八年级数学下册四边形复习学案及练习

第十九章四边形复习学案及练习
基础知识
一（）四边形由一般到特殊的演变示意图
二、例题
例1：如图1，平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD
，垂足分别为E
、F.
求证：∠BAE =
∠DCF.
证明：∵四边形
ABCD 是平行四边形， ∴
∠ABE =∠CDF ，AB= CD. 又∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，
∴∠AEB =∠CFD = 90°，
∴△ABE ≌△CDF.
∴∠BAE =∠DCF.
例2：如图2，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F.
求证：BE = CF. 证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴OB = OC.
又∵BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，∴∠BEO =∠CFO = 90º.
∵∠BOE =∠COF.
∴△BOE ≌△COF. ∴BE = CF.
评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定. 例3：已知：如图3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且BE = 2EA ，CF = 2FD. 求证：∠BEC =∠CFB.
证明：∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ， ∴梯形ABCD 是等腰梯形. ∴∠ABC =∠DCB.
又∵AB = DC ，BE = 2EA ，CF = 2FD ， ∴BE = CF. ∵BC = CB ， （图1）
C A B D
E F O A
B C
D
E F （图2） A
D
E
F
∴△BEC ≌△CBF. ∴∠BEC =∠CFB. 例4：如图4，E 、F 分别是 ABCD 的AD 、BC 边上的点，且AE = CF. （1）求证：△ABE ≌△CDF ；
（2）若M 、N 分别是BE 、DF 的中点，连结MF 、EN ，试判断四边形MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论. （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB = CD ，∠A =∠C.
∵AE = CF ，∴△ABE ≌△CDF.
（2）解析： 四边形MFNE 是平行四边形. ∵△ABE ≌△CDF ，∴∠AEB =∠CFD ，BE = DF. 又∵M 、N 分别是BE 、DF 的中点，∴ME = FN. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠AEB =∠FBE. ∴∠CFD =∠FBE. ∴EB ∥DF ，即ME ∥FN. ∴四边形MFNE 是平行四边形.
评注：本题是一道猜想型问题. 先猜想结论，再证明其结论.
例5：如图5，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点（点E 不与B 、C 两点重合），EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点C.
（1）求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ；
（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG 的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.
解析：（1）证明：∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ， ∴梯形ABCD 是等腰梯形. ∴∠ABC =∠DCB. 又∵BC = CB ，AB = DC ， ∴△ABC ≌△DCB. ∴∠ACB =∠DBC. 又∵EG ∥AC ，∠ACB =∠GEB. ∴∠DBC=∠GEB. ∴EG = BG . ∵EG ∥OC ，EF ∥OG ， ∴四边形EGOF 是平行四边形. ∴OE = OF ，EF = OG .
∴四边形EGOF 的周长 = 2（OG ＋GE ）= 2（OG ＋GB ）= 2OB.
（2）如图6，已知在矩形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点（点E 不与B 、C 两点重合），EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点C.
求证：四边形EFOG 的周长等于2OB
注意：若将矩形改为正方形，原结论成立吗？
三、适时训练
A D
B
C E
F
(图4) M
N A B C
D 图5
E G
O
F 图6
B A D
C O
F E G
（一）精心选一选
1、下列命题正确的是（ ）
A 、一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
B 、对角线相等的四边形一定是矩形
C 、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D 、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
2、 已知平行四边形ABCD 的周长32, 5AB=3BC,则AC 的取值范围为( ) A 、6<AC<10； B 、6<AC<16； C 、10<AC<16； D 、4<AC<16
3、两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
4、延长平形四边形ABCD 的一边AB 到E ，使BE ＝BD ，连结DE 交BC 于F ，若∠DAB ＝120°，∠CFE ＝135°，AB ＝1，则AC 的长为（ ） A 、1 B 、1.2 C 、
3
2
D 、1.5 5、若菱形ABCD 中，A
E 垂直平分BC 于E ，AE ＝1cm ，则BD 的长是（ ） A 、1cm B 、2cm C 、3cm D 、4cm 6、若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线( )
A 、互相垂直
B 、相等
C 、互相平分
D 、互相垂直且相等
7、 如图，等腰△ABC 中，D 是BC 边上的一点，DE ∥AC ，DF ∥AB ，AB=5 那么四边形AFDE 的周长是
（ ）
A 、5
B 、10
C 、15
D 、20
8、如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点
D 落在BC 边中点
E 处，点A 落在点
F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）． A 、3cm B 、4cm C 、5cm D 、6cm
9、 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AC 将梯形分成两个三角形，其中△ACD 是周长为18 cm 的等边三角形，则该梯形的中位线的长是( )．
A 、9 cm
B 、12cm
C 、
2
9
cm D 、18 cm
10、如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ）
A 、4cm
B 、6cm
C 、8cm
D 、10cm
A D A
D
E
R
P D
C B A
E F
第12题图
11、 如图2，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ）
A 、34
B 、33
C 、24
D 、８
12、如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是
AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，
那么下列结论 成立的是 （ )
A 、线段EF 的长逐渐增大
B 、线段EF 的长逐渐减小
C 、线段EF 的长不变
D 、线段EF 的长与点P 的运动无关
13、 在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC ⊥BD ，且cm AC 5=，BD=12c m ，则梯形中位线的长等于（ ）
A 、 7.5cm
B 、 7cm
C 、 6.5cm
D 、 6cm
14、 国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有A B E F D C ∥∥，
B C G H A D ∥∥，那么下列说法中错误的是
（ ）
A ．红花、绿花种植面积一定相等
B ．紫花、橙花种植面积一定相等
C ．红花、蓝花种植面积一定相等
D ．蓝花、黄花种植面积一定相等
15、如图,在一个33⨯方格纸上,若以格点(即小正方形的顶点)为顶点画正方形，在该33⨯方格纸上最多可画出的正方形的个数是( )个. A 、13 B 、14 C 、18 D 、20
（二）细心填一填
1.如果四边形四个内角之比1：2：3：4，则这四边形为＿＿＿＿形。

