高中数学 2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件学案 新人教B版必修4(2021年整理)

2016-2017学年高中数学2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件学案新人教B版必修4
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件学案新人教B版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件学案新人教B版必修4的全部内容。

2。

2。

3 用平面向量坐标表示向量共线条件
1.会用坐标表示平面向量共线的条件.
2。

能运用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题.（重点、难点）
[基础·初探］
教材整理 两个向量平行的坐标表示
阅读教材P 103～P 104“例1”以上内容，完成下列问题. 选择基底｛e 1，e 2}.
（1)设a ＝(a 1,a 2），b ＝(b 1，b 2），则a ∥b ⇔a 1b 2－a 2b 1＝0.
(2)设a ＝（a 1，a 2)，b ＝（b 1，b 2)，如果向量b 不平行于坐标轴，即b 1≠0，b 2≠0，则a ∥b ⇔a 1b 1
＝错误!.
用语言可以表述为：两个向量平行的条件是，相应坐标成比例.
判断（正确的打“√”，错误的打“×”) （1）向量(1，2)与向量(4,8)共线.（ ） （2）向量（2,3）与向量（－4,－6)反向。

( ）
【解析】 （1)正确.因为（4,8）＝4（1，2),所以向量(1,2)与向量（4,8）共线. （2)正确。

因为(－4，－6)＝－2(2，3），所以向量（2，3）与向量（－4，－6）反向。

【答案】 (1）√ （2)√
[质疑·手记］
预习完成后，请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2:_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
判定直线平行、三点共
线
(1）已知A（1,－3),B错误!,且A,B，C三点共线，则C的坐标可以是( )
A.(－9,1) B。

(9，－1）
C.（9,1)
D.(－9，－1)
(2）已知四点坐标A（－1，1），B（1,5),C（－2，－1)，D(4，11），请判断直线AB与CD 是否平行？
（3）已知A（－1，－1），B(1,3)，C（1，5)，D（2,7)，向量错误!与错误!平行吗？直线AB平行于直线CD吗?
【精彩点拨】（1)利用向量的平行条件x1y2－x2y1＝0,可证明有公共点的两个平行向量共线，从而可证明三点共线。

(2）判定两直线平行，先判定两向量平行,再说明两向量上的相关点不共线。

【自主解答】（1）设点C的坐标是(x，y)，
因为A,B,C三点共线，
所以错误!∥错误!。

因为AB，→
＝错误!－(1，－3)＝错误!，
错误!＝(x,y）－（1,－3）＝（x－1，y＋3）,
所以7（y＋3)－错误!（x－1）＝0,整理得x－2y＝7，
经检验可知点（9,1）符合要求，故选C.
【答案】C
(2)因为错误!＝(1,5)－(－1，1)＝(2，4），错误!＝(4,11）－（－1,1)＝(5，10），错误!＝（－2，－1）－(－1,1）＝(－1，－2)，
所以错误!＝－2错误!，错误!＝－5错误!。

所以错误!∥错误!∥错误!.
由于错误!与错误!，错误!有共同的起点A ， 所以A ，B ，C ，D 四点共线, 因此直线AB 与CD 重合.
（3）因为AB →
＝(1－（－1），3－（－1))＝（2,4)，
错误!＝(2－1,7－5）＝(1，2）.
又因为2×2－4×1＝0， 所以错误!∥错误!.
又因为错误!＝（1－(－1)，5－(－1））＝(2,6),错误!＝（2，4）， 所以2×4－2×6≠0， 所以A ，B ，C 不共线, 所以AB 与CD 不重合， 所以AB ∥CD 。

三点共线的条件以及判断方法:
若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法：
(1)直接利用上述条件，计算(x 2－x 1）(y 3－y 1）－（x 3－x 1）（y 2－y 1)是否为0；
(2)任取两点构成向量，计算出两向量如AB →
，错误!，再通过两向量共线的条件进行判断. ［再练一题］
1。

设O 是坐标原点，错误!＝(k ，12），错误!＝(4,5)，错误!＝(10，k ），当k 为何值时，
A ,
B ，
C 三点共线？
【解】 ∵错误!＝错误!－错误!＝(4－k ，－7)，
错误!＝错误!－错误!＝(10－k ，k －12），
又A ，B ，C 三点共线，
∴由两向量平行的充要条件，得（4－k ）（k －12)＋7(10－k )＝0， 解得k ＝－2或k ＝11。

即当k ＝－2或k ＝11时,A ，B ,C 三点共线.
已知平面向量共线求
参数
（1）已知向量a＝(x，3），b＝(－3，x），则
①存在实数x，使a∥b;
②存在实数x，使（a＋b)∥a；
③存在实数x，m，使(m a＋b）∥a；
④存在实数x，m，使(m a＋b)∥b。

