绵阳市第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

绵阳市第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“2log 1x <”的概率为（ ） A ．
14 B ．18 C ．23 D ．112
2． △ABC 中，A （﹣5，0），B （5，0），点C 在双曲线上，则
=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．±
3． 若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =
-++-+-在02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A ．117⎡⎤⎢⎥⎣⎦，
B ．117⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦，
C.1
(][1)7
-∞-+∞，，
D ．[1)+∞， 4． 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）
A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数
B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数
C ．a ，b ，c 都是奇数
D ．a ，b ，c 都是偶数
5． 已知集合M={x|x 2＜1}，N={x|x ＞0}，则M ∩N=（ ） A ．∅ B ．{x|x ＞0} C ．{x|x ＜1} D ．{x|0＜x ＜1}
可．
6． 设实数
，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A ．a ＜c ＜b
B ．c ＜b ＜a
C ．b ＜a ＜c
D ．a ＜b ＜c
7． 已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.
8． 已知函数[)[)1(1)sin 2,2,212
()(1)sin 22,21,222
n
n x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（n N ∈），若数列{}m a 满足
*()()m a f m m N =∈，数列{}m a 的前m 项和为m S ，则10596S S -=（ ） A.909 B.910 C.911 D.912
【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 9． 如图，△ABC 所在平面上的点P n （n ∈N *）均满足△P n AB 与△P n AC 的面积比为3；1，
=
﹣
（2x n +1
）（其中，{x n }是首项为1的正项数列），则x 5等于
（ ）
A ．65
B ．63
C ．33
D ．31
10．若方程C ：x 2
+
=1（a 是常数）则下列结论正确的是（ ）
A ．∀a ∈R +，方程C 表示椭圆
B ．∀a ∈R ﹣，方程
C 表示双曲线
C ．∃a ∈R ﹣，方程C 表示椭圆
D ．∃a ∈R ，方程C 表示抛物线 11．复数
z=
（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
12．某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）有如表几组样本数据：
0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）
A ． =0.7x+0.35
B ． =0.7x+1
C ． =0.7x+2.05
D ． =0.7x+0.45
二、填空题
13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 不是直角三角形，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）
①tanA •tanB •tanC=tanA+tanB+tanC
②tanA+tanB+tanC 的最小值为3
③tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数 ④若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则A=45°
⑤当tanB ﹣1=
时，则sin 2
C ≥sinA •sinB ．
14．已知x ，y 满足条件
，则函数z=﹣2x+y 的最大值是 ．
15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，c=2a 且•=24，
则△ABC 的面积是 ．
16．设f （x ）是（x 2+
）6
展开式的中间项，若f （x ）≤mx 在区间[
，]上恒成立，则实数m 的取值范
围是 ．
17．已知正整数m 的3次幂有如下分解规律：
113=；5323+=；119733++=；1917151343+++=；…
若)(3
+∈N m m 的分解中最小的数为91，则m 的值为 .
【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识，问题的给出比较新颖，对逻辑推理及化归能力有较高要求，难度中等.
18．已知角α终边上一点为P （﹣1，2），则值等于 ．
三、解答题
19．在极坐标系下，已知圆O ：ρ=cos θ+sin θ和直线l ：．
（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
（2）当θ∈（0，π）时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．
20．已知函数2(x)1ax f x =
+是定义在（-1，1）上的函数, 12
()25
f =
（1）求a 的值并判断函数(x)f 的奇偶性
（2）用定义法证明函数(x)f 在（-1，1）上是增函数；
21．（本题12分）
正项数列{}n a 满足2(21)20n n a n a n ---=． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令1
(1)n n
b n a =+，求数列{}n b 的前项和为n T .
22．已知函数f （x ）=lnx+ax 2+b （a ，b ∈R ）．
（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1处的切线为y=﹣1，求函数f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）求证：对任意给定的正数m ，总存在实数a ，使函数f （x ）在区间（m ，+∞）上不单调；
（Ⅲ）若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 2＞x 1＞0）是曲线f （x ）上的两点，试探究：当a ＜0时，是否存在实数x 0∈（x 1，x 2），使直线AB 的斜率等于f'（x 0）？若存在，给予证明；若不存在，说明理由．
23．已知f（）=﹣x﹣1．
（1）求f（x）；
（2）求f（x）在区间[2，6]上的最大值和最小值．
24．已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，）．（1）求a的值；
（2）比较f（2）与f（b2+2）的大小；
（3）求函数f（x）=a（x≥0）的值域．
绵阳市第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2log 1x <得02x <<,由几何概型可得所求概率为202
303
-=-.故本题答案选C. 考点：几何概型． 2． 【答案】D
【解析】解：△ABC 中，A （﹣5，0），B （5，0），点C 在双曲线上，
