八年级数学第五章相交线与平行线单元测试卷中考真题汇编[解析版]

八年级数学第五章相交线与平行线单元测试卷中考真题汇编[解析版]
一、选择题
1．下列命题是真命题的是（ ）
A ．直角三角形中两个锐角互补
B ．相等的角是对顶角
C ．同旁内角互补，两直线平行
D ．若a b =，则a b = 2．如图，直线a ∥b ，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度
数为（ ）
A ．30°
B ．32°
C ．42°
D ．58°
3．如图，AB ∥CD ，直线MN 与AB 、CD 分别交于点E 、F ，FG 平分∠EFD ，EG ⊥FG 于点G ，若∠CFN ＝110°，则∠BEG ＝( )
A ．20°
B ．25°
C ．35°
D ．40° 4．如图，AB CD ∥，154FGB ∠︒＝，FG 平分EFD ∠，则AEF ∠的度数等于
（ ）．
A ．26°
B ．52°
C ．54°
D ．77°
5．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，等腰Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 分别在l 1，l 2，l 3上，∠ ACB=90°，AC 交l 2于点D ，已知l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，则AB:BD 的值为（ ）
A ．425
B ．345
C ．528
D ．3220
6．如图，若180A ABC ∠+∠=︒，则下列结论正确的是（ ）
A ．12∠=∠
B ．24∠∠=
C ．13∠=∠
D ．23∠∠=
7．现有以下命题：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③在圆中，平分弦的直径垂直于弦；④平行于同一条直线的两直线互相平行．其中真命题的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．下列命题：①两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；②两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等；④面积相等的两个三角形肯定全等；⑤有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 9．如图，已知AB CD ∕∕，AF 交CD 于点
E ，且,40BE A
F BED ⊥∠=︒，则A ∠的度
数是（ ）
A ．40︒
B ．50︒
C ．80︒
D ．90︒
10．下列命题是真命题的是（ ）
A ．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0
B ．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1
C ．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0
D ．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
11．已知//AB CD ，∠EAF=13∠EAB ，∠ECF=13
∠ECD ，若∠E=66°，则∠F 为（ ）
A ．23°
B ．33°
C ．44°
D ．46°
12．如图，直线l 与直线AB 、CD 分别相交于点E 、点F ，EG 平分BEF ∠交直线CD 与点G ，若168BEF ∠=∠=︒，则EGF ∠的度数为（ ）．
A．34°B．36°C．38°D．68°
二、填空题
13．如图,AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∠BFD=35°，那么∠BED的度数为_______.
14．已知∠ABC=70︒，点D为BC边上一点，过点D作DP//AB，若∠PBD=1
2
∠ABC，则
∠DPB=_____︒.
15．如图，直线l1∥l2∥l3，等边△ABC的顶点B、C分别在直线l2、l3上，若边BC与直线l3的夹角∠1=25°，则边AB与直线l1的夹角∠2=________．
16．如图，AD∥BC，∠D=100°，CA平分∠BCD，则∠DAC=________度．
17．如图所示，AB∥CD，EC⊥CD．若∠BEC＝30°，则∠ABE的度数为_____．
18．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOD=120°，则
∠BOD=__________°．
19．如图，AB∥CD，∠β=130°，则∠α=_______°．
20．如图，直线////a b c ，直角三角板的直角顶点落在直线b 上，若135∠=︒，则2∠等于_______．
三、解答题
21．如图1，在平面直角坐标系中，()()02A a C b ，，
，，且满足()240a b a b ++-+=，过C 作CB x ⊥轴于B
（1）求三角形ABC 的面积．
（2）发过B 作//BD AC 交y 轴于D ，且,AE DE 分别平分,CAB ODB ∠∠，如图2，若,90()CAB ACB a αββ∠=∠=+=︒，求AED ∠的度数．
（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等？若存在，求出P 点坐标；若不存在；请说明理由．
22．如图①，已知直线12l l //，且3l 和12,l l 分别相交于,A B 两点，4l 和12,l l 分别相交于,C D 两点，点P 在线段AB 上，记1 23ACP BDP CPD ∠∠∠∠∠∠＝，＝，＝．