2.若正方形的对角线长为2错误！未找到引用源。

cm ，则正方形的面积为＿＿＿。

3.若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm 两部分，则这个矩形周
黄
蓝
紫 橙
红 绿 A G E
D
H C F
B
第14题
第10题图 D
A
B
C
P
M
N
（1）
（2）
图10 A B
C
D
E
F
O
图8
长是＿＿＿
4.已知：平行四边形ABCD 的周长是30cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长长5cm ，则这个平行四边形的各边长为＿＿＿＿＿。

5. 已知：平行四边形ABCD 中， AE ⊥BC 交CB 的延长线于点E ，AF ⊥
CD 交CD 的延长线于点F ，AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝32cm ，BC ＝3
5 AB ，
∠EAF ＝2∠C ，则BE 长为＿＿＿，则∠C ＿＿＿.
6. 在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ．
7.已知：如图8，正方形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 、F 分别是边AB 、BC 上的点，若AE ＝4cm ，DF ＝3cm ，且OE ⊥OF ，则EF 的长为 。

8． 如图10(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图10(2)所示的一个菱形．对于图10(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：
．
9．如图，在四边形A B C D 中，P 是对角线B D 的中点，E F ，分别是
A B C D ，的中点，18AD BC PEF =∠= ，，则PFE ∠的度数
是 ．
10．如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC
上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小
值是_____________．
11. 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、
AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还应满足的一个条件是 。

12. 已知矩形ABCD ，分别为AD 和CD 为一边向矩形外作正三角形ADE
和正三角形CDF ，连接BE 和BF ，则BF
BE
的值等于 。

C
F
D
B
E
A
P
（第9
题）
O E
D
A
A B
C
D
E F
O 13. 如图所示，O 为矩形ABCD 的对角线交点，DF 平分∠ADC 交AC 于E ，BC 于F ，∠BDF=15°，则∠COF=______．
14. 如图，矩形A B C D 的对角线A C 和B D 相交于点O ，过点O 的直线分别交A D 和B C 于点E 、F ，23A B B C ==，，则图中阴
影部分的面积为 ．
15、如图，矩形1111ＡＢＣＤ的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形2222ＡB ＣＤ，再顺次连结四边形2222ＡB ＣＤ四边中点得到四边形3333ＡＢＣＤ，依此类推，求四边形n n n n
ＡＢＣＤ （三）认真答一答
1、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求
AB 的长。

2、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=CD=2,∠BAD=120°,对角线AC 平分∠BCD ，求等腰梯形ABCD 的周长。

3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ． （1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；
（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论
4、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于点E ，
∠ADB=60°，BD=10，BE ∶ED=4∶1，求梯形ABCD 的腰长.
5、 如图，菱形ABCD ，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，∠B ＝∠EAF ＝60°，
∠BAE ＝18°求∠CEF 的度数。

6、已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，
（1）求证：四边形ADCE 为矩形；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并给出证明．
7、 如图，四边形ABCD 中，一组对边AB=DC=4，另一组对边AD ≠BC ，对角线BD 与边DC 互相垂直，M 、N 、H 分别是AD 、BC 、BD 的中点，且∠ABD=30°求：（1）MH 的长（2）MN 的长。

A
B
C
D M
N
E
(第6题)
A B C
D
E
F D ′
E
D C B A F
D
C
B A
E
8、 如图所示，在△ABC 中，∠BAC=90°,AD ⊥B,BE 平分∠ABC,EF ∥BC,那么AE=CF 吗？证明你的结论。

9、 如图，ABCD 是正方形，CE ∥BD ，BE ＝BD ，BE 交DC 于点F ， 求证：
（1）∠BEC ＝30° （2）DE ＝DF
10、如图，在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上一点， PE ⊥BC ，垂足为E ， PF ⊥CD ，垂足为F ， 求证：EF ＝AP
11、 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，过点P 作直线交AD 于点E,交BC 于点F 。

若PE=PF,且AP+AE=CP+CF （1）求证：PA=PC;
（2）若AD=12,AB=15,∠DAB=60°,求四边形ABCD 的面积.
A D
C
B F
E
12、如图，在矩形ABCD 中，AD=8cm ，AB=6cm ，点A 处有一动点E 以1cm ∕s 的速度由点A 向点B 运动，同时点C 处也有一动点F 以2cm ∕s 的速度由点C 向点D 运动，设运动的时间为x （s ），四边形EBFD 的面积为y （cm 2
），求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围。

13、如图在直角梯形ABCD 中, AD ∥BC, ∠B=90°
AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P 从A 开始沿AD 边向D 以1cm/s
的速度运动,动点Q 从C 开始沿CB 向B 以3cm/s 的速度运动,P ,Q 分别从点A,C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间t,t 分别为何值时,四边形PQCD 为平行四边形,等腰梯形?
14、如图， ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别相交于点E ，F.
求证：四边形AFCE 是菱形
A B Q C
D
P
A
B
C
D
E
F O。