高考复习 2017年高考数学(文科)冲刺(四)教师版

2017年高考数学（文科）最后冲刺（四）
1．若集合A={x|﹣2≤x ≤1}，B={x|x ＜0}，则A ∪B=（ B ）
A ．（﹣∞，0）
B ．（﹣∞，1]
C ．[﹣2，0）
D ．（1，+∞）
2．复数错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

在复平面内对应的点在第一象限，则错误!未找到引用源。

的取值范围是（ A ）
A. 错误!未找到引用源。

B. 错误!未找到引用源。

C. 错误!未找到引用源。

D. 错误!未找到引用源。

3．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ A ） A ．y=x 3 B ．y=lnx C ．y=sinx D ．y=2x 4．在△ABC 中，“A=
”是“cosA=”的（ A ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（ A ）
A ．19、13
B ．13、19
C ．20、18
D ．18、20
6. 已知y ()f x =是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x －1，则(2)f -等于（ B ）
A ．3
B ．3- C. 3
4- D ．114-
7．已知△ABC 外接圆的圆心为O ，且，则
与
的夹角为（ D ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知等比数列{a n }中，a 1=1，且，那么S 5的值是（ B ）
A ．15
B ．31
C ．63
D ．64
9．ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,．若()2
263
c a b C π
=-+=且，则ABC ∆的面积是（ B ）
A ．3
B ．
932 C ．33
2
D ．33 10．直线y=kx+3被圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4截得的弦长为，则k=（ A ）
A ．±
B ．±
C ．
D ．
11．设椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，
则C 的离心率为（ A ） A ． B ． C ． D ．
12. 《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹， 竹尾风割断， 剩下三十节，一节一个圈. 头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④. 一蚁往上爬，遇圈则绕圈. 爬到竹子顶，行程是多远？”（注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺） 问：此民谣提出的问题的答案是（ B ）
A. 72.705尺
B. 61.395尺
C. 61.905尺
D. 73.995尺
13.已知向量(,1)a k k =+r ，(1,2)b =-r 且//a b r r ，则实数k 等于 1
3- .
14．以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 x 2+y 2﹣2x=0 ．
15.直线ABC △的三个顶点都在球O 的球面上，2AB AC ==，若球O 的表面积为12π，则球心O 到平面
ABC 的距离等于 1 ．
16. 某运动队对,,,A B C D 四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛，在选拔结果公布前，甲、乙、 丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说：“是C 或D 参加比赛”；乙说：“是B 参加比赛”； 丙说：“是,A D 都未参加比赛”；丁说：“是C 参加比赛”.若这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参赛的运动员是 B ．
17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA=a •cosB ．
（1）求角B 的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA ，分别求a 和c 的值． 解：（1）∵bsinA=a •cosB ，由正弦定理可得：sinBsinA=
sinAcosB ，
∵sinA ≠0，∴sinB=
cosB ，B ∈（0，π），可知：cosB ≠0，否则矛盾．∴tanB=
，∴B=
．
（2）∵sinC=2sinA ，∴c=2a ，由余弦定理可得：b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，∴9=a 2+c 2﹣ac ， 把c=2a 代入上式化为：a 2=3，解得a=，∴
．
18. 随着2022年北京冬奥会的成功申办，冰雪项目已经成为北京市民冬季休闲娱乐的重要方式．为普及冰雪运动，寒假期间学校组织高一年级学生参加冬令营．其中一班有3名男生和1名女生参加，二班有1名男生和2名女生参加．活动结束时，要从参加冬令营的学生中选出2名进行展示．
（Ⅰ）若要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选1名，求选出的2名学生性别相同的概率； （Ⅱ）若要从参加冬令营的这7名学生中任选2名，求选出的2名学生来自不同班级且性别不同的概率．
解：（Ⅰ）要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选1名，基本事件总数n==12，
选出的2名学生性别相同的概率：P=
=
．
（Ⅱ）要从参加冬令营的这7名学生中任选2名，基本事件总数n ′==21，
选出的2名学生来自不同班级且性别不同包含的基本事件个数m ′==7，
∴选出的2名学生来自不同班级且性别不同的概率
=
=．
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，PD ABCD ⊥平面，BD DC ⊥，