（1）若120,355︒︒∠=∠=，则2∠=_____；
（2）试找出123∠∠∠，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）应用（2）中的结论解答下列问题；如图②，点A 在B 处北偏东42︒的方向上， 若
88BAC ︒∠=，则点 A 在C 处的北偏西_____的方向上；
（4）如果点P 在直线3l 上且在,A B 两点外侧运动时，其他条件不变，试探究1 23∠∠∠，，之间的关系(点 P 和,A B 两点不重合)，直接写出结论即可．
23．如图，//AB CD ，EG 平分DEF ∠，FG 平分BFE ∠．
（1）求证：90EFG GEF ∠+∠=︒；
（2）在（1）问的条件下，过点G 作GH AB ⊥，垂足为H ，FGH ∠的平分线GI 交AB 于点I ，EGH ∠的平分线GJ 交AB 于点J ，求IGJ ∠的度数．
24．如图1，//,AB CD 直线MN 分别交AB CD 、于点,E F BEF ∠、与EFD ∠的角平分线交于点P EP ，与CD 交于点G GH EG ⊥,交MN 于H ．
（1）求证：
// ;PF GH （2）如图2，连接PH K ,为GH 上一动点，PHK HPK PO ∠=∠,平分EPK ∠交MN 于,Q 则HPQ ∠的大小是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．
25．已知：//AB DE ，//AC DF ，B C E F 、、、四点在同一直线上．
（1）如图1，求证：12∠=∠；
（2）如图2，猜想1,3,4∠∠∠这三个角之间有何数量关系？并证明你的结论； （3）如图3，Q 是AD 下方一点，连接,AQ DQ ，且13
DAQ BAD ∠=∠，
13
ADQ ADF ∠=∠，若110AQD ∠=︒，求2∠的度数． 26．（1）如图1，已知直线//m n ，在直线n 上取A B 、两点，C P 、为直线m 上的两点，无论点C P 、移动到任何位置都有：ABC S ____________ABP S △（填“>”、“<”或“=”） （2）如图2，在一块梯形田地上分别要种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画出相应图形并简述理由．
（3）如图3，王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形DEFG ，中间有条分界小路（图中折线ABC ），左边区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的。

现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何知识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由。

（不计分界小路与直路的占地面积）．
27．在平面直角坐标系中，如图1，将线段AB 平移至线段CD ，连接AC 、BD ．
（1）已知A （﹣3，0）、B （﹣2，﹣2），点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第一象限内，且三角形ACO 的面积是6，求点C 、D 的坐标；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知一定点M （1，0），两个动点E （a ，2a +1）、F （b ，﹣2b +3）．
①请你探索是否存在以两个动点E 、F 为端点的线段EF 平行于线段OM 且等于线段OM ，若存在，求出点E 、F 两点的坐标；若不存在，请说明理由；
②当点E 、F 重合时，将该重合点记为点P ，另当过点E 、F 的直线平行于x 轴时，是否存在△PEF 的面积为2？若存在，求出点E 、F 两点的坐标；若不存在，请说明理由．
28．如图，已知直线//AB CD ，,M N 分别是直线,AB CD 上的点.
（1）在图1中，判断,BME MEN ∠∠和DNE ∠之间的数量关系，并证明你的结论； （2）在图2中，请你直接写出,BME MEN ∠∠和DNE ∠之间的数量关系（不需要证明）；
（3）在图3中，MB 平分EMF ∠，NE 平分DNF ∠，且2180F E ∠+∠=，求FME ∠的度数.
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
分别利用直角三角形的性质、对顶角和平行线的判定方法以及绝对值的性质分析得出答案．
【详解】
解：A 、直角三角形中两个锐角互余，故此选项错误；
B 、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
C 、同旁内角互补，两直线平行，正确；
D 、若|a|=|b|，则a=±b ，故此选项错误；
故选C ．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．
2．B
解析：B
【解析】
试题分析：如图，过点A 作AB ∥b ，∴∠3=∠1=58°，∵∠3+∠4=90°，∴∠4=90°﹣∠3=32°，∵a ∥b ，AB ∥B ，∴AB ∥b ，∴∠2=∠4=32°，故选B ．
考点：平行线的性质．
3．C
解析：C
【分析】
已知∠CFN ＝110°，根据对顶角相等可得∠DFE ＝∠CFN ＝110°，因为FG 平分∠EFD ，由角平分线的定义可得∠EFG ＝12
∠EFD ＝55°；再由EG ⊥FG ，可得∠G ＝90°，即可求得∠GEF ＝35°；又因AB ∥CD ,∠EFD ＝110°，根据平行线的性质可得∠BEF ＝70°，即可得∠BEG ＝∠BEF ﹣∠GEF ＝35°.