其中，所有叙述正确的序号为________.
(2）已知a＝(1,2)，b＝（－3,2)，当k为何值时,k a＋b与a－3b平行?平行时它们是同向还是反向？
【精彩点拨】（1)可利用向量共线定理列方程判断方程解的情况来解决。

(2）可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用b＝λa判定同向还是反向.
【自主解答】（1）由a∥b⇔x2＝－9无实数解,故①不对;
又a＋b＝(x－3，3＋x)，由（a＋b)∥a得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9无实数解，故②不对；
因为m a＋b＝(mx－3,3m＋x)，
由（m a＋b）∥a得（3m＋x)x－3(mx－3）＝0，
即x2＝－9无实数解，故③不对；
由(m a＋b）∥b得－3（3m＋x）－x(mx－3）＝0，
即m（x2＋9）＝0，所以m＝0，x∈R,故④正确。

【答案】④
(2)由题知k a＋b＝（k－3，2k＋2)，
a－3b＝(10，－4),
因为k a＋b与a－3b平行,
所以（k－3)×(－4)－10×(2k＋2）＝0，
解得k＝－1
3。

这时k a＋b＝错误!＝－错误!(a－3b)。

所以当k＝－错误!时，k a＋b与a－3b平行，并且反向.
利用向量平行的条件处理求值问题的思路：
(1)利用共线向量定理a＝λb（b≠0)列方程组求解。

(2)利用向量平行的坐标表达式a1b2－a2b1＝0直接求解。

[再练一题]
2。

(1）已知向量a＝（1,2)，b＝（2，3），若向量λa＋b与向量c＝（－4,－7)共线，则λ＝________.
(2）已知向量a＝(1,－2），b＝（3，4)，若(3a－b）∥（a＋k b），求实数k的值.
【解析】(1）∵a＝（1,2），b＝（2，3)，
∴λa＋b＝（λ，2λ）＋（2,3)＝(λ＋2，2λ＋3)。

∵向量λa＋b与向量c＝（－4,－7）共线，
∴－7（λ＋2)＋4（2λ＋3）＝0,
∴λ＝2.
【答案】2
（2)3a－b＝(0,－10），a＋k b＝(1＋3k，－2＋4k),
因为(3a－b)∥（a＋k b），
所以0－(－10－30k）＝0，
所以k＝－错误!。

向量共线的综合应
用
如图2。

2­18所示，已知点A（4,0)，B（4,4),C（2,6），求AC与OB的交点P的坐标。

图2。

2。

18
【精彩点拨】要求点P的坐标，只需求出向量错误!的坐标，由错误!与错误!共线得到错误!
＝λ错误!，利用错误!与错误!共线的坐标表示求出λ即可；也可设P (x ,y ）,由错误!∥错误!及错误!
∥错误!，列出关于x ,y 的方程组求解.
【自主解答】 设P （x ，y )，则错误!＝(x ，y )，因为错误!＝(4,4）,且错误!与错误!共线,所以错误!＝错误!,即x ＝y .
又AP →
＝（x －4,y ),错误!＝（－2,6)，且错误!与错误!共线，则得(x －4）×6－y ×(－2）＝0，解得x ＝y ＝3，所以P 点的坐标为（3,3）.
1。

关于解决两线段的交点问题可以用解析几何的知识联立两直线方程求交点的坐标；也可以使用对应向量共线列等式，再解方程组求解。

2.本例利用了向量共线定理,已知四边形四个顶点坐标求对角线交点坐标的向量解法，为我们展示了向量的坐标运算在解决平面几何、平面解析几何问题中的应用,在以后学习中应加以体会运用。

［再练一题]
3.如图2。

2。

19，已知A （4,5），B (1,2），C （12,1)，D （11，6）,求AC 与BD 的交点P 的坐标.
【导学号：72010060】
图2.2。

19
【解】 设错误!＝λ错误!＝λ（11－1,6－2)＝(10λ,4λ). 由题意知错误!＝(－11,1),
∴错误!＝错误!＋错误!＝（10λ－11,4λ＋1）。

又错误!＝(－8，4)，且错误!与错误!共线, ∴4×（10λ－11）＋8×（4λ＋1)＝0， 解得λ＝错误!。

设点P 的坐标为(x p ，y p )，
∴错误!＝(5，2)＝(x p －1，y p －2)，
即错误!
故点P 的坐标为(6，4)。

［探究共研型]
共线向量与中点坐标
公式
探究1 设P 1、P 2112212的中点P 的坐标？ 【提示】 如图所示，∵P 为P 1P 2的中点，
∴错误!＝错误!，
∴错误!－错误!＝错误!－错误!， ∴错误!＝错误!(错误!＋错误!） ＝错误!，
∴线段P 1P 2的中点坐标是错误!.
探究2 设P 1,P 2的坐标分别是(x 1，y 1）,（x 2，y 2),点P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则P 点坐标是什么？
【提示】 点P 是线段P 1P 2的一个三等分点,分两种情况：
①当错误!＝错误!错误!时，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!(错误!－
OP 1→
)＝错误!错误!＋错误!错误!
②当错误!＝错误!错误!时，
错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!
＝错误!＋错误!（错误!－错误!)
＝错误!错误!＋错误!错误!
＝错误!。