1
2
PD BD DC AB ===
，E 为PC 中点. (I)证明：平面BDE PBC ⊥平面；
(II)若2P ABCD V -=，求点A 到平面PBC 的距离.
20. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交
C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点
D .
（1）若当点A 的横坐标为3，且ADF ∆为等腰三角形，求C 的方程；
（2）对于（1）中求出的抛物线C ，若点()001,02D x x ⎛
⎫≥ ⎪⎝⎭
，记点B 关于x 轴的对称点为,E AE 交x 轴
于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围.
解：(1) 由题知,0,322p p F FA ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()3,0,D p FD +的中点坐标为33,024p ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭，则33324
p +=，
D
E
A
B
C
P
解得2p =，故C 的方程为24y x =.
(2) 依题可设直线AB 的方程为()()()011220,,,,x my x m A x y B x y =+≠，则()22,E x y -，由20
4y x
x my x ⎧=⎨
=+⎩消去x ，得220001
440,.161602
y my x x m x --=≥∴∆=+>Q ，121204,4y y m y y x +==-，设P 的坐标为
(),0P x ，则()()2211,,,P P PE x x y PA x x y =--=-u u u r u u u r
，由题知//PE PA u u u r u u u r ，所以()()21210P P x x y y x x -+-=，
即()()221212211221211244P y y y y y y y y x y y x y y x +++=+==，显然1240y y m +=≠，所以1204
P y y
x x ==-，即证()0,0P x x -，由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即
1212
1y y x x +=-，也即()12
2212114
y y y y +=-，
所以()2
1212124,416y y y y y y -=∴+-=，即22000161616,1,1m x m x x +==-<，又因为012
x ≥，所以
0000022011,2211x x x d x m m --≤<===-++，令()22
00622421,,2,2t x t x t d t t t ⎛⎤--=∈=-==- ⎥ ⎝⎦，易知()4
2f t t t =-在61,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上是减函数，所以6,23d ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭
. 21. 已知函数x x f ln )(=，bx ax x g -=2)((,a b 为常数)． （Ⅰ）求函数)(x f 在点()()1,1f 处的切线方程；
（Ⅱ）当函数()g x 在2x =处取得极值2-,求函数)(x g 的解析式； （Ⅲ)当2
1
=a 时，设)()()(x g x f x h +=，若函数)(x h 在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围.
（Ⅰ）由x x f ln )(=(0>x )，可得x
x f 1
)(/=
(0>x )，∴f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是)
1)(1()1(/-=-x f f y ，即1-=x y ，所求切线方程为
1-=x y ；……………………………………………………………………………..4分
（Ⅱ）∵又g (x )= bx ax -2可得b ax x g -=2)(/，且g (x )在x =2处取得极值-2．
∴⎩⎨⎧-==2
)2(0)2(/g g ，可得⎩⎨⎧-=-=-22404b a b a 解得21=a ，2=b ．
所求g (x )=x x 22
1
2-(x ∈R ) ．………………………………………………………………………….8分
(3)∵bx x x x g x f x h -+=+=22
1ln )()()(，x bx x x h 1)(2/
+-=(0>x )．
依题存在0>x 使01
)(2/
<+-=x
bx x x h ，∴即存在0>x 使012<+-bx x ，
∵不等式012<+-bx x 等价于x
x b 1
+>(min) 由基本不等式知，2[1
)(∈+
=x
x x λ，∞+)……………………………………………10分 ∵存在0>x ，不等式(*)成立，∴2>b ．所求b 2(∈，∞+)．………………………….12分
22. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； 解：（1）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为24x y =，
P 点的方程为:3,2P π⎛⎫
⎪
⎝⎭，化为直角坐标为()0,3P
直线l 的参数方程为cos 3
3sin
3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪
⎩，即12
3x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数) （2）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得2
112
4t =+，
整理得：2
480t --=，
显然有0∆>，则121248,t t t t =-+=
121
248
PA PB t t t t ===，
1212PA PB t t t t
+=+=-=
=
所以11PA PB PA PB PA PB ++==.。