2019-2020学年广东省珠海市高二(上)期末数学试卷

5．（ 5 分）已知 x， y 满足约束条件
，则 z＝ 2x+y 的最小值为（
）
A ．4
B．2
C． 1
D．
2
6．（ 5 分）设 x∈R，则“ |x﹣ 2|＜ 1”是“ x +x﹣ 6＜ 0”的（
）
A ．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．（ 5 分）若椭圆
内的动点， 且 AP⊥ BD 1，记 AP 与平面 BCC1B1 所成的角为 θ，则 tanθ的最大值为 （ ）
A．
B．
C． 2
D．
二、填空题（每题 5 分，满分 40 分，将答案填在答题纸上）
13．（ 5 分）在△ ABC 中，如果（ a+c）（ a﹣c）＝ b（b﹣ c），则角 A 等于
．
14．（ 5 分）已知 x＜ 0，则
）
A ．第 2 天
B ．第 3 天
C．第 4 天
D．第 5 天
9．（ 5 分）已知 P 为抛物线 y 2＝ 4x 上的任意一点， F 为抛物线的焦点，点 B 坐标为（ 3，2），
则 |PB|+|PF |的最小值为（
）
A ．4
B．3
C．
D．
10．（ 5 分）经过点 P（1， 1）作直线 l 交椭圆
于 M ， N 两点，且 P 为 MN 的中
2019-2020 学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的 .
1．（ 5 分）命题“
?
x∈[2
，
+
∞），
2
x
≥4”的否定式是（
）
A ．? x∈[2 ， +∞）， x2＜ 4
B． ? x∈（﹣∞， 2）， x2≥ 4
D ．若 a2＞ b2 且 ab＞ 0，则
【分析】 根据不等式的基本性质，结合特殊值，可判断选项正误．
【解答】 解：对 A，取 c＝ 0，这不等式 ac＞bc 不成立，故 A 错；
对 B，若 a＞ 0， b＞ 0， c＜ 0，则 a＜ b，故 B 错；
对 C，∵ a3＞b3 且 ba＞ 0，∴ a＞ b，∴
，求数列 {c n} 的前 n 项和 Tn．
23．（ 10 分）如图，四棱锥 P﹣ ABCD 中， PD ⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 是正方形 PD＝ AB ＝ 2，E 为 PC 中点． （ 1）求证： DE ⊥平面 PCB ； （ 2）求二面角 E﹣ BD ﹣ P 的余弦值．
2
24．（ 10 分）已知 f（ x）＝ ax +（ 1﹣a） x﹣ 1，g（ x）＝ a（ 1﹣ x）﹣ 2， a∈R． （ 1）解关于 x 的不等式 f（ x）＞ 0； （ 2）若 f（ x）≥ g（ x）对任意的 x∈[﹣ 1， 1]恒成立，求实数 a 的范围．
两点，若△ ABF 为等边三角形，则 p＝
．
18．（ 5 分）已知数列 { an} 满足：a1＝ 1，an+1＝ an+2．若
，
则 n 的最大值为
．
19．（ 5 分）如图， A，B，C，D 为平面四边形 ABCD 的四个内角，若 A+C＝ 180°， AB＝ 6，
BC＝ 4， CD ＝5， AD＝ 5，则四边形 ABCD 面积是
q12＝
＝ ＝ 9，则 q6＝3．
a9＝ a3?q6＝ 3?3＝ 9． 故选： D ．
【点评】 本题主要考查等比数列通项公式的应用，本题属基础题．
3．（ 5 分）若 a、 b、c 是任意实数，则（
）
A ．若 a＞ b，则 ac＞ bc
B ．若
，则 a＞ b
C．若 a3＞ b3 且 ab＞ 0，则
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若椭圆
上一点到两个焦点的距离之和为 m﹣ 3，
则有 2a＝ m﹣3＝ 2 ， 解可得： m＝9 或 m＝﹣ 1（舍）
故 m＝ 9， 故选： C．
【点评】 本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的离心率计算公式，关键是求出 是中档题．
m 的值，
8．（ 5 分）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：
上一点到两焦点的距离之和为 m﹣ 3，则 m 的值为（
）
A ．1
B．7
C． 9
D．7 或 9
8．（ 5 分）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题： 有厚墙 5 尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天
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加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（
D ．{ x|﹣ 1≤x≤ 5}
【分析】 将不等式转化为一元二次不等式，利用因式分解法，可求得结论． 【解答】 解：不等式可化为： x2﹣ 4x﹣ 5＞ 0
∴（ x﹣5）（ x+1）＞ 0
∴ x＞ 5 或 x＜﹣ 1 ∴不等式 x2﹣ x﹣ 5＞ 3x 的解集是 { x|x＞ 5 或 x＜﹣ 1}
故选： B．
Q，证明：点 Q 的轨迹是直线，并求
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2019-2020 学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的 .
