山东省莱芜市第一中学高二数学理联考试卷含解析

山东省莱芜市第一中学高二数学理联考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在中, ,则的面积为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
B 略
2. 某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下表关系
与的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差为
A ．10
B ．20
C ．30
D ．40 参考答案： A
3. 已知等比数列满足
，且
，
，
成等差数列，
则
= ( )
A.33
B.84
C.72
D.189
参考答案：
B
4. 在△ABC 中，若则
( ) A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
B
略 5. 自点 的切线，则切线长为 （ ）
A.
B. 3
C.
D. 5
参考答案：
B
略
6. 已知向量
，若
，则的值为( )
A ．
B ．4
C ．
D ．
参考答案：
D
7. 用一个边长为2
的正方形硬纸板，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，半径为2
的鸡蛋（视为球体）放入其中，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为( )
A ．
B ．1
C ．
D ．3
参考答案：
A
考点：点、线、面间的距离计算． 专题：综合题；空间位置关系与距离．
分析：蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为2，蛋槽立起来的小三角形部分高度是1，
鸡蛋的半径为2，直径为4，大于折好的蛋巢边长2，由此能求出鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离．
解答： 解：蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为2， 蛋槽立起来的小三角形部分高度是1，
鸡蛋的半径为2，直径为4，大于折好的蛋巢边长2，四个三角形的顶点所在的平面在鸡蛋表面所截取的小圆直径就是蛋槽的边长2，
根据图示，AB段由三角形AB求出得：AB=，
AE=AB+BE=+1，
∴鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为+1．
故选：A．
点评：本题考查点、线、面间距离的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地化空间问题为平面问题，注意数形结合法的合理运用．
8. 如图，二面角的大小为，A，B为棱l上相异的两点，射线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱l．若线段AC，AB和BD的长分别为m，d和n，则CD的长为
A．
B．
C．
D．
参考答案：A
与夹角的大小就是二面角，可得,,
，故选A.
9. 如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合。

若
，则A*B为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
略
10. 点A（1，1）在直线l：mx+ny=1上，则mn的最大值为（）
A．B．C．D．1
参考答案：
B
【考点】基本不等式．
【专题】整体思想；综合法；不等式．
【分析】由题意可得m+n=1，消去n由关于m的二次函数可得．
【解答】解：∵点A（1，1）在直线l：mx+ny=1上，
∴m+n=1，∴mn=m（1﹣m）=﹣m2+m
由二次函数可知当m=﹣=时，mn取最大值．
故选：B．
【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. =
．
参考答案：
12. 已知椭圆
的左、右焦点分别为
,若椭圆上存在点P 使
,则该椭圆的离心率的取值范围为
_______________.
参考答案：
略
13. 已知是虚数单位，则(1-i )i =
参考答案：
1+i 略
14. 在极坐标系中，已知
，
，则A ，B 两点之间的距离
为__________．
参考答案：
【分析】
先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，进行代换将极坐标化成直角坐标，再在直角坐标系中算出两点间的距离即可．
【详解】根据x=ρcos θ，y=ρsin θ，点，的直角坐标为： ，
故答案为：．
【点睛】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，本题解题的关键是能进行极坐标和直角坐标的互化．
15. 右图是一个无盖正方体盒子的表面展开图，、、、为其上四个点，
则在正方体中，异面直线
与
所成的角为____________.
参考答案：
略
16. 若点（a ，b ）在直线x ＋3y ＝1上，则的最小值为
参考答案：
17. 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为,则此球的表面积等于 ．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题12分)已知函数f(x)＝sin2x －cos 2x －，x∈R.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；
(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f(C)＝0，若sinB ＝2sinA ，求a ，b 的
值．
参考答案：
f(x)的最大值为0，
最小正周期T＝π. （5分）
∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，
∴∴（7分）
∵sinB＝2sinA，∴由正弦定理得，①（8分）
由余弦定理得（10分）
即a2＋b2－ab＝9，②
由①②解得（12分）
19. 已知动点M（x，y）到直线l：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．
【专题】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）经分析当直线m的斜率不存在时，不满足A是PB的中点，然后设出直线m的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出x1+x2，x1x2，结合2x1=x2得到关于k的方程，则直线m 的斜率可求．
【解答】解：（Ⅰ）点M（x，y）到直线x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍，则
|x﹣4|=2，即（x﹣4）2=4，
整理得．
所以，动点M的轨迹是椭圆，方程为；
（Ⅱ）P（0，3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由A是PB的中点，得2x1=0+x2，2y1=3+y2．椭圆的上下顶点坐标分别是和，经检验直线m不经过这两点，即直线m的斜率k存在．
设直线m的方程为：y=kx+3．
联立，
整理得：（3+4k2）x2+24kx+24=0．
．
因为2x1=x2．
则，得，
所以．
即，解得．
所以，直线m的斜率．
【点评】本题考查了曲线方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解，是中档题．
20. 已知A=，B=，C=
(Ⅰ)试分别比较A与B、B与C的大小（只要写出结果，不要求证明过程）；
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的比较结果，请推测出与（）的大小，并加以证明.
参考答案：
(Ⅰ) A>B ……3分B>C……6分
(Ⅱ) 推测结果为>．证明如下：
法一（求差法）: ∵()-()=……9分
又∵……10分
……11分
∴>（）……12分
法二（综合法）:∵()……8分
∴……9分
又∵,……11分
∴>（）……12分
法三（分析法）: 欲证>
只需证……8分
即证
只需证即证……10分
只需证即证
显然成立，故原命题成立即
>（）……12分
略
21. (本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长．
①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；
②动圆是否经过定点？若经过，求出定点的
坐标；若不经过，请说明理由．
参考答案：
解：（1）设直线的方程为，即．
因为直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为1，
所以圆心到：的距离为． (3)
分
化简，得，解得或．
所以直线的方程为或．…………………6分（2）①证明：设圆心，由题意，得，
即．
化简得，
即动圆圆心C在定直线上运动．…………………………10分
②圆过定点，设，
则动圆C的半径为．
于是动圆C的方程为．
整理，得．…………………………14分
由得或
所以定点的坐标为，．………16分
22. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知：a，b，c都是正数，a＋2b＋3c＝9．求证：＋＋≥．
参考答案：
证明：因为a，b，c都是正数，
所以(a＋2b＋3c)(＋＋)
≥(?＋?＋?)2＝1．……8分
因为a＋2b＋3c＝9，
所以＋＋≥．。