2020年甘肃省武威九中中考数学模拟试卷(5月份) (解析版)

2020年甘肃省武威九中中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题
1．﹣4的相反数是（）
A．4B．C．﹣D．﹣4
2．下列各式中，计算错误的是（）
A．2a+3a＝5a B．2x﹣3x＝﹣1
C．﹣x（2﹣x）＝x2﹣2x D．（﹣x3）2＝x6
3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，立体图形的左视图是（）
A．B．
C．D．
5．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
6．中国是一个干旱缺水严重的国家，淡水资源总量约为28000亿立方米，约占全球水资源的6%．将28000用科学记数法表示为（）
A．28×103B．2.8×104C．2.8×105D．0.28×106
7．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA＝4，OA＝3，则sin∠AOP 的值为（）
A．B．C．D．
8．为了美化环境，我县加大对绿化的投资，2016年用于绿化的投资为20万元，2018年用于绿化的投资为25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为（）
A．20x2＝25B．20（1+x）＝25
C．20（1+x）2＝25D．20（1+x）+20（1+x）2＝25
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；
②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④4a+2b+c＞0．其中正确的是（）
A．①③B．②C．②④D．③④
10．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y （cm2），则y关于x的函数图象是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大題8小題，每小題3分，共24）
11．分解因式：4a2﹣b2＝．
12．函数y＝中，自变量x的取值范围是．
13．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为m．
14．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是．15．△ABC中，若（sin A﹣）2+|﹣cos B|＝0，则∠C＝．
16．如图，点A在双曲线y＝上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积是2，则k的值是．
17．如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C＝55°，则劣弧的长是．（结果保留π）
18．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为a n，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400＝．
三、解答题：（本大题共4小题，共20分）
19．计算：（﹣2）0+（）﹣1+4cos30°﹣|﹣|．
20．先化简（1﹣）÷，然后从﹣1，0，1，2中选一个自己喜欢的x值代入求值．
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．
22．如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：≈1.732）
四、解答题：（本大题共6小题，共46分）
23．在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于
12，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
（2）分别求出李燕和刘凯获胜的概率．
24．居民区内的“广场舞”引起媒体关注，民勤电视台为此进行过专访报到．小平想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行了一次抽样调查，把居民对“广场舞”的看法分为四个层次：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同．并将调查结果绘制了图①和图②两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）求本次被抽查的居民有多少人？
（2）将图①和图②补充完整．
（3）求图②中“A”层次所在扇形的圆心角度数．
（4）估计该小区5000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有多少人．
25．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值＞反比例函数的值的x的取值范围．
26．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．
27．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为3cm，∠C＝30°，求图中阴影部分的面积．
28．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．
（1）求二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD＝m，△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？并说明理由；
（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）
1．﹣4的相反数是（）
A．4B．C．﹣D．﹣4
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
解：在﹣4前面添上“﹣”号后就是4．
故选：A．
2．下列各式中，计算错误的是（）
A．2a+3a＝5a B．2x﹣3x＝﹣1
C．﹣x（2﹣x）＝x2﹣2x D．（﹣x3）2＝x6
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
解：A、原式＝5a，不符合题意；
B、原式＝﹣x，符合题意；
C、原式＝﹣2x+x2，不符合题意；
D、原式＝x6，不符合题意，
故选：B．
3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
