2015高考数学一轮配套课件：x4-5-2 第2课时 不等式的证明

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(2)求商比较法：
由a＞b＞0⇔
a b
＞1且a＞0，b＞0，因此当a＞0，b＞0时要证明a＞
b，只要证明ab＞1即可，这种方法称为求商比较法．
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对点演练
(教材习题改编)已知a，b是不相等的正数，x＝ a＋2 b.则x，y的大小关系是________．
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第2课时 不等式的
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(一)考纲点击 1．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、
反证法、放缩法，并能利用它们证明一些简单不等式． 2．能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解决最
大(小)值问题． 3．理解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证
明一些简单问题．
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(二)命题趋势 高考对本节内容考查证明不等式的基本方法及柯西不等式的 应用，考查形式是：以柯西不等式、基本不等式求最值或比 较大小，多为填空题，解答题则考查不等式的证明方法，难 度中等．
a＋ 2
b
，y＝
解析：y2－x2＝a＋2 b－a＋b＋4 2
ab＝a＋b－4 2
ab＝
a－ 4
b2，
∵a≠b，a＞0，b＞0，∴y2－x2＞0即y2＞x2，又x＞0，y＞0，
∴y＞x.
答案：y＞x
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2．分析法 从所要证明的 结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直 至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要 证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因” 的证明方法．
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(2)因为a，b，c＞0，所以要证a＋b＋c≥ 3， 只需证明(a＋b＋c)2≥3. 即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 而ab＋bc＋ca＝1， 故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)． 即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
【解】 (1)当x＜－1时，f(x)＝－2x＜4，∴x＞－2， 即－2＜x＜－1； 当－1≤x≤1时，f(x)＝2＜4恒成立； 当x＞1时，f(x)＝2x＜4，∴x＜2， 即1＜x＜2. 综上可知，不等式的解集为M＝(－2,2)．
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2．放缩法证明不等式的主要理论依据 (1)不等式的传递性； (2)等量加不等量为不等量； (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较． 【注意】 放缩要适度，“放”和“缩”的方向与“放” 和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出．
8．基本不等式的一般形式 a1＋a2＋n …＋an≥ n a1a2…an.(a1，a2…，an∈R＋)
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对点演练
已知a、b、c、d∈R，且a＋b＋c＋d＝1，则a2＋b2＋c2＋d2的最
小值为
A．1
B．2
()
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【归纳提升】 比较法证明不等式最常用的作差法，其基本步 骤是：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．其中 “变形”是关键，通常将差变形成因式乘积的形式或平方和的 形式，再结合不等式的性质判断正负．
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则(a
2 1
＋a22)(b21＋b22)≥ (a1b1＋a2b2)2 (当且仅当a1b2＝a2b1时，等号成
立)．
(2)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则
|α||β|≥|α·β|.
(3)二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2∈R，那么
x12＋y21＋ x22＋y22≥ x1－x22＋y1＋y22
1 ac
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4．放缩法 在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的 值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方 法称为放缩法．
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对点演练
A＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1与 n
n(n∈N*)的大小关系为________．
解析：∵n∈N*，∴A＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1≥ n
1＋ n
1 ＋…＋ n
1 n
＝n＝ n
n，
即A≥ n.
答案：A≥ n
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对点演练
要证明 29＋ 31＜2 5，可选择的方法有以下几种，其中最合理 的是
A．综合法 C．反证法 答案：B
B．分析法 D．归纳法
()
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3．柯西不等式的形式特点 从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模平 方之积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平方 形式，可简记为“方和积不小于积和方”．
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题型三 放缩法证明不等式
已知实数x，y满足：|x＋y|＜13，|2x－y|＜16， 求证：|y|＜158. 【证明】 因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－ y|，
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针对训练 2．(1)(2014·南通模拟)已知x，y均为正数，且x＞y，
求证：2x＋x2－21xy＋y2≥2y＋3. (2)设a，b，c＞0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥ 3.
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当b＞a＞0时，0＜ab＜1，a－2 b＜0，则ab ＞1. 综上可知，当a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab) 成立．
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题型二 综合法、分析法证明不等式 (2013·课标全国Ⅱ)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，
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1．比较法 (1)求差比较法： 知道a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因此要证明a＞b，只 要证明 a－b＞0即可，这种方法称为求差比较法．
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7．柯西不等式的一般形式 柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…bn为 实数，则(a12＋a22＋…＋a2n)·(b21＋b21＋…＋bn2)≥(a1b1＋a2b2＋… ＋anbn)2.
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证明：(1)因为x＞0，y＞0，x－y＞0， 2x＋x2－21xy＋y2－2y＝2(x－y)＋x－1 y2 ＝(x－y)＋(x－y)＋x－1 y2
3 ≥3
x－y2x－1 y2＝3，
所以2x＋x2－21xy＋y2≥2y＋3.
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1
1
C.2
D.4
答案：D
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1．综合法与分析法的内在联系 综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清 楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来 使用，用分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达 整个证明过程．
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而ab＋bc＋ca≤a2＋2 b2＋b2＋2 c2＋c2＋2 a2 ＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立． ∴原不等式成立．
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(2)因为ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c， 故ab2＋bc2＋ca2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c. 所以ab2＋bc2＋ca2≥1.
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【归纳提升】 分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等 式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系， 较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途 径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．
＋
1 c
与
1＋ ab
1＋ bc
1 的大小关系是 ac
____________________．
解析：1a＋1b≥
2ab，1b＋1c≥
2bc，1c＋1a≥
2， ac
∴21a＋1b＋1c≥2
1＋ ab
1＋ bc
1ac，
即1a＋1b＋1c≥
1＋ ab
1＋ bc
1 ac
.
答案：1a＋1b＋1c≥
1＋ ab
1＋ bc
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5．反证法的步骤 (1)作出否定 结论
的假设；
(2)进行推理，导出 矛盾 ；
(3)否定 假设 ，肯定 结论 ．
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6．柯西不等式的二维形式
(1)柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1,
b2均为实数，
针对训练 1．求证：当a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab) .
证明： aaab＋b b＝a b ＝ab ， ab 2
当a＝b时，ab ＝1. 当a>b>0时，ab>1，a－2 b>0， 则ab ＞1.
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(2)证明：a，b∈M，即－2＜a＜2，－2＜b＜2， ∴4(a＋b)2－(4＋ab)2＝4(a2＋ab＋b2)－(16＋8ab＋a2b2)＝(a2－ 4)(4－b2)＜0， ∴4(a＋b)2＜(4＋ab)2， ∴2|a＋b|＜|4＋ab|.
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证明： (1)ab＋bc＋ca≤13； (2)ab2＋bc2＋ca2≥1.
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【证明】 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc， c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以3(ab＋bc＋ca)≤1， 即ab＋bc＋ca≤13.
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题型一 比较法证明不等式 (2014·唐山模拟)已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)＜4的
解集为M. (1)求M； (2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b|＜|4＋ab|.
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3．综合法 从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过 一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为 综合法即“由因寻果”的方法．
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已知a，b，c∈R＋，则
1 a
＋
1 b