2016-2017学年高中数学人教版必修2课件：4.1.2 圆的一般方程
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第七页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
[活学活用] 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径． (1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)； (3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)． 解：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0， ∴方程不表示任何图形．
，半径长为
1 2
D2＋E2－4F .
第三页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
[化解疑难]
1．圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点： (1)x2，y2的系数相等且不为0； (2)没有xy项． 2．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明：
方程
条件
图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
x2＋y2＋ D2＋E2－4F＝0 表示一个点－D2 ，－E2
第二十三页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
[随堂即时演练]
1．圆(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0的圆心坐标和半径长分别为
A．(－1,2)，2
B．(1，－1)，1
()
C.12，－1，3 5
D.－12，－1，3 2 5
答案：D
第二十四页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
2．已知方程 x2＋y2－2x＋2k＋3＝0 表示圆，则 k 的取值范围是
第十八页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
10.与圆有关的轨迹轨迹方程问题 [典例] (12分)已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1,2) 的圆的弦的中点P的轨迹．
第十九页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
[解题流程]
第二十页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
第二十一页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
第五页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方 程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
第六页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
[类题通法] 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示 圆时可有如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆， 否则不表示圆； (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种 方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形 式，若不是，则要化为这种形式再求解．
A．(－∞，－1)
()Βιβλιοθήκη B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D.－32，＋∞
答案：A
第二十五页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
3．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆， 则a＝________，b＝________，c＝________.
答案：－2 4 4
[类题通法] 应用待定系数法求圆的方程时的两个注意点 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心 的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待 定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆 的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
第十二页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
第二十七页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
课时跟踪检测见课时达标检测(二十四)
第二十八页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
D2＋E2－4F＝
2 2 |a|.
第九页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
圆的一般方程的求法
[例2] 已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－ 5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
[解] 法一：设△ABC的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圆上，
[活学活用] 求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆 的方程． 解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心坐标为－D2 ，－E2 . ∵圆与x＋3y－26＝0相切， ∴86＋＋DE22 ·－13＝－1，
第十三页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
法二：∵kAB＝41－ ＋32＝13，kAC＝41＋ －54＝－3， ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC. ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形， ∴外心是线段BC的中点， 坐标为(1，－1)，r＝12|BC|＝5. ∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
第十一页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
第二十二页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
[活学活用] 一动点 M 到点 A(－4,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍，求动 点的轨迹． 解：设动点M的坐标为(x，y)， 则|MA|＝2|MB|， 即 x＋42＋y2＝2 x－22＋y2， 整理得x2＋y2－8x＝0， 即所求动点的轨迹方程为x2＋y2－8x＝0.
∴14＋ ＋196－＋2DD＋ ＋43EE＋ ＋FF＝ ＝00， ， 16＋25＋4D－5E＋F＝0，
∴DE＝＝2－，2， F＝－23，
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
第十页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
第十五页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
∴20＋＋22 xy＝＝yx00.，
①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y20＝9.
②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点 C 不能在 x 轴上，∴y≠0.
综上，点 C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6 为半径的圆，去掉(－
12,0)和(0,0)两点．
4．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1， 则P点的轨迹方程是________．
答案：(x－1)2＋y2＝2
第二十六页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
5．求过点(－1,1)，且圆心与已知圆x2＋y2－6x－8y＋15＝0的 圆心相同的圆的方程． 答案：x2＋y2－6x－8y＝0
即 E－3D－36＝0.
①
∵(－2，－4)，(8,6)在圆上，∴2D＋4E－F－20＝0， ②
8D＋6E＋F＋100＝0.
③
联立①②③，解得 D＝－11，E＝3，F＝－30，故所求圆的方
程为 x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
第十四页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
代入法求轨迹方程 [例3] 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长 3，求顶点C的轨迹方程． [解] 以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系 (如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．
Dx＋Ey＋ F＝0
D2＋E2－4F>0 表示以－D2 ，－E2 为圆心，以
1 2
D2＋E2－4F为半径的圆
第四页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
圆的一般方程的概念辨析
[例1] 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． [解] (1)据题意知 D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0， 即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜15， 故m的取值范围为－∞，15.
第二页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
[导入新知]
1．圆的一般方程的概念 当 D2＋E2－4F＞0 时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0 叫做圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表
示的圆的圆心为
－D2 ，－E2
4．1.2 圆的一般方程
[提出问题] 已知圆心(2,3)，半径为2. 问题1：写出圆的标准方程． 提示：(x－2)2＋(y－3)2＝4. 问题2：上述方程能否化为二元二次方程的形式？ 提示：可以，x2＋y2－4x－6y＋9＝0.
第一页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
问题3：方程x2＋y2－4x－6y＋13＝0是否表示圆？ 提示：配方化为(x－2)2＋(y－3)2＝0，不表示圆． 问题4：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？ 提示：不一定．
第八页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，
∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，
∴方程表示点(－a,0)．
(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，
D＝a，E＝－a，F＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0，
∴方程表示圆，它的圆心为－a2，a2，
半径r＝12
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
第十六页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
[类题通法] 用代入法求轨迹方程的一般步骤
第十七页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
[活学活用] 过点A(8,0)的直线与圆x2＋y2＝4交于点B，则AB中点P的轨迹方程 为________________． 答案：(x－4)2＋y2＝1
[活学活用] 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径． (1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)； (3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)． 解：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0， ∴方程不表示任何图形．
，半径长为
1 2
D2＋E2－4F .