∴A 与B 为双曲线的两焦点，
根据双曲线的定义得：|AC ﹣BC|=2a=8，|AB|=2c=10，
则=
=±
=±．
故选：D ．
【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．
3． 【答案】D 【
解
析
】
考
点：1、导数；2、单调性；3、函数与不等式.
4． 【答案】B
【解析】解：∵结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”
可得题设为：a ，b ，c 中恰有一个偶数
∴反设的内容是 假设a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数．
故选B ．
【点评】此题考查了反证法的定义，反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“．
5． 【答案】D
【解析】解：由已知M={x|﹣1＜x ＜1}， N={x|x ＞0}，则M ∩N={x|0＜x ＜1}， 故选D ．
【点评】此题是基础题．本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，
6． 【答案】A
【解析】解：∵，b=20.1＞20
=1，0＜
＜0.90
=1．
∴a ＜c ＜b ． 故选：A ．
7． 【答案】A.
【解析】||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-，设()||cos f x x x =-，[,]x ππ∈-， 显然()f x 是偶函数，且在[0,]π上单调递增，故()f x 在[,0]π-上单调递减，∴()()||||f f αβαβ>⇔>，故是充分必要条件，故选A. 8． 【答案】A.
【
解
析
】
9．【答案】D
【解析】解：由=﹣（2x n+1），
得+（2x n+1）=，
设，
以线段P n A、P n D作出图形如图，
则，
∴，∴，
∵，∴，
则，
即x n+1=2x n+1，∴x n+1+1=2（x n+1），
则{x n+1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴x5+1=2•24=32，
则x5=31．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的三角形法则，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造法构造等比数列，考查了计算能力，属难题．
10．【答案】B
【解析】解：∵当a=1时，方程C：即x2+y2=1，表示单位圆
∴∃a∈R+，使方程C不表示椭圆．故A项不正确；
∵当a＜0时，方程C：表示焦点在x轴上的双曲线
∴∀a∈R﹣，方程C表示双曲线，得B项正确；∀a∈R﹣，方程C不表示椭圆，得C项不正确
∵不论a取何值，方程C：中没有一次项
∴∀a∈R，方程C不能表示抛物线，故D项不正确
综上所述，可得B为正确答案
故选：B
11．【答案】C
【解析】解：z====+i，
当1+m＞0且1﹣m＞0时，有解：﹣1＜m＜1；
当1+m＞0且1﹣m＜0时，有解：m＞1；
当1+m＜0且1﹣m＞0时，有解：m＜﹣1；
当1+m＜0且1﹣m＜0时，无解；
故选：C．
【点评】本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题．
12．【答案】A
【解析】解：设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得，=4.5，=3.5．
因为回归直线经过点（，），所以3.5=0.7×4.5+a，解得a=0.35．
故选A．
【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．
二、填空题
13．【答案】①④⑤
【解析】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π
∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，
又∵tan（A+B）=，
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正确；
当A=，B=C=时，tanA+tanB+tanC=＜3，故②错误；
若tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；
由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则6tan3A=6tanA，则tanA=1，故A=45°，故④正确；
当tanB﹣1=时，tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC=，C=60°，
此时sin2C=，
sinA•sinB=sinA•sin（120°﹣A）=sinA•（cosA+sinA）=sinAcosA+sin2A=sin2A+﹣
cos2A=sin（2A﹣30°）≤，
则sin2C≥sinA•sinB．故⑤正确；
故答案为：①④⑤
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．14．【答案】4．
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时，直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．【答案】4．
【解析】解：∵sinA，sinB，sinC依次成等比数列，
∴sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b2=ac，
∵c=2a，可得：b=a，
∴cosB===，可得：sinB==，
∵•=24，可得：accosB=ac=24，解得：ac=32，
∴S
△ABC=acsinB==4．
故答案为：4．
16．【答案】[5，+∞）．
【解析】二项式定理．
【专题】概率与统计；二项式定理．
【分析】由题意可得 f （x ）=x 3，再由条件可得m ≥x 2
在区间[
，]上恒成立，求得x 2在区间[，]
上的最大值，可得m 的范围．
【解答】解：由题意可得 f （x ）=x 6
=x 3．
由f （x ）≤mx 在区间[
，]上恒成立，可得m ≥x 2
在区间[
，
]上恒成立，
由于x 2
在区间[
，]上的最大值为 5，故m ≥5，
即m 的范围为[5，+∞）， 故答案为：[5，+∞）．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，函数的恒成立问
题，属于中档题．
17．【答案】10
【解析】3m 的分解规律恰好为数列1，3，5，7，9，…中若干连续项之和，32为连续两项和，3
3为接下来三项和，故3
m 的首个数为12
+-m m .
∵)(3+∈N m m 的分解中最小的数为91，∴9112
=+-m m ，解得10=m .
18．【答案】 ．
【解析】解：角α终边上一点为P （﹣1，2）， 所以tan α=﹣2．
=
=
=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）圆O ：ρ=cos θ+sin θ，即ρ2
=ρcos θ+ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为：x 2+y 2=x+y ，即x 2+y 2
﹣x ﹣y=0．
直线l ：
，即ρsin θ﹣ρcos θ=1，则直线的直角坐标方程
为：y ﹣x=1，即x ﹣y+1=0．
（2）由，可得 ，直线l 与圆O 公共点的直角坐标为
（0，1），
故直线l 与圆O
公共点的一个极坐标为．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．
20．【答案】（1）1a =，()f x 为奇函数；（2）详见解析。

