人教版数学选择性必修一1.2空间向量基本定理课件

则||
Ԧ = || = ||，
Ԧ
1
2
M
A
又 = ( + ) =
1 1

2 2
1
2
1
4
+ ( + ቁ = (Ԧ + + Ԧቁ
G
C
N
B
= Ԧ −
所以 ⋅ =
所以 ⊥
1
(Ԧ
4
+ + )
Ԧ ⋅ (Ԧ − ) =
1
(Ԧ
4
⋅ Ԧ − Ԧ ⋅ + ⋅ Ԧ − 2 + Ԧ2 − ⋅ )
1

2
＝
1
1
1
1
1
(＋)＝ (c－b－a)＝－ a－ b＋ c.
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
＝＋＝－a＋ ＝－a＋ (＋)＝－a－ b＋ c.
1
2
＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ( ＋ )
＝－a＋c＋
＝
1
1
1
(－c＋b)＝－a＋ b＋ c.
2
2
方
法
总
结
判断基底的方法
判断给出的某一向量组能否作为基底，关键
是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可
用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
跟踪训练
1. 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基
底．给出下列向量组：
①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．
a
2
a2

cos60 a cos60
2
a2

cos60
a2

cos60
2
（舍）
3
而当 1 时，显然有 A1C C1 D 0 ，且 A1C BD 0 ，
CD
即当
1 时， A1C 平面 C1 BD ．
CC1
a2
2
D1
2
0
B
A
∴ 3 2 2 0 1 ，
量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行_________.
题型突破
典例深度剖析
重点多维探究
题型一
空间向量基本定理的理解
[例1] 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1
＋2e2－e3， ＝－3e1＋e2＋2e3， ＝e1＋e2－e3，
试判断{， ， }能否作为空间的一个基底？
1
则x=_________，y=_________.
1
4
A1
D1
E
C1
B1
C
D
A
1
，若
4 1 1
B
= 1+y(+ ) ，
4. 空间四边形OABC中， = ，
Ԧ = ， = ，点M在OA上，且
Ԧ
1
1
1
− Ԧ + + Ԧ (用向量，
2 = ，N为BC的中点，则=___________________.
Ԧ =0
本
课
小
结
1.空间向量基本定理的理解
2.用基底表示向量的策略
3.空间向量基本定理的应用
∠COA=90°，M、N分别是棱OA、BC的中点，求：直线MN与AC所
成角的余弦值.
随堂检测
1．已知O,A,B,C为空间四个点，又 {, , } 为空间的一个基底，
则( D )
A.O,A,B,C四点共线
B.O,A,B,C四点共面
C.O,A,B,C四点中任意三点不共线
D.O,A,B,C四点不共面
(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.
连接O′C，
法二
1
2
1
2
则 ＝ ′ ＝ (′ － )
1
2
＝ (c－b).
题型三
空间向量基本定理的应用
[例3] 如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长
为a的菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，
√
√
其中可以作为空间的基底的向量组有________个．
3
√
题型二
[例2]
用基底表示向量
如图，四棱锥P-OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面
OABC，设 ＝a， ＝b， ＝c，E，F分别是PC和PB的
中点，试用a，b，c表示： ， ， ， .
连接BO，则 ＝
C
D
解
题
策
略
由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的
向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以
用三个基向量表示出来. 进一步地，所有空间向量间
的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题
带来了方便.
跟踪训练
3. 已知三棱锥O-ABC，OA=4，OB=5，OC=3，∠AOB=∠BOC=60°，
2．如图所示，在平行六面体 − 1 1 1 1 中，P是CA1的中点，M是
CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且: 1 = 4: 1，设 = Ԧ
， = ， = ，用基底
Ԧ
Ԧ ， ， Ԧ 表示以下向量：
⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ .
A1
D1
N
Q
C1
B1
P
M
A
B
D
C
1
5
2
5
2
5
3. 对空间中一点P，满足条件 = + + ，试判断：
点P与 ， ， 是否一定共面？
由题意：5 = + 2 + 2 ，
∴ − ) = 2( − ) + 2( −
∴ = 2 + 2，故向量 ， ， 共面，
2. 在平行六面体中ABCD-A1B1C1D1，下列四对向量：
① 与11 ；② 1与1 ；③ 1与1 ；④ 1与1
√
√
．其中互为相反向量的有n对，则n=（B
A．1
B.2
C.3
A1
D1
B1
D
A
C1
C
B
）
D.4
3. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中， 1 =
2. 向量的正交分解
• 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1,那
单位正交基底
么这个基底叫做_____________，常用{i，j，k}表示.
• 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解
为三个向量xi、yj、zk，使a＝xi＋yj＋zk. 像这样，把一个空间向
正交分解
(1)用a，b，c表示向量′， ′ ；
′ ＝＋′＝ ＋ ＋′ ＝a＋b＋c.
′ ＝ ＋′ ＝ ＋ ＋′
＝ ＋′ － ＝b＋c－a.
跟踪训练
2. 如图所示，正方体OABC-O′A′B′C′，且＝a， ＝b， ′＝c.
(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.
连接OG，OH，
则 ＝ ＋ ＝－ ＋
法一
1
＝－ (′
2
1
2
＋
1
)＋
2
(′ ＋ ′ )
1
2
1
2
＝－ (a＋b＋c＋b)＋ (a＋b＋c＋c)＝ (c－b)．
跟踪训练
2. 如图所示，正方体OABC-O′A′B′C′，且＝a， ＝b， ′＝c.
Ԧ
3
2
2
， 来表示．)
Ԧ
A
Ԧ
M B
O
Ԧ
N
C
பைடு நூலகம்
新知探究
1．空间向量基本定理
不共面
如果三个向量a，b，c_________，那么对空间任一向量p，
存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
基底
其中{a，b，c}叫做空间的一个_______，a，b，c都叫做
基向量
_________．
C
A
D
题型三
空间向量基本定理的应用
[例3] 如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长
为a的菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，

