V V2 V1
r rV2rV1就是气球的平均膨胀率。
V V2 V1
问题2 高台跳水运动中，
运动员相对于水面的高度是
h(t)4.9t26.5t10
求 0 0 .5 秒 的 平 均 速 度
h0.5h0
v
4.05
0.50
问题：
1、运动员在0 ~0.5秒这段时间是静止的吗？
2、你认为用平均速度描述运动员状态有什么 问题吗？ 3、你能求出t=2时的速度吗？
h(t)4.9t26.5t10
能否从平均速度这个角度出发去求瞬时速度
vhh(2t)h(2)
t
t
Δt
（Δt<0）
-0.01 -0.001 -0.0001
-0.00001
f
(x0
)
lim
x0
x
．
例1、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同
x h 产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第
时，原油的温度（单位：℃）为
f(x ) x 2 7 x 1 5(0 x 8 ).
计算第2 h原油温度的瞬时变化率， 并说明它们的意义。
解 : yf(2 x)f(2) x3
x
x
f'2lim ylim ( x3) 3
x 0 x x 0
f'2 为 原 油 温 度 在 t= 2 时 的 瞬 时 变 化 率 ,
反 映 了 原 油 温 度 在 t= 2 时 附 近 的 变 化 情 况 .
limf(1x)f(1)
x0
3x
lim
f
(x0
1 2
h)
f
(x0
)
h0
h
y
lim y
记为 f ( x 0 ) 或 y x xo ，即
f(x 0 ) lix m 0 y x lix m 0f(x 0 x x ) f(x 0 )
由导数的定义可知，求函数 y f (x)在 x 0 处的
导数的步骤:
（1）求平均变化率: yf(x0x)f(x0)；
x
x
（2）取极限，得导数:
v hht2ht1
t
t2 t1
探究活动
气球的平均膨胀率，跳水运动员的平均 速度是特殊的情况，我们把这一思路延伸到 函数上，归纳一下得出
函数 fx从x1x2的平均变化率
r (V2 ) r (V1 )
V2 V1 f(x2)f(x1) y
h t2 h t1
x2 x1
x
t2 t1
函数的平均变化率几何意义
t
t
瞬时速度limhlimh(2t)h(2)
t t0
t0
t
问题：函数 y =f(x) 在点x=x0处的 瞬时变化率怎样表示？
二、导数的概念
一般地，函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变
化率是 lim ylimf(x0 x)f(x0)
x x 0
x 0
x
我们称它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数，
综合··变化率与导 数
一、 变化率问题
问题1 气球膨胀率
观察现象
1、气球不断增大
2、增大速度变慢
(Why?)
透过现象看本质
r 此问题涉及两个变量v与
V (r) 4 r3
3
r (V ) 3 3V
4
V 一 定 时 , r 怎 样 变 化 ？
例 如 取 V 1V 为 体 积 的 增 量 r (V ) 3 3V 4
v
-13.051 v
-13.0951 -13.009951 -13.099951
Δt
（Δt 〉0）
0.01
v
-13.149
0.001 -13.1049
0.0001 -13.10049
0.00001 -13.100049
-0.000001 -13.0999951 0.000001 -13.100005
x
x 0 x
3 、 导 数 概 念 ： 函 数 f x 在 xx0 处 的 瞬 时 变 化 率
即 为 f x 该 处 的 导 数 。
f(x0) lixm 0f(x0 xx )f(x0)
数学思想：体会逼近思想
章头图、引言学习
微积分的创始人 ————牛顿，莱布尼兹 导数的产生1、由s=f(t)求速度和加速度。
2、求已知曲线的切线。 导数的作用：可以研究函数的增减性，变化快 慢，最值问题，可以描述任何事物的瞬时变化 率如效率、GDP、CPI增长率等等。 积分的的作用：可以求平面图形的面积，变速 直线运动的路程，变力做功等问题，积分在生 活生产科研等很多领域都有广泛应用。
微积分的创立是 数学 史上划时代的里程碑。
▪1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 ▪2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 ▪3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 ▪4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
谢谢观赏
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