【详解】
∵∠CFN ＝110°，
∴∠DFE ＝∠CFN ＝110°，
∵FG 平分∠EFD ，
∴∠EFG ＝12
∠EFD ＝55°， 又EG ⊥FG ，即∠G ＝90°，
∴∠GEF ＝35°，
∵AB ∥CD ,∠EFD ＝110°，
∴∠BEF ＝70°，
∴∠BEG ＝∠BEF ﹣∠GEF ＝35°.
故选C.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，垂直的定义以及角平分线的性质．熟练运用相关知识是解决问题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质可得26GFD ︒∠= ,再根据角平分线的性质可得52ECD ︒∠=,因此可计算的AEF ∠的度数.
【详解】
解：∵AB CD ∥，
∴180FGB GFD ∠+∠=︒，
∴18026GFD FGB ∠=︒-∠=︒，
∵FG 平分EFD ∠，
∴252EFD GFD ∠=∠=︒，
∵AB CD ∥，
∴52AEF EFD ∠=∠=︒．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质.平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等；2.两直线平行，内错角相等；3.两直线平行，同旁内角互补. 角平分线的性质: 角平分线可以得到两个相等的角.
5．A
解析：A 【解析】解：
如图，作3BF l ⊥， 3AE l ⊥，
∵090ACB ∠=，
∴090BCF ACE ∠+∠=，
∵090BCF CFB ∠+∠=，
∴ACE CBF ∠=∠，
在ACE ∆和CBF ∆中，
{BFC CEA
CBF ACE BC AC
∠=∠∠=∠=
∴ACE CBF ∆≅∆，
∴3,4CE BF CF AE ====，
∵1l 与2l 的距离为1， 2l 与3l 的距离为3，
∴1,7AG BG EF CF CE ===+=， ∴2252AB BG AG +=
∵23//l l ， ∴14
DG AG CE AE ==， ∴1344
DG CE ==， ∴325744BD BG DG =-=-
=，
∴255
4
AB BD ==， 故选A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理等，构造全等三角形是解决本题的关键．
6．C
解析：C
【分析】
由∠A+∠ABC=180°可得到AD ∥BC ，再根据平行线的性质判断即可得答案．
【详解】
∵180A ABC ∠+∠=︒，
∴//AD BC （同旁内角互补，两直线平行），
∴13∠=∠（两直线平行，内错角相等）．
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定与性质，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行内错角相等；熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质一一判断即可．
【详解】
①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，是真命题；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，是假命题，比如等腰梯形； ③在圆中，平分弦的直径垂直于弦，是假命题（此弦非直径）；
④平行于同一条直线的两直线互相平行，是真命题；
故选B ．
【点睛】
本题考查命题与定理、全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念．
8．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的判断定理逐项判断即可．
【详解】
解：①两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故该项错误；
②两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，符合AAS 定理，故该项正确；
③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，有可能是锐角三角形，也有可能是钝角三角形，故该项错误；
④面积相等的两个三角形不一定全等，因为形状可能不相同，故该项错误；
⑤有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合ASA 定理，故该项正确． 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查对全等三角形的判定定理的掌握，正确理解判定定理是解题关键．
9．B
解析：B
【分析】
直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．
【详解】
解：∵,40BE AF BED ⊥∠=︒，
∴50FED ∠=︒，
∵AB CD ∕∕，
∴50A FED ∠=∠=︒．
故选B ．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出FED ∠的度数是解题关键．
10．A
解析：A
【分析】
根据相反数是它本身的数为0；倒数等于这个数本身是±1；平方等于它本身的数为1和0；算术平方根等于本身的数为1和0进行分析即可．
【详解】
A 、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题；
B 、如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1，是假命题；
C 、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
D 、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题； 故选A ．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，关键是掌握正确的命题为真命题，错误的命题为假命题．
11．C
解析：C
【分析】
如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得66EAB EC C D AE ∠+∠=∠=︒，同样的方法可得F FAB FCD ∠=∠+∠，再根据角的倍分可得
,2323FAB EAB FCD ECD ∠=∠∠=∠，由此即可得出答案． 【详解】 如图，过点E 作//EG AB ，则////EG AB CD ，
,EAB CE C A D G G E E ∴∠=∠∠∠=，
66AEG EAB ECD CE A C G E ∴∠+=∠+=∠=∠∠︒，
同理可得：F FAB FCD ∠=∠+∠，
11,33
EAF EAB ECF ECD ∠=∠∠=∠， ,23
23FAB EAB FCD ECD ∴∠=∠∠=∠， ()266443333
222F FAB FCD EAB ECD EAB ECD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
12．A
解析：A
【分析】
由角平分线的性质可得∠GEB=
12∠BEF=34°，由同位角相等，两直线平行可得CD ∥AB ，即可求解．
【详解】
∵EG 平分∠BEF ，
∴∠GEB=12
∠BEF=34°， ∵∠1=∠BEF=68°，
∴CD ∥AB ，
∴∠EGF=∠GEB=34°，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质,角平分线的定义，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
二、填空题
13．70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥A
解析：70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥AB，
∴∠5=∠ABE，∠3=∠1，
又∵AB∥CD，
∴EG∥CD，FH∥CD，
∴∠6=∠CDE，∠4=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=35°．
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，
∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×35°=70°．
故答案为70°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，根据题中的条件作出辅助线EG∥AB，FH∥AB，再灵活运用平行线的性质是解本题的关键．
14．35或75
【解析】
分析：根据题意，分为点P在∠ABC的内部和外部两种情况，由平行线的性质求解.
