2012全国新课标卷理科数学第21题

Βιβλιοθήκη 要说明“不恒成立”的最好办法就是举反例，举那些不能成立的 x 的取值 或者范围.举反例也是要有技巧的， 上面的解法中对 x 取值范围的限制， 就是为了制造出常数 b，以利于出现矛盾.
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2o.若a 1 0, 则b e x 在R上恒成立.所以b 0, 此时 a 1 b 0.
a 1b a 1 a 1 ln a 1 令t a 1 0, 构造函数h t t t
2 2 2
在不等式b a 1 a 1 ln a 1 两边同时乘以 a 1 得
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ln t t 0


有童鞋提问，为什么不选 a 做自变量呢？其实也可以，只不过形式稍显 复杂一些.下面研究新函数 h(t)的最大值.
接着说第二问，第二问是在恒成立的条件下研究某式子的最值.
先研究通过恒成立条件能得出什么结论.
1 1 由f x e x x x 2 x 2 ax b得b e x a 1 x 对任意x R 恒成立. 2 2 构造函数g x e x a 1 x , 求g x 的最小值.


对于“等号”的情况，我们建议单独讨论.比如本题，虽然在 a+1>0 与 a+1=0 的情况下，g(x)都是单调递增的，可是 b 值的范围却相差甚远.
即使在有些情况下，“等号”能够和其它情况的结果能够合并，我们单独 讨论之后，再合并也不迟.可是如果结果差异很大呢？不就犯错了吗.
宁可麻烦一点，宁可慢一些，稳妥一些好.
2.双变量的情况下如何构造函数；
3.求最值必须指明取最值的条件，坦白从宽，抗拒从严.
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h ' t 2t 2t ln t t t 2t ln t t 1 2 ln t .
max 2 2
求最值一定要指明取最值的条件，不管题中是否要求你指出，因为这个 问题关乎到最值能否取到的问题.
我们看到，本题取最值需要两个等号同时取到.
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思考和小结：
1.说明“不恒成立”如何举反例；
由此我们得到不等式b a 1 a 1 ln a 1 下面研究(a+1)b 的最大值.
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两个变量 a,b 之间互相关联，不管二者之间是等量关系还是不等关系， 求(a+1)b 的最值都要朝一个变量去变形，构造出关于其中一个变量的 函数，然后求函数的最值.
这也是函数思想的体现.
f ' x e x 1 x .令f ' x 0得x 0.
x
1
在上面的解题过程中用到了二次求导的方法， 主要用于导函数的零点个 数无法确定的情况.
本题中，通过观察法能确定导函数的一个零点，但是我们不确定是否还 有其它的零点.通过二次求导确定导函数本身是单调递增的，所以导函 数的零点只有一个.

g' x e

x
a 1




为研究 g(x)的最小值， 就需要研究 g(x)的单调性； 为研究 g(x)的单调性， 就需要研究 g'(x)的零点；为研究 g'(x)的零点，就要对(a+1)进行分类讨 论.
1o.若a 1 0, 则g ' x 0, 函数g x 在R上单调递增,无最小值. 1 b 1 b 当x 0, 且x 时, g x e x a 1 x e 0 a 1 b a 1 a 1 与题意矛盾.







先研究函数的解析式. 给出的解析式中含有 f'(1),f(0)，可看作常数，处理的一般方法是求导、赋值等.
下面研究函数的单调性.
又f '' x e 1 0, 故f ' x 在R上单增. 所以当x , 0 时, f ' x 0; 当x 0, 时, f ' x 0. 从而, f x 在 , 0 上单调递减,f x 在 0, 上单调递增.
??????????????????在不等式两边同时乘以得令构造函数222211ln11111ln110ln0baaaaabaaatahttttt??????????????????有童鞋提问为什么不选a做自变量呢
2012 年高考数学新课标卷理科第 21 题
1 已知函数f x 满足f x f ' 1 e x 1 f 0 x x 2 . 2 1 求f x 的解析式及单调区间; 1 2 若f x x 2 ax b, 求 a 1 b的最大值. 2
令h ' t 0得t e . 故h t 在 0, e 上单调递增,在 e , 上单调递减. e 所以h t h e . 2 e 从而 a 1 b a 1 a 1 ln a 1 . 2