探究3 当错误!＝λ错误!时，点P的坐标是什么？
【提示】∵错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋λ错误!＝错误!＋λ(错误!－错误!)＝错误!＋λ错误!－λ错误!，
∴错误!＝错误!
＝错误!(x1，y1)＋错误!（x2，y2）
＝错误!＋错误!
＝错误!，
∴P错误!.
已知点A（3，－4）与点B(－1,2),点P在直线AB上，且｜错误!|＝2｜错误! |，求点P的坐标。

【精彩点拨】点P在直线AB上，包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上，因此应分类讨论.
【自主解答】设P点坐标为（x，y)，
｜错误!|＝2｜错误!|。

当P在线段AB上时，错误!＝2错误!，
∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y),
∴错误!解得错误!
∴P点坐标为错误!。

当P在线段AB延长线上时，错误!＝－2错误!,
∴（x－3，y＋4）＝－2（－1－x，2－y），
∴错误!解得错误!
∴P点坐标为(－5，8）.
综上所述，点P的坐标为错误!或（－5，8）.
在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论.
［再练一题］
4。

已知△ABC的三个顶点坐标依次为A（x1，y1），B（x2,y2)，C（x3,y3），求△ABC的重心G的坐标.
【解】延长AG交BC于点D,
∵G为△ABC的重心，
∴D为BC的中点，
∴错误!＝错误!错误!
＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，
∴错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＋错误!错误!
＝错误!＋错误!(错误!－错误!)＋错误!(错误!－错误!)
＝1
3
（错误!＋错误!＋错误!）
＝错误!.
综上所述，G的坐标为
错误!.
1.下列满足平行的一组向量是( ）
A.a＝（1，－4），b＝(504，－2 016)
B。

a＝（2，3），b＝(4,－6）
C.a＝(1,2）,b＝（－1 008,2 016)
D.a＝（－1,4）,b＝(3，12）
【解析】A中，因为1×(－2 016)－504×(－4）＝0，∴a∥b；B中，因为2×(－6）－4×3＝－24≠0，∴a与b不平行；C中,因为1×2 016－(－1 008）×2＝4 032≠0，∴a与b不平行;D中，因为－1×12－3×4＝－24≠0,∴a与b不平行。

【答案】A
2。

设k∈R,下列向量中，与向量a＝（1，－1）一定不平行的向量是( )
A。

b＝(k，k) B。

c＝(－k,－k）
C.d＝（k2＋1，k2＋1）
D.e＝（k2－1，k2－1）
【解析】由向量共线的判定条件，当k＝0时，向量b，c分别与a平行；当k＝±1时，向量e与a平行。

对任意k∈R，1·(k2＋1)＋1·（k2＋1)≠0,∴a与d不平行。

【答案】C
3.已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3），且a∥b，则m＝（）
A.－9
B.9
C.3
D.－3
【解析】因为a＝(－6，2），b＝(m，－3),
若a∥b则－6×(－3)－2m＝0,解得m＝9.
【答案】B
4.与向量a＝(1，2）平行,且模等于错误!的向量为________。

【导学号：72010061】【解析】因为所求向量与向量a＝（1，2）平行，所以可设所求向量为x（1，2)，又因为其模为5，所以x2＋(2x)2＝5，解得x＝±1。

因此所求向量为（1，2)或（－1,－2)。

【答案】(1，2)或(－1,－2)
5。

已知向量a＝(1,2)，b＝(x，1），u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值。

【解】因为a＝（1,2),b＝(x,1)，
u＝a＋2b＝(1，2）＋2（x,1）＝（2x＋1,4）,
v＝2a－b＝2(1，2）－（x,1)＝(2－x，3).
又因为u∥v,
所以3（2x＋1)－4（2－x）＝0，
解得x＝1 2 .
我还有这些不足:
（1)_________________________________________________________
（2)_________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1）_________________________________________________________
（2）_________________________________________________________
学业分层测评(二十)
（建议用时：45分钟）
[学业达标］
一、选择题
1。

已知向量a＝(2,3），b＝（－1,2)，若m a＋4b与a－2b共线,则m的值为( )
A。

错误!B。

2
C。

－错误!D。

－2
【解析】m a＋4b＝(2m－4，3m＋8),a－2b＝(4，－1)，由m a＋4b与a－2b共线，有－（2m－4)－4（3m＋8）＝0,解得m＝－2，故选D.
【答案】D
2.已知A，B，C三点共线，且A(3，－6)，B(－5,2），若C点的横坐标为6,则C点的纵坐标为（)
A。