第三页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
[化解疑难]
1．圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点： (1)x2，y2的系数相等且不为0； (2)没有xy项． 2．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明：
方程
条件
图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
x2＋y2＋ D2＋E2－4F＝0 表示一个点－D2 ，－E2
第二十三页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
[随堂即时演练]
1．圆(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0的圆心坐标和半径长分别为
A．(－1,2)，2
B．(1，－1)，1
()
C.12，－1，3 5
D.－12，－1，3 2 5
答案：D
第二十四页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
2．已知方程 x2＋y2－2x＋2k＋3＝0 表示圆，则 k 的取值范围是
第十八页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
10.与圆有关的轨迹轨迹方程问题 [典例] (12分)已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1,2) 的圆的弦的中点P的轨迹．
第十九页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
[解题流程]
第二十页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
第二十一页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
第五页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方 程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
第六页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
[类题通法] 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示 圆时可有如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆， 否则不表示圆； (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种 方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形 式，若不是，则要化为这种形式再求解．
A．(－∞，－1)
()Βιβλιοθήκη B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D.－32，＋∞
答案：A
第二十五页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
3．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆， 则a＝________，b＝________，c＝________.
答案：－2 4 4
[类题通法] 应用待定系数法求圆的方程时的两个注意点 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心 的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待 定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆 的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
第十二页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
第二十七页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
课时跟踪检测见课时达标检测(二十四)
第二十八页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
D2＋E2－4F＝
2 2 |a|.
第九页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
圆的一般方程的求法
[例2] 已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－ 5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
[解] 法一：设△ABC的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圆上，
[活学活用] 求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆 的方程． 解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心坐标为－D2 ，－E2 . ∵圆与x＋3y－26＝0相切， ∴86＋＋DE22 ·－13＝－1，
第十三页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
法二：∵kAB＝41－ ＋32＝13，kAC＝41＋ －54＝－3， ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC. ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形， ∴外心是线段BC的中点， 坐标为(1，－1)，r＝12|BC|＝5. ∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
第十一页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
第二十二页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
[活学活用] 一动点 M 到点 A(－4,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍，求动 点的轨迹． 解：设动点M的坐标为(x，y)， 则|MA|＝2|MB|， 即 x＋42＋y2＝2 x－22＋y2， 整理得x2＋y2－8x＝0， 即所求动点的轨迹方程为x2＋y2－8x＝0.
∴14＋ ＋196－＋2DD＋ ＋43EE＋ ＋FF＝ ＝00， ， 16＋25＋4D－5E＋F＝0，
∴DE＝＝2－，2， F＝－23，
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
第十页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
第十五页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
∴20＋＋22 xy＝＝yx00.，
①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y20＝9.
②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点 C 不能在 x 轴上，∴y≠0.
综上，点 C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6 为半径的圆，去掉(－
12,0)和(0,0)两点．
4．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1， 则P点的轨迹方程是________．
答案：(x－1)2＋y2＝2
第二十六页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
5．求过点(－1,1)，且圆心与已知圆x2＋y2－6x－8y＋15＝0的 圆心相同的圆的方程． 答案：x2＋y2－6x－8y＝0
即 E－3D－36＝0.
①
∵(－2，－4)，(8,6)在圆上，∴2D＋4E－F－20＝0， ②
8D＋6E＋F＋100＝0.
③
联立①②③，解得 D＝－11，E＝3，F＝－30，故所求圆的方
程为 x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
第十四页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
代入法求轨迹方程 [例3] 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长 3，求顶点C的轨迹方程． [解] 以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系 (如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．
Dx＋Ey＋ F＝0
D2＋E2－4F>0 表示以－D2 ，－E2 为圆心，以
1 2
D2＋E2－4F为半径的圆
第四页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
圆的一般方程的概念辨析
[例1] 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． [解] (1)据题意知 D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0， 即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜15， 故m的取值范围为－∞，15.
第二页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
[导入新知]
1．圆的一般方程的概念 当 D2＋E2－4F＞0 时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0 叫做圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表
示的圆的圆心为
－D2 ，－E2
4．1.2 圆的一般方程
[提出问题] 已知圆心(2,3)，半径为2. 问题1：写出圆的标准方程． 提示：(x－2)2＋(y－3)2＝4. 问题2：上述方程能否化为二元二次方程的形式？ 提示：可以，x2＋y2－4x－6y＋9＝0.
第一页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
问题3：方程x2＋y2－4x－6y＋13＝0是否表示圆？ 提示：配方化为(x－2)2＋(y－3)2＝0，不表示圆． 问题4：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？ 提示：不一定．
第八页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，
∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，
∴方程表示点(－a,0)．
(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，
D＝a，E＝－a，F＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0，
∴方程表示圆，它的圆心为－a2，a2，
半径r＝12
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
第十六页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
[类题通法] 用代入法求轨迹方程的一般步骤
第十七页，编辑于星期五：十六点 五十一分。
[活学活用] 过点A(8,0)的直线与圆x2＋y2＝4交于点B，则AB中点P的轨迹方程 为________________． 答案：(x－4)2＋y2＝1