(2)当 的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？
1
设
CD
，即 CD | CC1 | 时， A1C 平面 C1 BD ，则 A1C C1 D ， A1C BD ．
空间向量基本定理
本
节
目
标
1．理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决
一些几何问题．
2．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．
课前预习
➢ 预习课本P11～14，思考并完成以下问题
(1) 空间向量基本定理的内容是什么？
(2) 在空间向量中，基底的定义是什么？应满足什么条件？
课前小测
1. 关于空间向量的四个命题中正确的是（ D ）
所以，点P与 ， ， 共面.
4．已知空间四边形OABC中，∠ = ∠ = ∠，且 = = ，
M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证OG⊥BC.
如图，连接ON，
O
设∠ = ∠ = ∠ = ， = ，
Ԧ = ， = Ԧ
2
1
1
1
＝ ＝ a.
2
2
2
用基底表示向量的策略
解
题
策
略
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形
法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使
所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量
的模及其夹角已知或易求．
跟踪训练
2. 如图所示，正方体OABC-O′A′B′C′，且＝a， ＝b， ′＝c.
CC1
B1
A1
即 A1C C1 D 0 ， A1C BD 0 ，∵ A1C CD DA AA1 0 ，
C1
∴ A1C (CD CB CC1 ) ，又 C1 D CC1 CD CD CC1 ，
2
AC
1 C1 D (CD CB CC1 ) (CD CC1 ) CD CD CC1 CB CD CB CC1 CC1 CD CC1
(1)求证：C1C⊥BD；
B1
1 · = 1 ·( + )= 1· + 1·
A1
C1
D1
=|1| | |cos<1, >+ |1 | | |cos<1,
>
=
|
∴C
1 |(acos120°+acos60°) = 0
1C⊥BD
B
A．若 =
1

2
1
+
3
，则P、A、B三点共线
B．若 = 2 − − ，则M、A、B 、C四点共面
C．△ABC为直角三角形的充要条件是 ⋅ = 0
D．若 ,
Ԧ , Ԧ 为空间的一个基底，则 Ԧ + , + ,
Ԧ Ԧ + Ԧ 构成空间的另一个基底