－13 B.9
C.－9
D.13
【解析】设C（6，y）,∵错误!∥错误!，
又错误!＝(－8,8)，错误!＝(3，y＋6)，
∴－8×（y＋6）－3×8＝0，
∴y＝－9。

【答案】C
3。

已知向量a＝（1－sin θ,1)，b＝错误!,且a∥b，则锐角θ等于( ）
A.30° B。

45°
C.60° D。

75°
【解析】由a∥b,可得(1－sin θ)（1＋sin θ）－错误!＝0，即cos θ＝±错误!，而θ是锐角,故θ＝45°。

【答案】B
4.(2016·马鞍山期末)已知向量a＝(1，－2),b＝（m，4)，且a∥b，那么2a－b＝( ）
A.(4,0）
B.（0，4）
C.(4,－8）
D.(－4，8）
【解析】由a∥b知4＋2m＝0,∴m＝－2,2a－b＝（2，－4）－(－2,4）＝（4，－8).故选C.
【答案】C
5.如果向量a＝(k，1），b＝(4,k)共线且方向相反，则k等于（）
A。

±2 B.2
C。

－2 D。

0
【解析】由a，b共线得k2＝4，又两个向量的方向相反，故k＝－2.故选C.
【答案】C
二、填空题
6。

已知向量a＝（－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2），终点B在坐标轴上，则点B 的坐标为________。

【导学号：72010062】【解析】由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)。

设B（x，y），则错误!＝（x－1，y－2)＝b。

由错误!⇒错误!
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B错误!或错误!。

【答案】错误!或错误!
7。

向量a＝（1，－2），向量b与a共线，且｜b|＝4｜a｜，则b＝________。

【解析】因为b∥a，令b＝λa＝(λ，－2λ），
又｜b｜＝4｜a|，
所以（λ）2＋（－2λ）2＝16（1＋4),故有λ2
＝16，解得λ＝±4，∴b ＝(4，－8)或(－4,8）.
【答案】 (4，－8）或（－4,8）
三、解答题
8.已知点A (－1,2），B （2,8）及错误!＝错误!错误!，错误!＝－错误!错误!，求点C ，D 和向量错误!的坐标。

【解】 设点C (x 1，y 1），D （x 2，y 2），由题意可得错误!＝(x 1＋1，y 1－2），错误!＝（3，6),错误!＝(－1－x 2,2－y 2)，错误!＝(－3,－6), 因为错误!＝错误!错误!，错误!＝－错误!错误!，
所以(x 1＋1，y 1－2）＝13
（3,6）＝（1，2）, （－1－x 2，2－y 2)＝－错误!（－3，－6）＝(1,2），
则有错误!和错误!
解得错误!和错误!
所以点C ，D 的坐标分别为(0，4)和(－2,0）,错误!＝（－2，－4）。

图2­ 2.20
9。

如图2.2。

20，在△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是OB 的靠近B 点的一个三等分点,DC 与OA 交于点E ,若错误!＝λ错误!，求实数λ的值。

【解】 ∵C ，E ，D 三点共线，
∴存在实数x ，有错误!＝x 错误!,
∴OE ，→－OC ，→
＝x (错误!－错误!)，
∴λ错误!－错误!＝x 错误!,
又点A 是CB 的中点，
∴λ·错误!（错误!＋错误!)－错误!＝x 错误!，
∴错误!错误!＋错误!错误!＝错误!x 错误!－x 错误!，
∴错误!
∴λ＝错误!。

［能力提升］
1。

（2016·温州高一检测）若错误!＝i＋2j，错误!＝（3－x)i＋（4－y)j(其中i，j的方向分别与x,y轴正方向相同且为单位向量)，错误!与错误!共线，则x,y的值可能分别为（）
A.1,2
B.2,2
C.3，2 D。

2，4
【解析】因为错误!＝（1，2)，错误!＝（3－x，4－y），
又错误!∥错误!，
所以4－y－2×(3－x）＝0，
即2x－y－2＝0，验知B合适.
【答案】B
2.已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点,点F 在BC上，且BF ∶F C＝2∶1，AF 与EC相交于点P，求四边形APCD的面积.
【解】以A为坐标原点，错误!为x轴建立直角坐标系，如图所示，
∴A（0，0)，B(6，0），C（6,6),D(0，6），
F （6,4)，E(3,0）,
设P（x，y），错误!＝(x，y)，
错误!＝(6,4),错误!＝（x－3，y），错误!＝(3，6).
由点A,P，F 和点C,P，E分别共线,
得错误!∴错误!
∴S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△AEP－S△CEB
＝36－错误!×3×3－错误!×3×6＝错误!。