详解：如图，当P点在∠A BC的内部时，
∵PD∥AB
∴∠P=∠ABP
∵∠PBD=∠ABC，∠A
解析：35或75
【解析】
分析：根据题意，分为点P在∠ABC的内部和外部两种情况，由平行线的性质求解.详解：如图，当P点在∠ABC的内部时，
∵PD∥AB
∴∠P=∠ABP
∵∠PBD=1
2
∠ABC，∠ABC=70︒
∴∠PBD=35°
∴∠ABP=∠ABC-∠PBD=35°.
当点P在∠ABC的外部时，
∵∠PBD=1
2
∠ABC，∠ABC=70︒
∴∠PBD=35°
∴∠ABP=∠ABC+∠DPB=105°
∵PD∥AB
∴∠DPB+∠ABP=180°
∴∠DPB=75°.
故答案为：35或75.
点睛：此题主要考查了平行线的性质，关键是明确P点的位置，分两种情况进行求解. 15．【解析】
试题分析：如图：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵直线l1∥l2∥l3，∠1=25°，
∴∠1=∠3=25°．
∴∠4=60°-25°=35°，
∴∠2=∠4=35
解析：0
35
【解析】
试题分析：如图：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵直线l1∥l2∥l3，∠1=25°，
∴∠1=∠3=25°．
∴∠4=60°-25°=35°，
∴∠2=∠4=35°．
考点：1．平行线的性质；2．等边三角形的性质．
16．40°
【分析】
本题主要利用两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义进行做题．
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠BCD=180°-∠D=80°，
又∵CA平分∠BCD，
∴
解析：40°
【分析】
本题主要利用两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义进行做题．
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠BCD=180°-∠D=80°，又∵CA平分∠BCD，
∴∠ACB=1
2
∠BCD=40°，
∴∠DAC=∠ACB=40°．
【点睛】
本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目．17．120°．
【分析】
先根据平行线的性质，得到∠GEC=90°，再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可．
【详解】
过点E作EG∥AB，则EG∥CD，
由平行线的性质可得∠GEC=90°，
解析：120°．
【分析】
先根据平行线的性质，得到∠GEC=90°，再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可．
【详解】
过点E作EG∥AB，则EG∥CD，
由平行线的性质可得∠GEC=90°，
所以∠GEB=90°﹣30°=60°，
因为EG∥AB，
所以∠ABE=180°﹣60°=120°．
故答案为：120°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和垂直的概念等，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
18．30°
【分析】
先利用补角的定义求出∠EOC=60°，再根据角平分线的性质计算．
解：∵∠EOD=120°，∴∠EOC=60°（邻补角定义）．
∵OA 平分∠EOC，∴∠AOC=∠EOC=
解析：30°
【分析】
先利用补角的定义求出∠EOC=60°，再根据角平分线的性质计算．
【详解】
解：∵∠EOD=120°，∴∠EOC=60°（邻补角定义）．
∵OA 平分∠EOC ，∴∠AOC=12
∠EOC=30°（角平分线定义）， ∴∠BOD=30°（对顶角相等）．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查由角平分线的定义，结合补角的性质，易求该角的度数．
19．50
【分析】
根据平行线的性质解答即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴ =∠1，
∵∠1+=180°，∠=130°，
∴∠1=180°-=180°-130°=50°，∴=50°，
故答案为：5
解析：50
【分析】
根据平行线的性质解答即可．
【详解】
解：∵AB ∥CD ，
∴α∠ =∠1，
∵∠1+β∠=180°，∠β=130°，
∴∠1=180°-β∠=180°-130°=50°，∴α∠=50°，
故答案为：50．
本题考查了平行线的性质和平角的定义，解题的关键掌握平行线的性质和平角的定义．
20．【分析】
如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可.
