3 光在几类特殊晶体中的传播规律

对于 同一e 光：取 x3 轴为光轴，E 、 D 、 s 、 k 均在主截 面 x2Ox3 平面内，k 与 x3 轴的夹角为 ，s与 x3 轴的夹角为
，且所取坐标系为单轴晶体的主轴坐标系，则有
D1 1 0 0E1 D2 00 2 0E2 D3 0 0 3E3
则：D 201E20no 2E2 (4.2-49) D 30 3E30ne2E3
解得：
n = no
(4.2-44)
n
none
no2sin2ne2co2s
(4.2-45)
n与光传播方向无关，相应的光波称为寻常光波，即 o光。 n与光传播方向有关，随 变化，相应的光波称为异常光波
(非寻常光波、非常光波)，即 e 光。
对于 e光，当 =/2 时，n= ne；当 =0 时，n= no 。 可见，当 k 与 x3 轴方向一致时，光的传播特性如同在各向 同性介质中一样， n= n= no ，因此把 x3 轴称为光轴。
在各向同性介质中的传播特性不一样，所以称为异常光波。
x3 De Ee
se
k so x2
Do Eo x1 图4-6 单轴晶体中的 o 光和 e 光
B. e 光的波法线方向和光线方向
由上分析已知，单轴晶体中 e 光波法线方向与光线方 向之间存在着一个夹角，通常称为离散角。确定这个角度， 对于晶体光学元件的制作和许多应用非常重要。
当1=2 = ，即当波法线方向 k 沿二光轴角平分面时，相
应的二特许偏振光的折射率为：
n n1 ncno122ssin3n221/2
对于某个给 定的波法线方向 k ，其相应的二特许偏振光的 光矢量 ( E, D) 振动方向和光线传播方向 s就确定了。
4.2.2 光在晶体中传播的几何法描述 1.折射率椭球(光率体) 2.折射率曲面和波矢曲面 3.菲涅耳椭球 4.射线曲面
时，
no
M
arctanne2 no2 2none
证明：tan ne
no
时，M
arctanne2 no2 2none
将 = 对 求导，得
d 1 d d d
由
tan
no2 ne2
tan
，有
d d
1n ne o 4 41 ta2nn ne o 2 2c1 o 2 sne 4n no 2 o 4n te 2a2n(1ta2n)
(no 2(n)2)E10
( n o 2 ( n ) 2 c2 o ) E 2 s ( n ) 2 si cn o E 3 0 s
( n ) 2 si cn o E 2 ( n s e 2 ( n ) 2 s2 i ) E n 3 0
一式中系数不为零，所以 E1 = 0 ；
n'(k)
|
ra(k)
|
n"(k) | rb(k)|
两个重要性质：
② 与波法线方向 k相应 的两个特许线偏振光 D的振动方向
d和 d，分别平行于 ra 和 rb ，即：
d '(k )
ra ( k )
d"
(k )
|
ra
(
k)
|
|
rb rb
( (
k k
) )
|
这里，d 是 D矢量方向上的单位矢量。
第一式中系数为零，E1 有非零解；
第二、三式系数行列式不为零，E2
=E3
=0。
因此 O 光的 E平行于x1轴，EE1i 。对于一般的 k 方
向，O 光的E垂直于 k 与光轴(x3 )所决定的平面。又由
于 Dono2E，所以 O 光 D//E。
② e光
将 n = n和 k1= 0, k2= sin , k3= cos 代入(4.2-34)式，得
(2) 折射率椭球的性质
若从主轴坐标系原点出 发作波法线矢量 k，再过 坐标原点作中心截面 (k) 与 k垂直， (k)与椭球的
截线为一椭圆，该椭圆的半 长轴和半短轴的矢径分别记
作 ra(k) 和 rb(k) 。
两个重要性质：
① 与波法线方向 k相应的两个特许线偏振光的折射率 n′
和 n″，分别等于椭圆的两个主轴的半轴长：
tan
(4.2-51)
tantan ()1tatan n ttaan n(4.2-52)
M
arctanne2 no2 2none
实际应用中，经常要 求晶体元件工作在最大离 散角的情况下，同时满足 正入射条件。
通光面(晶面)与光轴
的夹角 = 90 。
则 满足： tan no
ne
空气
光轴
e光
kE0 Ek
E //D s//k
D E
sk
E D
各向同性介质中D, E, k, s 的关系
在各向同性介质或立方晶体中传播的光波，允许有两个 传播速度相同的线性不相关的偏振态，两偏振方向正交。相 应的振动方向不受限制，并不局限于某一特定的方向上。
(2) 单轴晶体
主介电系数为： 12n o 2, 3n e 2n o 2
故有
D12
1
D22
2
D32
3
20we
在给定能量密度 we 的情况下，该方程为 D(D1、D2、D3)
空间的椭球面。
若令： x12 D 0 1w e,x22 D 0 2w e,x32 D 0 3w e
则有
x12 x22 x32 1
1 2 3
或
x12 n12
x22 n22
x32 n32
1
图 4 - 10 折射率椭球(光率体)
在晶体中只有 x3 轴一个方向是光轴，称为单轴晶体。
① O光
将 n = n= no和k1= 0, k2= sin , k3= cos 代入(4.2-34)式，得
(no2no2)E10