解：第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
其余三个图形即是轴对称图形又是中心对称图形，
故选：C．
4．如图，立体图形的左视图是（）
A．B．
C．D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．解：从左面看易得图形呈：“日“字形．
故选：A．
5．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【分析】先计算判别式得到△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：根据题意△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．中国是一个干旱缺水严重的国家，淡水资源总量约为28000亿立方米，约占全球水资源的6%．将28000用科学记数法表示为（）
A．28×103B．2.8×104C．2.8×105D．0.28×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：28000＝2.8×104，
故选：B．
7．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA＝4，OA＝3，则sin∠AOP 的值为（）
A．B．C．D．
【分析】根据切线的性质，△OAP是直角三角形，根据勾股定理就可以求出OP＝5，则可以求得sin∠AOP的值．
解：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO＝90°，
∴△PAO是直角三角形，
又∵PA＝4，OA＝3，
∴OP＝＝5，
∴sin∠AOP＝＝．
故选：C．
8．为了美化环境，我县加大对绿化的投资，2016年用于绿化的投资为20万元，2018年用于绿化的投资为25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为（）
A．20x2＝25B．20（1+x）＝25
C．20（1+x）2＝25D．20（1+x）+20（1+x）2＝25
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据“2016年用于绿化投资20万元，2018年用于绿化投资25万元”，可得出方程．
解：设这两年绿化投资的年平均增长率为x，那么依题意得：
20（1+x）2＝25
故选：C．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；
②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④4a+2b+c＞0．其中正确的是（）
A．①③B．②C．②④D．③④
【分析】①根据抛物线的开口方向、抛物线对称轴位置、抛物线与y轴交点位置判定a、
b、c的符号；
②根据对称轴的x＝1来判断对错；
③由抛物线与x轴交点的个数判断对错；
④根据对称轴x＝1来判断对错．
解：①抛物线开口方向向上，则a＞0，b＝﹣2a＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，
所以abc＜0，
故①错误；
②如图所示，对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，则2a+b＝0，故②正确；
③如图所示，抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故③错误；
④对称轴x＝1，当x＝0与x＝2时的点是关于直线x＝1的对应点，
所以x＝2与x＝0时的函数值相等，所以4a+2b+c＞0，故④正确；
综上所述，正确的结论为②④．
故选：C．
10．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y （cm2），则y关于x的函数图象是（）
A．B．
C．D．
【分析】首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；
③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．
解：由题意可得BQ＝x．
①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP＝3x，
则△BPQ的面积＝BP•BQ，
解y＝•3x•x＝x2；故A选项错误；
②1＜x≤2时，P点在CD边上，
则△BPQ的面积＝BQ•BC，
解y＝•x•3＝x；故B选项错误；
③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP＝9﹣3x，
则△BPQ的面积＝AP•BQ，
解y＝•（9﹣3x）•x＝x﹣x2；故D选项错误．
故选：C．
二、填空题（本大題8小題，每小題3分，共24）
11．分解因式：4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）．
【分析】首先把4a2写成（2a）2，再直接利用平方差公式进行分解即可．
解：4a2─b2＝（2a）2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），
故答案为：（2a+b）（2a﹣b）．
12．函数y＝中，自变量x的取值范围是x＞1．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可求出自变量x的取值范围．
解：根据题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1．
13．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为15m．
【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．
解：设旗杆高度为x米，
由题意得，＝，
解得x＝15．
故答案为：15．
14．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是0．【分析】由于方程的一个根是0，把x＝0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．
解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，
把x＝0代入方程，得k2﹣k＝0，
解得，k1＝1，k2＝0
当k＝1时，由于二次项系数k﹣1＝0，
方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0不是关于x的二次方程，故k≠1．