【详解】
如图所示，
∵，，
∴，
∴∠4=90°−∠3=55°，
∵，
∴∠2
解析：55︒
【分析】
如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可.
【详解】
如图所示，
∵//a b ，135∠=︒，
∴335∠=︒，
∴∠4=90°−∠3=55°，
∵////a b c ，
∴∠2=∠4=55°.
故答案为：55°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
三、解答题
21．（1）4；（2）45°；（3）P （0，－1）或（0，3）
【分析】
（1）根据非负数的性质得到a ＝−b ，a−b ＋4＝0，解得a ＝−2，b ＝2，则A （−2，0），B （2，0），C （2，2），即可计算出三角形ABC 的面积＝4；
（2）由于CB ∥y 轴，BD ∥AC ，则∠CAB ＝∠ABD ，即∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝90°，过E 作EF ∥AC ，则BD ∥AC ∥EF ，然后利用角平分线的定义可得到∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，所以∠AED ＝∠1＋∠2＝1
2×90°＝45°； （3）先根据待定系数法确定直线AC 的解析式为y ＝
12x ＋1，则G 点坐标为（0，1），然后利用S △PAC ＝S △APG ＋S △CPG 进行计算．
【详解】
解：（1）由题意知：a ＝−b ，a−b ＋4＝0，
解得：a ＝−2，b ＝2，
∴ A （−2，0），B （2，0），C （2，2），
∴S △ABC ＝1AB BC=42⋅； （2）∵CB ∥y 轴，BD ∥AC ，
∴∠CAB ＝∠ABD ，
∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝90°，
过E 作EF ∥AC ，
∵BD ∥AC ，
∴BD ∥AC ∥EF ，
∵AE ，DE 分别平分∠CAB ，∠ODB ，
∴∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，
∴∠AED ＝∠1＋∠2＝12
×90°＝45°； （3）存在．理由如下：
设P 点坐标为（0，t ），直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，
把A （−2，0）、C （2，2）代入得：
-2k+b=02k+b=2⎧⎨⎩，解得1k=2b=1
⎧⎪⎨⎪⎩， ∴直线AC 的解析式为y ＝
12
x ＋1， ∴G 点坐标为（0，1），
∴S △PAC ＝S △APG ＋S △CPG ＝12|t−1|•2＋12
|t−1|•2＝4，解得t ＝3或−1， ∴P 点坐标为（0，3）或（0，−1）．
【点睛】
本题考查了绝对值、平方的非负性，平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
22．（1）35︒；（2）123∠+∠=∠，理由见解析；（3）46︒；（4）当P 点在A 的上方时，321∠=∠-∠，当P 点在B 的下方时，312∠=∠-∠．
【分析】
（1）由题意直接根据平行线的性质和三角形内角和定理进行分析即可求解； （2）由题意过点P 作//PM AC ，进而利用平行线的性质进行分析证明即可；
（3）根据题意过A 点作//AF BD ，则////A BD CE ，进而利用平行线的性质即可求解；
（4）根据题意分当P 点在A 的上方与当P 点在B 的下方两种情况进行分类讨论即可．
【详解】
解：()1∵12l l //，
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，
在△PCD 中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，
∴∠3=∠1+∠2，则有∠2=∠3-∠1=35︒， 故答案为：35︒；
()2123∠+∠=∠理由如下：
过点P 作//PM AC
//AC BD
////AC PM BD ∴
12CPM DPM ∴∠=∠∠=∠，
12CPM DPM CPD ∴∠+∠=∠+∠=∠
()3过A 点作//AF BD ，则////A BD CE ，
则BAC DBA ACE ∠∠+∠＝，
故答案为：46︒；
()4当P 点在A 的上方时，
如图 2，
∴∠1=∠FPC ．
∵14//l l ，
∴2//PF l ，
∴∠2=∠FPD
∵∠CPD=∠FPD-∠FPC
