2019年北京中考数学习题精选：阅读理解型问题

1．（2018北京东城区一模）如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB=CG=EF ；弯道为以点O为圆心
的一段弧，且BC，CD，DE所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出. 其间两车到点O的距离y（m）与时间x(s)的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误
．．的是
A. 甲车在立交桥上共行驶8s
B. 从F口出比从G口出多行驶40m
C. 甲车从F口出，乙车从G口出
D. 立交桥总长为150m
答案C
2、
1
36,42
6
；（答案不唯一）
3.（2018北京昌平区初二年级期末）阅读下面计算
1111
+++
133557911
+
⨯⨯⨯⨯
L的过程，
解：∵1111=13213-⨯（），1111=35235-⨯（），…，1111=9112911
-⨯（）， ∴1111+++133557911
+⨯⨯⨯⨯L =111
111111111+++)2132352572911
---+-L （）（）（）（ =111111111++)2133557911
--+-+-L （ =1112111-
（） =511
. 以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成：
（1）11+2446⨯⨯
= ； （2）当
111613355713x ++++=⨯⨯⨯L 时，最后一项x = .
答案：
4．（2018北京市
海淀区八年级期末）阅读材料 小明遇
到这样一个问题：求计算(2)(23)(34)x x x +++所得多项
式的一次项系数．
小明想通过计算(2)(23)(34)x x x +++所得的多项式解决上面的问题，但感觉有
些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．
他决定从简单情况开始，先找(2)(23)x x ++所得多项式中的一次项系数．通过观
察发现： 11611131143⨯，或
也就是说，只需用2x +中的一次项系数1乘以23x +中的常数项3，再用2x +中
的常数项2乘以23x +中的一次项系数2，两个积相加13227⨯+⨯=，即可得到一次项系数．
延续上面的方法，求计算(2)(23)(34)x x x +++所得多项式的一次项系数．可以
先用2x +的一次项系数1，23x +的常数项3，34x +的常数项4，相乘得到12；再用23x +的一次项系数2，2x +的常数项2，34x +的常数项4，相乘得到16；然后用34x +的一次项系数3，2x +的常数项2，23x +的常数项3，相乘得到18．最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
（1）计算(21)(32)x x ++所得多项式的一次项系数为 ．
（2）计算(1)(32)(43)x x x ++-所得多项式的一次项系数为 ．
（3）若计算22(1)(3)(21)x x x x a x ++-+-所得多项式的一次项系数为0，则a
=_________．
（4）若231x x -+是422x ax bx +++的一个因式，则2a b +的值为 ．
（1）7．-----------------------------------------------------------------------1分
（2）．--------------------------------------------------------------------------3分
（3）．-----------------------------------------------------------------------5分
（4）．-------------------------------------------------------------------7分
5. （2018北京市怀柔区初二期末）在学习了“求简单随机事件发生的可能性大小”知识后，小敏，小聪，小丽三人分别编写了一道有关随机事件的试题并进行了解答.小敏，小聪，小丽编写的试题分别是下面的（1）（2）（3）.
（1）一个不透明的盒子里装有4个红球，2个白球，除颜色外其它都相同，搅均后，从
中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是多少？
解：P （摸出一个红球）=42=63
. （2）口袋里装有如图所示的1角硬币2枚、5角硬币2枚、 1 元
7-3-15
-
硬币1枚.搅均后，从中随意摸出一枚硬币，摸出1角硬币的可能性是多少？
解：P （摸出1角的硬币）=25
. （3）如图，是一个转盘，盘面上有5个全等的扇形区域， 每个区域显示有不
同的颜色，轻轻转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域的可能性
是多少？
解：P （指针对准红色区域）=15
. 根据以上材料回答问题：
小敏，小聪，小丽三人中，谁编写的试题及解答是正确的，并简要说明其他两人所编试题或解答的不足之处.
答：第一个小敏的试题及答案是正确的.
小聪的试题中，因为1角、5角、1元的硬币大小不同,不符合每个结果发生的可能性都相同的条件，因此不能用上述求随机事件可能性的方法解答.
小丽的试题中，因为轻轻转动转盘时,指针指向每个区域机会不等，不具有随机性，也不符合每个结果发生的可能性都相同的条件，因此也不能用上述解答方法解答.
6．（2018北京市门头沟区八年级期末）阅读材料，并回答问题：
小明在学习分式运算过程中，计算1122
x x -+-的解答过程如下： 解：1122
x x -+- ① ()()()()222222x x x x x x -+=-+--+ ②
()()22x x =--+ ③
22x x =--- ④
4.=- ⑤
问题：（1）上述计算过程中，从 步开始出现了错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是： ；
（3）在下面的空白处，写出正确的解答过程：
解：（1）从第③步开始出现错误；………………………………………………………1分
（2）略；………………………………………………………………………………2分
（3）1122
x x -+- ()()()()222222x x x x x x -+=-+--+
()()()()2222x x x x --+=+-…………………………………………………………………3分
()()4
22x x -=+-……………………………………………………………………4分
24.4
x =--…………………………………………………………………………5分 7．（2018北京市门头沟区八年级期末）阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于1-，记作21i =-，那么这个i 就叫做虚数单位. 虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数. 一个复数可以表示为a bi +（a ，b 均为实数）的形式，其中a 叫做它的实部，b 叫做它的虚部.
复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似.