1．（ 5 分）命题“
?
x∈[2
，
+
∞），
）
A ．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【分析】 先化简“ |x﹣ 2|＜ 1”和“ x2+x﹣ 6＜ 0”，再利用充分必要条件的定义分析判断得
解．
【解答】 解：由 |x﹣ 2|＜ 1 得 1＜x＜ 3， 由 x2+x﹣6＜ 0 得﹣ 3＜ x＜ 2， 所以“ |x﹣ 2|＜ 1”不能推出“ x2+x﹣ 6＜ 0”， 所以“ |x﹣ 2|＜ 1”是“ x2+x﹣ 6＜ 0”的非充分条件； 因为“ x2+x﹣ 6＜ 0”不能推出“ |x﹣ 2|＜ 1”， 所以“ |x﹣ 2|＜ 1”是“ x2+x﹣ 6＜ 0”的非必要条件． 所以“ |x﹣ 2|＜ 1”是“ x2+x﹣ 6＜ 0”的既不充分也不必要条件． 故选： D ．
．
20．（ 5 分）已知 F 1，F 2 分别为双曲线
﹣ ＝ 1（ a＞ 0，b＞ 0）的左、右焦点，过 F 2 与
双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点
为
．
P，若 |PF1|＝ 3|PF2|，则双曲线的离心率
三、解答题：共 50 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
21．（ 10 分）在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b， c，已知（ 2c﹣ a） cosB﹣ bcosA ＝ 0． （ 1）求角 B 的值；
m的
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值．
【解答】 解：根据题意，对于椭圆
，分 2 种情况讨论：
① ，椭圆的焦点在 x 轴上，有 4＞ m，则 a＝ 2，
若椭圆
上一点到两个焦点的距离之和为 m﹣ 3，
则有 2a＝ m﹣3＝ 4，解可得 m＝ 7， 又由 4＞ m， m＝7 不合题意，舍去； ② ，椭圆的焦点在 y 轴上，有 4＜ m，则 a＝ ，
有厚墙 5 尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天
2
x
≥4”的否定式是（
）
A ．? x∈[2 ， +∞）， x2＜ 4
B． ? x∈（﹣∞， 2）， x2≥ 4
C．? x0∈[2 ，+∞）， x02＜4
D． ? x0∈[2 ， +∞）， x02≥ 4
【分析】 根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 【解答】 解： 命题为全称命题， 则命题 “ ? x∈[2 ，+∞），x2≥ 4”的否定是： ? x0∈[2 ，+∞）， x02＜ 4，
【点评】 本题主要考查绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查充分必
要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
7．（ 5 分）若椭圆
上一点到两焦点的距离之和为 m﹣ 3，则 m 的值为（
）
A ．1
B．7
【分析】 根据题意，按椭圆的焦点位置分
C． 9
D．7 或 9
2 种情况讨论，结合椭圆的定义分析可得
【解答】 解：先根据 x， y 满足线性约束条件
画出可行域，
平移直线 0＝ 2x+y，当直线 z＝ 2x+y 过点 B（ 0，1）时， z 取最小值为 1．
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故选： C．
【点评】 本题主要考查线性规划的应用，利用
z 的几何意义，通过数形结合是解决本题
的关键．
6．（ 5 分）设 x∈R，则“ |x﹣ 2|＜ 1”是“ x2+x﹣ 6＜ 0”的（
C．? x0∈[2 ，+∞）， x02＜4
D． ? x0∈[2 ， +∞）， x02≥ 4
2．（ 5 分）已知 { an} 为等比数列， a3＝ 3， a15＝27，则 a9 的值为（
）
A ．﹣ 9
B ．9 或﹣ 9
C． 8
D．9