∴∠CPD=∠2-∠1，即321∠=∠-∠．
当P 点在B 的下方时，
如图 3，
∴∠2=∠GPD
∵12l l //，
∴1//PG l ，
∴∠1=∠CPG
∵∠CPD=∠CPG-∠GPD
∴∠CPD=∠1-∠2，即312∠=∠-∠．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）45IGJ ∠=︒．
【分析】
（1）根据平行线的性质可得180DEF BFE ∠+∠=︒，再利用角平分线的定义即可得证； （2）过点G 作//GK AB ，则////AB GK CD ，根据平行线的性质可得DEG EGK ∠=∠，KGF GFB ∠=∠，再结合（1）的结论易得90EGK KGF ∠+∠=︒，利用角平分线的定义及垂线的定义即可求解．
【详解】
（1）证明：∵//AB CD ，
∴180DEF BFE ∠+∠=︒．
∵EG 平分DEF ∠，FG 平分BFE ∠，
∴22DEF GEF DEG ∠=∠=∠，22BFE EFG GFB ∠=∠=∠，
∴22180GEF EFG ∠+∠=︒，
∴90EFG GEF ∠+∠=︒．
（2）解：过点G 作//GK AB ．
∵//AB CD ，
∴////AB GK CD ，
∴DEG EGK ∠=∠，KGF GFB ∠=∠．
由（1）得90DEG GFB ∠+∠=︒，∴90EGK KGF ∠+∠=︒．
∵GH AB ⊥，
∴GH KG ⊥，即90KGH KGF HGF ∠=∠+∠=︒，
∴EGK HGF ∠=∠．
∵GJ 平分EGH ∠，
∴EGJ HGJ ∠=∠．
又KGJ EGJ EGK ∠=∠-∠，FGJ HGJ HGF ∠=∠-∠，
∴KGJ FGJ ∠=∠，
∴2KGF FGJ ∠=∠．
∵GI 平分HGF ∠，
∴2HGF FGI ∠=∠，
∴2290FGJ FGI ∠+∠=︒，即45FGJ FGI ∠+∠=︒，
∴45IGJ FGJ FGI ∠=∠+∠=︒．
【点睛】
本题考查平行线的性质、角平分线的定义等内容，掌握平行线的性质是解题的关键．
24．（1）详见解析；（2）HPQ ∠的大小不发生变化，一直是45︒．
【分析】
（1）利用平行线的性质推知180BEF EFD ∠+∠=︒；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得90EPF ∠=︒，即EG PF ⊥，故结合已知条件GH EG ⊥，易证//PF GH ；
（2）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得49039022∠=︒-∠=︒-∠；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知14522
QPK EPK ∠=∠=︒+∠；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得HPQ ∠的大小不变，是定值45︒．
【详解】
解：（1）证明：如图1，
//AB CD ，
180BEF EFD ∴∠+∠=︒．
又BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，
1()902
FEP EFP BEF EFD ∴∠+∠=∠+∠=︒， 90EPF ∴∠=︒，即EG PF ⊥．
GH EG ⊥，
//PF GH ∴；
（2）HPQ ∠的大小不发生变化，理由如下：
如图2，
12∠=∠， 322∠=∠∴． 又GH EG ⊥，
49039022∠=︒-∠=︒-∠∴．
18049022EPK ∠=︒-∠=︒+∠∴．
PQ ∵平分EPK ∠，
14522
QPK EPK ∴∠=∠=︒+∠． ∴245HPQ QPK ∠=∠-∠=︒，
∴HPQ ∠的大小不发生变化，一直是45︒．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④//a b ，////b c a c ⇒．
25．（1）详见解析；（2）118034∠+︒=∠+∠，详见解析；（3）230∠=︒
【分析】
（1）如下图，延长AC ，DE 相交于点G ，利用∠G 作为过渡角可证；
（2）如下图，作//CP AB ，可得//CP DE ，推导得出118034∠+︒=∠+∠； （3）如下图，过Q 作1//AD l ∠，利用平行可得出70x y +=︒，再利用////QR AB DE 得到22110x y z +-=︒，从而得出z 的值．
【详解】
（1）延长,AC DE 相交于点G ．
∵//AB DE ，//AC DF
∴1G ∠=∠，2G ∠=∠
∴12∠=∠．