( n o 2 n o 2 c2 o ) E 2 s n o 2 sic n o E 3 s 0 n o 2 sic n o E 2 s ( n e 2 n o 2 s2 i) E n 3 0
ne no —— 正单轴晶体 ne no ——
A 两种特许线偏振光波(本征模式)
为讨论方便，取 k 在x2Ox3平面内，并与 x3 轴夹角为 。
则：
k1 = 0, k2 = sin , k3= cos
k12 k22 k32 0 (4.2-31)
1 n2
1
1
1 n2
1
2
1 n2
1
3
将 12no 2, 3ne 2no 2 代入(4.2-31)得到
两种光波的 E( D)彼此垂直。
对于o光：E//D，并且垂直于k 与光轴所确定的平面； 折射率不依赖于 k 的方向；so 与波法线方向重合。这种特性
与光在各向同性介质中的传播特性一样，所以称为寻常波。 对于 e光：E与D一般不平行，并且都在 k 与光轴所确
定的平面内。它们与光轴的夹角随 k 的方向改变；折射率 随 k 的方向变化；se 与波法线方向不重合。这种特性与光
可见：
① 时当， ==00。或此 =时9，0s，与即k光、波E法与线D方方向向k重平合行。或垂直于光轴
② /2时，对于正单轴晶体，ne no， 0，e光的光线较
其波法线靠近光轴；对于负单轴晶体，ne no， 0，e光
的光线较其波法线远离光轴。
③ 当 k与光轴间的夹角 满足：
tan
ne
为得到最大离散角 M ，应令 d /d = 0，即
d d 1d d 1n e 4 n n o 2 o 4 n te 2a2n (1ta2n )0
由此得：n e 4 n o 4 ta 2 n n o 2 n e 2 ( 1 ta 2)n 0
求解得：
tan ne
no
tan
no2 ne2
由几何关系得 tanD3, tanE3 (4.2-50)
D2
E2
由(4.2-49)和 (4.2-50)式可得
tan
no2 ne2
tan
(4.2-51)
根据离散角的定义
tantan ()1tatan n ttaan n(4.2-52)
将 (4.2-51)式代入，整理得
tan 1 2si2n n 1 o 2n 1 e 2 cno 2 o 2 ssn ie 2 2n 1(4.2-53)
tan n3 n22 n12
n1 n32 n22
小于 45 的晶体，叫正双轴晶体; 大于 45 的晶体，叫负双轴晶体。
x1 x2(垂直纸面向内)
由(4.2-31)式可以证明，若光波法线方向 k 与二光轴方
向的夹角为1和2时，相应的二特许偏振光的折射率满足：
n 1 2co 2[s (1 n 1 22)/2] si2[n(1 n 3 22)/2]
(3) 利用折射率椭球确定 D 、 E 、 k 、 s的方向 D 、 E 、 k 、 s共面，该平面与折射率椭球的交线是一椭圆。
法线
J k
Q s
R B
E D
切平面 T
作业 5，6，7，10
再见
o光
晶体
图 4 - 7 实际的晶体元件方向
(3)
12 3 ，n1n2 n3 。 通常 1 2 3 。
双轴晶体有两个光轴，当光沿该二光轴方向传播时，其 相应的二特许线偏振光波的传播速度(或折射率)相等。
由波法线菲涅耳方程可以证明，两个光轴都在x1Ox3平面
内，并且与 x3 轴的夹角分别为 和 – 。 光轴2 x3 光轴1
n 4 ( n o 2 s 2 i n e 2 s n 2 ) i n 2 n o n 2 [ n e 2 ( n o 2 s 2 i n e 2 s n 2 ) i n o 4 n ] n e 2 0
化简得 （ n 2 n o 2 ） [ n 2 ( n o 2 s2 i n n e 2 c2 o ) n o 2 n s e 2 ] 0
1. 折射率椭球(光率体)
(1) 折射率椭球方程 (2) 折射率椭球的性质 (3) 利用折射率椭球确定 D, E, k, s方向的几何方法 (4) 应用折射率椭球讨论晶体的光学性质
(1)
由光的电磁理论，主轴坐标系中，晶体中的电场储能密度:
w e1 2E D 21 0 D 1 1 2D 2 2 2D 3 3 2
二、三 式系数行列式为零，E2
和
E3
有非零解。
E位于x2O x3平面内，即k与光轴(x3 )所决定的平面内。
D1= 01E1 = 0 ，所以 D在x2O x3面内，但 不平行于 E。
另外 s、k与光轴共面，但 s与k不平行。仅当 =/2 时，
E2=0， E与光轴平行，D//E，sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ/k。
光和单e光轴。晶对体应中于存某在一两波种法特线许方偏向振方k向有的两光条波光(线本：征s模o和式s)：e ，o
对于给定晶体，已知晶体的主介电张量，可以作出相应
的折射率椭球，从而就可以通过几何作图法定出与波法线矢 量 k相应的两个特许线偏振光的折射率和 D的振动方向。
折射率椭球的物理意义：表征晶体折射率在晶体空间的 各个方向上全部取值分布的几何图形。椭球的三个半轴长分
别等于三个主介电系数的平方根，其方向分别与介电主轴方 向一致。通过椭球中心的每一个矢径方向代表 D的一个振 动可方表向示，为其r长度nd为 。D所在以此折方射向率振椭动球的有光时波也折称射为率( ，d,故n矢)曲径面。