3．（ 5 分）若 a、 b、c 是任意实数，则（
）
A ．若 a＞ b，则 ac＞ bc
故选： C．
【点评】 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2．（ 5 分）已知 { an} 为等比数列， a3＝ 3， a15＝27，则 a9 的值为（
A ．﹣ 9
B ．9 或﹣ 9
C． 8
） D．9
【分析】 本题根据等比数列的特点可得 q12＝
＝ ＝ 9，则 q6＝ 3．再根据通项公式
有 a9＝ a3?q6 即可得到 a9 的值，本题应避免使用等比中项去计算，否则会得到两个值． 【解答】 解：由题意，可知
点，则直线的斜率为（
）
A ．﹣
B．
C．
D．
11．（5 分）如图，在△ ABC 中， B＝45°， AC＝ 8， D 是 BC 边上一点， DC＝ 5，DA ＝ 7，
则 AB 的长为（
）
A ．4
B．4
C． 8
D．4
12．（ 5 分）如图，在正四棱柱 ABCD ﹣ A1B1C1D1 中，AB＝ AD＝ 3，AA1＝ 4，P 是侧面 BCC1B1
B ．若
，则 a＞ b
C．若 a3＞ b3 且 ab＞ 0，则
D ．若 a2＞ b2 且 ab＞ 0，则
4．（ 5 分）关于 x 的不等式 x2﹣ x﹣ 5＞ 3x 的解集是（
）
A ．{ x|x≥ 5 或 x≤﹣ 1}
B． { x|x＞ 5 或 x＜﹣ 1}
C．{ x|﹣ 1＜x＜ 5}
D ．{ x|﹣ 1≤x≤ 5}
，∴
，故 C 正确；
对 D，∵ a2＞b2 且 ab＞0，取 a＝﹣ 2， b＝﹣ 1，则
，故 D 错误．
故选： C．
【点评】 本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
4．（ 5 分）关于 x 的不等式 x2﹣ x﹣ 5＞ 3x 的解集是（
）
A ．{ x|x≥ 5 或 x≤﹣ 1}
B． { x|x＞ 5 或 x＜﹣ 1} C．{ x|﹣ 1＜x＜ 5}
【点评】 一元二次不等式的求解关键在于，求出对应方程的根，能用因式分解法的就用
因式分解法，属于基础题．
5．（ 5 分）已知 x， y 满足约束条件
，则 z＝ 2x+y 的最小值为（
）
A ．4
B．2
C． 1
【分析】 作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数 结合即可的得到结论．
D． z＝2x+y 的几何意义，利用数形
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（ 2）若 a＝ 4，
，求△ ABC 的面积．
22．（ 10 分）在各项均不相等的等差数列 的前 n 项和 Sn＝ 2n+1﹣ 2．
{ an} 中，a1＝ 1，且成 a1，a2，a5 等比数列， 数列 { bn}
（ 1）求数列 { an} 、 { bn} 的通项公式；
（ 2）设
的最大值是
．
15．（ 5 分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义： 平面内到两个定点 A，B 距离之比是常数 λ（ λ＞0，λ≠ 1）的点 P 的轨迹是圆．若两定点
A，B 的距离为 3，动点 P 满足 |PA|＝2|PB|，则点 P 的轨迹围成的区域的面积为
．
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16．（ 5 分）如图，在平行六面体 ABCD ﹣ A1B1C1D1 中， AB＝ 1，AD ＝ 2， AA1＝ 3，∠ BAD
＝ 90°，∠ BAA1＝∠ DAA 1＝ 60°，则 AC1＝
．
17．（ 5 分）抛物线 x2＝ 2py（ p＞ 0）的焦点为 F ，其准线与双曲线
＝ 1 相交于 A，B
25．（ 10 分）给定椭圆
，称圆心在原点 O，半径为
的圆
是椭圆 C 的“伴随圆” ，若椭圆 C 的右焦点为 离为 ． （ 1）求椭圆 C 的过点
作椭圆 C 的“伴随圆” C'的动弦 MN ，过点 M （x1， y1）， N（ x2，
y2）分别作“伴随圆” C'的切线，设两切线交于点 该直线的方程．