（2）作//CP AB ，则//CP DE
∵//CP AB ，//CP DE ．
∴1ACP ∠=∠，4180ECP ∠+∠=︒
∴11804ACP ECP ∠+︒=∠+∠+∠
即118034∠+︒=∠+∠．
（3）过Q 作1//AD l ∠
则5D ∠=．6y ∠=
∵56110180∠+∠+︒=︒
∴110180x y ++︒=︒
即70x y +=︒
旁证：过Q 作//QR AB ，则//QR DE ．
设DAQ x ∠=，APQ y ∠=，2z ∠=．
则2BAQ x ∠=，2FDQ y ∠=，1z ∠=．
∵////QR AB DE
∴2AQR BAQ x ∠=∠=，2EDQ DQR y z ∠=∠=-．
∴22110x y z +-=︒
又∵70x y +=︒
∴22140x y +=︒
∵(2)(22)30x y x y z z +-+-==︒
∴230∠=︒
【点睛】
本题考查角度的推导，第（3）问的解题关键是通过方程思想和整体思想，计算得出∠2的大小．
26．（1）=；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据平行线间的距离处处相等，所以无论点C P 、在m 上移动到何位置，总有ABC 与ABP △同底等高，因此它们的面积相等；
（2）利用同底等高的三角形的面积相等即可求得设计方案；
（3）连结AC ，过B 点作AC 的平行线PQ ，连结AQ 或CP ，则AQ 或CP 即为所修直路．
【详解】
（1）∵ABC 与ABP △有共同的边AB ，
又∵//m n ，
∴ABC 与ABP △的高相等，即ABC 与ABP △同底等高，
∴ABC S =ABP S △，
故答案为：=；
（2）方法一：
连结AC ，将ACD 的区域用于种植大豆，ABC 的区域用于种植芝麻，理由如下： 在梯形ABCD 中,//AD BC ，
则ACE △与ABE △同底等高，
∴ACE ABE S S =△△，
∴ABE ECD ACE ECD S S S S +=+△△△△，
即ACD ABE ECD S S S =+△△△，
又由//AD BC 可知ABC 与EBC 同底等高，
∴=B ABC E C S S ，
∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变；
方法二
连结BD ，将ABD △的区域用于种植大豆，BCD 的区域用于种植芝麻，理由如下： 在梯形ABCD 中,//AD BC ，
则BED 与CED 同底等高，
∴=BED CED S
S ， ∴+=+ABE CED ABE BED S
S S S ， 即=+ABD ABE CED S S S ，
又由//AD BC 可知BCD 与BCE 同底等高，
∴BCD BCE S S =△△，
∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变；
（3）方法一
连结AC ，过B 点作AC 的平行线PQ ：连结AQ ，AQ 即为所修直路．
将四边形ADEQ 的区域分给王爷爷，四边形AGFQ 的区域分给李爷爷，理由如下： ∵//PQ AC ，则BCQ △与ABQ △同底等高，
∴BCQ ABQ S S =△△，则ABP BCQ ABP ABQ S S S S +=+△△△△，
即APQ ABP BCQ S S S =+△△△，
又由//PQ AC 可知ABC 与ACQ 同底等高，
∴ABC ACQ S S =△△，
∴AQ 满足修路方案；
方法二：
连结AC ，过B 点作AC 的平行线PQ ：连结PC ，PC 即为所修直路．
将四边形CEDP 的区域分给王爷爷，四边形CPGF 的区域分给李爷爷，理由如下： ∵//PQ AC ，则ABP △与PBC 同底等高，
∴ABP PBC S S =△△，则ABP BCQ PBC BCQ S S S S +=+△△△△，
即=+CPQ ABP BCQ S S S ，
又由//PQ AC 可知ABC 与ACP △同底等高，
∴ABC ACP S S =△△，
∴PC 满足修路方案．
【点睛】
本题主要考查了两条平行线间的距离处处相等．只要两个三角形是同底等高的，则两个三角形的面积一定相等．解题的关键还要根据等式的性质进一步进行变形．
27．（1）C 的坐标为（0，4），点D 的坐标为（1，2）；（2）①点E 的坐标为（1，3），F 的坐标为（0，3）或点E 的坐标为（0，1），F 的坐标为（1，1）；②存在△PEF 的面积为2，点E 、F 两点的坐标为E （﹣，0）、F （，0），或E （，4）、F （﹣，4）．
【解析】
【分析】