所以k的值是0．
故答案为：0
15．△ABC中，若（sin A﹣）2+|﹣cos B|＝0，则∠C＝120°．【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出sin A＝，cos B＝，进而利用特殊角的三角函数值得出答案．
解：∵（sin A﹣）2+|﹣cos B|＝0，
∴sin A﹣＝0，﹣cos B＝0，
∴sin A＝，cos B＝，
∴∠A＝30°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故答案为：120°．
16．如图，点A在双曲线y＝上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积是2，则k的值是﹣4．
【分析】根据反比例函数的系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变，可得|k|＝S△AOB＝2，据此求出k的值是多少即可．
解：∵△AOB的面积是2，
∴|k|＝2，
∴|k|＝4，
解得k＝±4，
又∵双曲线y＝的图象经过第二、四象限，
∴k＝﹣4，
即k的值是﹣4．
故答案为：﹣4．
17．如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C＝55°，则劣弧的长是．（结果保留π）
【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求∠AOB＝110°，根据弧长公式可求劣弧的长．
解：∵∠AOB＝2∠C且∠C＝55°
∴∠AOB＝110°
根据弧长公式的长＝＝
故答案为
18．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为a n，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400＝ 1.6×105或160000．
【分析】首先计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值，然后总结规律，根据规律可以得出结论．解：∵；；；…
∴；
∴．
故答案为：1.6×105或160000．
三、解答题：（本大题共4小题，共20分）
19．计算：（﹣2）0+（）﹣1+4cos30°﹣|﹣|．
【分析】根据实数的运算顺序计算，注意：（﹣2）0＝1，（）﹣1＝3，cos30°＝，|﹣|＝2．
解：原式＝1+3+4×﹣
＝4+2﹣2
＝4．
20．先化简（1﹣）÷，然后从﹣1，0，1，2中选一个自己喜欢的x值代入求值．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解得到原式＝，由于x≠±1且x≠2，所以把x＝0代入计算即可．
解：原式＝•
＝，
当x＝0时，原式＝＝﹣．
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．
【分析】（1）先作出△ABC关于x轴的对称顶点，连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
（2）根据△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位，即可得到△A2B2C2，进而写出顶点A2，B2，C2的坐标．
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，
点A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）．
22．如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：≈1.732）
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置为CD的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可．
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
AB＝20×1＝20（海里），
∵∠CAF＝60°，∠CBE＝30°，
∴∠CBA＝∠CBE+∠EBA＝120°，∠CAB＝90°﹣∠CAF＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝30°，
∴∠C＝∠CAB，
∴BC＝BA＝20（海里），
∠CBD＝90°﹣∠CBE＝60°，
∴CD＝BC•sin∠CBD＝≈17（海里）．
四、解答题：（本大题共6小题，共46分）
23．在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于
12，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
（2）分别求出李燕和刘凯获胜的概率．
【分析】（1）根据题意列出表格，得出游戏中两数和的所有可能的结果数；
（2）根据（1）得出两数和共有的情况数和其中和小于12的情况、和大于12的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
解：（1）根据题意列表如下：
甲乙6789
39101112
410111213
511121314
可见，两数和共有12种等可能结果；
（2）由（1）可知，两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，和大于12的情况有3种，
∴李燕获胜的概率为＝；
刘凯获胜的概率为＝．
24．居民区内的“广场舞”引起媒体关注，民勤电视台为此进行过专访报到．小平想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行了一次抽样调查，把居民对“广场舞”的看法分为四个层次：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同．并将调查结果绘制了图①和图②两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）求本次被抽查的居民有多少人？
（2）将图①和图②补充完整．
（3）求图②中“A”层次所在扇形的圆心角度数．
（4）估计该小区5000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有多少人．
【分析】（1）由A层次的人数除以所占的百分比求出调查的学生总数即可；
（2）由D层次人数除以总人数求出D所占的百分比；用整体1减去其它所站的百分比求出B所占的百分比，再乘以总人数可得B层次人数，从而补全统计图；