【解析】
试题分析：（1）11222
125514a f a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭+，所以1a =，则函数()2
1x f x x =+，函数()f x 的定义域为()1,1-，关于原点对称，又()()
()22
11x x
f x f x x x --==-=-++-，所以函数()f x 为奇函数；（2）设12,x x 是区间()1,1-上两个不等是实数，且12x x <，则210x x x ∆=->，()()21
2122
21
11x x y f x f x x x ∆=-=
-=++ ()()
()()
()()()()
()()()()
22211221121221122222222
1
2
12
1
111111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-+---=
=++++++，因为
()11,1x ∈-，()21,1x ∈-，
且12x x <，所以1211x x -<<，则1210x x ->，所以()()()()
2112222110
11x x x x x x -->++，即0y ∆>，所以函数()f x 在
区间()1,1-上为增函数。

试题解析：（1）12225
5
f a ⎛⎫== ⎪
⎝⎭
所以=1a ， 定义域为()1,1-,关于原点对称，且()()
()2
2
11x x
f x f x x
x --=
=-
=-++-,所以()f x 为奇函数； （2）设12,x x 是区间()1,1-上两个不等是实数，且12x x <，则210x x x ∆=->
()()21
21222111x x y f x f x x x ∆=-=-=++()()()()()()()()
22211221122222
21211111111x x x x x x x x x x x x +-+--=++++ 因为()11,1x ∈-，()21,1x ∈-，且12x x <， 所以1211x x -<<，则1210x x ->，所以()()()()
211222
2
1
10
11x x x x x x -->++，
即0y ∆>，
所以函数()f x 在区间()1,1-上为增函数。

考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性。

21．【答案】（1）n a n 2=；（2）=
n T )
1(2+n n
.
考点：1．一元二次方程；2．裂项相消法求和．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得解得…
此时，（x＞0）．
f'x=0x=1f x f'x
（Ⅱ）（x＞0）．
（1）当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，此时，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．…
（2）当a＜0时，令f'（x）=0，得，f（x），f'（x）的变化情况如下表：
）
所以函数f（x）的增区间为（0，），减区间为（，+∞）．…
要使函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调，须且只须＞m，即．
所以对任意给定的正数m，只须取满足的实数a，就能使得函数f（x）在区间（m，+∞）上不
单调．…
（Ⅲ）存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于f'（x0）．…
证明如下：令g（x）=lnx﹣x+1（x＞0），则，
易得g（x）在x=1处取到最大值，且最大值g（1）=0，即g（x）≤0，从而得lnx≤x﹣1．（*）…
由，得．…
令，，则p（x），q（x）在区间[x1，x2]上单调递增．
且，
，
结合（*）式可得，，
．
令h（x）=p（x）+q（x），由以上证明可得，h（x）在区间[x1，x2]上单调递增，且h（x1）＜0，h（x2）＞0，…所以函数h（x）在区间（x1，x2）上存在唯一的零点x0，
即成立，从而命题成立．…
（注：在（Ⅰ）中，未计算b的值不扣分．）
【点评】本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．
23．【答案】
【解析】解：（1）令t=，则x=，
∴f（t）=，
∴f（x）=（x≠1）…
（2）任取x1，x2∈[2，6]，且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）=﹣=，
∵2≤x1＜x2≤6，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，2（x2﹣x1）＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴f（x）在[2，6]上单调递减，…
∴当x=2时，f（x）max=2，当x=6时，f（x）min=…
24．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，），
∴a2=，
∴a=
（2）∵f（x）=（）x在R上单调递减，
又2＜b2+2，
∴f（2）≥f（b2+2），
（3）∵x≥0，x2﹣2x≥﹣1，
∴≤（）﹣1=3
∴0＜f（x）≤（0，3]。