（1）由点A 和点C 在y 轴上确定出向右平移3个单位，再根据△ACD 的面积求出向上平移的单位，然后写出点C 、D 的坐标即可．
（2）①根据线段EF 平行于线段OM 且等于线段OM ，得出2a +1＝﹣2b +3，|a ﹣b |＝1，解答即可；
②首先根据题意求出点P 的坐标为（，2），设点E 在F 的左边，由EF ∥x 轴得出a +b ＝1，求出△PEF 的面积＝（b ﹣a ）×|2a +1﹣2|＝2，得出（b ﹣a ）|2a ﹣1|＝4，当EF 在点P
的上方时，（b﹣a）（2a﹣1）＝4，与a+b＝1联立得：，此方程组无解；当EF在点P的下方时，（b﹣a）（1﹣2a）＝4，与a+b＝1联立得：
，解得：，或；分别代入点E（a，2a+1）、F（b，﹣
2b+3）即可．
【详解】
解：（1）∵A（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，
∴向右平移3个单位，
设向上平移x个单位，
∵S△ACO＝OA×OC＝6，
∴×3x＝6，
解得：x＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
﹣2+3＝1，﹣2+4＝2，
故点D的坐标为（1，2）．
（2）①存在；理由如下：
∵线段EF平行于线段OM且等于线段OM，
∴2a+1＝﹣2b+3，|a﹣b|＝1，
解得：a＝1，b＝0或a＝0，b＝1，
即点E的坐标为（1，3），F的坐标为（0，3）或点E的坐标为（0，1），F的坐标为（1，1）；
②存在，理由如下：如图2所示：
当点E、F重合时，，
解得：，
∴2a+1＝2，
∴点P的坐标为（，2），
设点E在F的左边，
∵EF∥x轴，
∴2a+1＝﹣2b+3，
∴a+b＝1，
∵△PEF 的面积＝（b ﹣a ）×|2a +1﹣2|＝2，
即（b ﹣a ）|2a ﹣1|＝4，
当EF 在点P 的上方时，（b ﹣a ）（2a ﹣1）＝4，与a +b ＝1联立得：
，此方程组无解；
当EF 在点P 的下方时，（b ﹣a ）（1﹣2a ）＝4，与a +＝1联立得：
， 解得：，或；
分别代入点E （a ，2a +1）、F （b ，﹣2b +3）得：E （﹣，0）、F （，0），或E （，4）、F （﹣，4）；
综上所述，存在△PEF 的面积为2，点E 、F 两点的坐标为E （﹣，0）、F （，0），或E （，4）、F （﹣，4）．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、三角形面积公式、坐标与图形性质、方程组的解法、平行线的性质等知识；本题综合性强，根据题意得出方程组是解题的关键．
28．（1）BME DNE MEN ∠+∠=∠，证明见析；（2）MEN BME DNE ∠=∠-∠；（3）120FME ∠=
【解析】
【分析】
(1)如图，过点E 作直线//EF AB ，由平行线的性质得到BME MEF ∠=∠，
FEN DNE ∠=∠，即可求得MEN BME DNE ∠=∠+∠；
(2)如图，记AB 与NE 的交点为G ，由平行线的性质得∠EGM=∠DNE ，由三角形外角性质得∠BME=∠MEN+∠EGM ，由此即可得到结论；
(3)由角平分线的定义设BMF BME β∠=∠=∠，设22DNF DNE α∠=∠=∠，由(1)，得E αβ∠=∠+∠，由(2)，得2F βα∠=∠-∠，再根据2180F E ∠+∠=，可求得60β∠=，继而可求得2120FME β∠=∠=.
【详解】
(1)BME DNE MEN ∠+∠=∠，证明如下：
如图，过点E 作直线//EF AB ，
∵//EF AB ，
∴BME MEF ∠=∠，
又∵//AB CD ，
∴//EF CD ，
∴FEN DNE ∠=∠，
∴MEN MEF FEN BME DNE ∠=∠+∠=∠+∠；
(2)MEN BME DNE ∠=∠-∠，理由如下：
如图，记AB 与NE 的交点为G ，
又∵AB//CD ，
∴∠EGM=∠DNE ，
∵∠BME 是△EMG 的外角，
∴∠BME=∠MEN+∠EGM ，
∴∠MEN=∠BME-∠DNE ；
(3)∵MB 平分EMF ∠，
∴设BMF BME β∠=∠=∠，
∵NE 平分DNF ∠，
∴设22DNF DNE α∠=∠=∠，
由(1)，得E BME DNE αβ∠=∠+∠=∠+∠，
由(2)，得2F BMF DNF βα∠=∠-∠=∠-∠，
又∵2180F E ∠+∠=，
∴22()180βααβ∠-∠+∠+∠=，
∴3180β∠=，
即60β∠=，
∴2120FME β∠=∠=.
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.。