（3）用360°乘以A层次的人数所占的百分比即可得“A”层次所在扇形的圆心角的度数；
（4）求出样本中A层次与B层次的百分比之和，乘以5000即可得到结果．
解：（1）90÷30%＝300（人），
答：本次被抽查的居民有300人；
（2）D所占的百分比：30÷300＝10%，
B所占的百分比：1﹣20%﹣30%﹣10%＝40%，
B对应的人数：300×40%＝120（人），
C对应的人数：300×20%＝60（人），
补全统计图，如图所示：
（3）360°×30%＝108°，
答：“A”层次所在扇形的圆心角的度数为108°；
（4）5000×（30%+40%）＝3500（人），
答：计该小区5000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有3500人．
25．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值＞反比例函数的值的x的取值范围．
【分析】（1）由A的坐标易求反比例函数解析式，从而求B点坐标，进而求一次函数的解析式；
（2）观察图象，看在哪些区间一次函数的图象在上方．
解：（1）把A（﹣2，1）代入y＝，得m＝﹣2，
即反比例函数为y＝﹣，则n＝n＝﹣2，
即B（1，﹣2），把A（﹣2，1），B（1，﹣2）代入y＝kx+b，
求得k＝﹣1，b＝﹣1，所以y＝﹣x﹣1；
（2）由图象可知：x＜﹣2或0＜x＜1．
26．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可证得AE＝CF，然后由SAS，即可判定△ADE ≌△CBF；
（2）先证明BE与DF平行且相等，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再连接EF，可以证明四边形AEFD是平行四边形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根据菱形的判定可以得到四边形是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
∵
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是菱形，理由如下：
解：由（1）可得BE＝DF，
又∵AB∥CD，
∴BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
连接EF，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF∥AE，DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴EF∥AD，
∵∠ADB是直角，
∴AD⊥BD，
∴EF⊥BD，
又∵四边形BFDE是平行四边形，
∴四边形BFDE是菱形．
27．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为3cm，∠C＝30°，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）由等腰三角形的性质证出∠ODB＝∠C．得出OD∥AC．由已知条件证出DE⊥OD，即可得出结论；
（2）由垂径定理求出OF，由勾股定理得出DF，求出BD，得出△BOD的面积，再求出扇形BOD的面积，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∴∠ODB＝∠C．
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：过O作OF⊥BD于F，如图2所示：
∵∠C＝30°，AB＝AC，OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝∠C＝30°，
∴∠BOD＝120°，
在Rt△DFO中，∠FDO＝30°，
∴OF＝OD＝cm，
，∴DF＝＝cm，
∴BD＝2DF＝3cm，
∴S△BOD＝×BD×OF＝×3×＝cm2，S扇形BOD＝＝3πcm2，
∴S阴＝S扇形BOD﹣S△BOD＝＝（3π﹣）cm2．
28．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．
（1）求二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD＝m，△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？并说明理由；
（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）把B点和C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）把（1）中的一般式配成顶点式可得到M（1，4），设直线BM的解析式为y＝kx+n，再利用待定系数法求出直线BM的解析式，则P（m，﹣2m+6）（1≤m＜3），于是根据三角形面积公式得到S＝﹣m2+3m，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）讨论：∠PDC不可能为90°；当∠DPC＝90°时，易得﹣2m+6＝3，解方程求出m即可得到此时P点坐标；当∠PCD＝90°时，利用勾股定理得到和两点间的距离公式得到m2+（﹣2m+3）2+32+m2＝（﹣2m+6）2，
然后解方程求出满足条件的m的值即可得到此时P点坐标．
解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）S有最大值．理由如下：
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴M（1，4），
设直线BM的解析式为y＝kx+n，
把B（3，0），M（1，4）代入得，解得，
∴直线BM的解析式为y＝﹣2x+6，
∵OD＝m，
∴P（m，﹣2m+6）（1≤m＜3），
∴S＝•m•（﹣2m+6）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∵1≤m＜3，
∴当m＝时，S有最大值，最大值为；
（3）存在．
∠PDC不可能为90°；
当∠DPC＝90°时，则PD＝OC＝3，即﹣2m+6＝3，解得m＝，此时P点坐标为（，3），
当∠PCD＝90°时，则PC2+CD2＝PD2，即m2+（﹣2m+3）2+32+m2＝（﹣2m+6）2，
整理得m2+6m﹣9＝0，解得m1＝﹣3﹣3（舍去），m2＝﹣3+3，
当m＝﹣3+3时，y＝﹣2m+6＝6﹣6+6＝12﹣6，此时P点坐标为（﹣3+3，12﹣6），
综上所述，当P点坐标为（，3）或（﹣3+3，12﹣6）时，△PCD为直角三角形．。