例如 计算：()()()()53453483.i i i i i ++-=++-=-
根据上述材料，解决下列问题：
（1）填空：3i = ，4i = ；
（2）计算：()2
2i +； （3）将11i i
+-化为a bi +（a ，b 均为实数）的形式（即化为分母中不含i 的形式）. 解：（1）填空：3i i =-，41i =；………………………………………………………2分
（2）计算：()2
224444134i i i i i +=++=+-=+；…………………………………5分 （3）化简：()()()()22211121212.1111112
i i i i i i i i i i i +++++-=====--+---………………………8分 8．（2018北京市石景山区初二期末）阅读下列材料：
在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程14
a x =-的解为正数，求a 的取值范围． 经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：
小杰说：解这个关于x 的分式方程，得4x a =+. 由题意可得40a +>，所以4a >-，问题解决．
小哲说：你考虑的不全面，还必须保证4x ≠，即44a +≠才行.
（1）请回答： 的说法是正确的，并简述正确的理由是 ；
（2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：
若关于x 的方程233m x x x
-=--的解为非负数，求m 的取值范围． 解：（1）小哲；理由：分式方程的解一定要保证最简公分母不为零，否则分式方
程中的分式没有意义． ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
（2）原方程233m x x x -=--可化为233
m x x x +=--． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
去分母得：()2
3m x x +=- ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
解得：6x m =+ ∵原方程的解为非负数，∴03x x ≥⎧⎨
≠⎩ ⋯⋯⋯⋯⋯5分 即：6063
m m +≥⎧⎨+≠⎩，解得63m m ≥-≠-且． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 9．（2018北京市西城区八年级期末）阅读材料：
课堂上，老师设计了一个活动：将一个4×4的正方形网格沿着网格线．．．．．
划分成两部分（分别用阴影和空白表示），使得这两部分图形是全等的，请同学们尝试给出划分的方法．约定：如果两位同学的划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么就认为他们的划分方法相同．
小方、小易和小红分别对网格进行了划分，结果如图1、图2、图3所示．
小方说：“我们三个人的划分方法都是正确的．但是将小红的整个图形（图3）逆
时针旋转90°后得到的划分方法与我的划分方法（图1）是一样的，应该认为是同一种方法，而小易的划分方法与我的不同．”
老师说：“小方说得对．” 完成下列问题：
（1
答：_______________．
（2
）判断图5的划分方法与图2小易的划分方法是否相同，并说明你的理由；
答：
____________________________________________________________________．
（3）请你再想出一种与已有方法不同的划分方法，使之满足上述条件，并在图6中画
出来．
解：（1
2分
理由合理即可，如：因为将图5沿直线翻折后得到的划分方法与图2的划分
方法相同； (3)
分
（3）答案不唯一．如： …………………………………5分
10．（2018北京延庆区八年级第一学区期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将b a 2+化简，若你能找到两个数 m 和n ，使 a n m =+22
且 mn=b ，则 b a 2+可变为mn n m 222++，即变成2)(n m + ，从而使得b a 2+ 化简。

例如：∵222)23(62)2()3(6223625+=++=++=+
∴23)23(6252+=+=+
请你仿照上例解下面问题（1）324+（2）1027-
解:（1）
…………2分
∴
…………3分
（2）∵
…5分
∴
……7分
11.（2018北京西城区二模）阅读下面材料：
已知：如图，在正方形ABCD 中，边1AB a .
按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，
构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定
的关系，并且一个比一个小.
请解决以下问题：
（1）完成表格中的填空：
① ；② ；
③ ；④ ；
（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ （不要求尺规作图）. 解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ．………………… 1分
②
11)a ．………………… 2分
③211)a ．…………………3分
④111)n a -．……………… 4分
（2）所画正方形CHIJ 见图7.
……………………………6分
12、（2018北京延庆区初一第一学期期末）阅读材料．
2017年10月18日，第十九次全国代表大会在人民大会堂隆重开幕．十九大提出，既要创造更多物质财富和精神财富以满足人民日益增长的美好生活需要，也要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要．必须坚持节约优先、保护优先、自然恢复为主的方针，形成节约资源和保护环境的空间格局、产业结构、生产方式、生活方式，还自然以宁静、和谐、美丽．
为了保护环境节约水资源，我市按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．居民用户按照以下的标准执行：第一阶梯上限180立方米，水费价格为5元/每立方米；第二阶梯为181-260立方米之间，水费价格7元/每立方米；第三阶梯为260立方米以上用水量，水价为9元/每立方米．如下表所示：
根据以上材料解决问题：
若小明家在2017年共用水200立方米，准备1000元的水费够用吗？说明理由． 答案 解：180×5+（200-180）×7------------------1分
=900+140
=1040-----------------------------------2分 ∵1040＞1000
∴准备1000元的水费不够.--------------------3分 （2018北京延庆区初一第一学期期末）26．阅读材料．
点M ，N 在数轴上分别表示数m 和n ，我们把m ，n 之差的绝对值叫做点M ，N 之间的距离，即MN=|m-n |．如图，在数轴上，点A ，B ，O ，C ，D 的位置如图所示，则DC=|3-1|=|2|=2；
CO=|1-0|=|1|=1；BC=|(-2)-1|=|-3|=3；AB=|(-4)-(-2)|=|-2|=2．
（1） BD = ；
（2）|1-(-4)|表示哪两点的距离？
（3）点P 为数轴上一点，其表示的数为x ，用含有x 的式子表示BP= ，
当BP =4时，x = ；当|x -3|+|x +2|的值最小时，x 的取值范围是 ． 答案 26．（1）4…………………………………1分
5…………………………………2分 （2）A ，C …………………………………3分 （3）|x +2|…………………………………4分
2或-6…………………………………5分 -2≤x ≤3…………………………………6分
13.（2018北京门头沟区初三综合练习）有一个二次函数满足以下条件： ①函数图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)A ，22(,)B x y (点B 在点A 的右侧)； ②对称轴是3x =； ③该函数有最小值是-2.
（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；
（2）将该函数图象2x x ＞的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G ”， 平行于x 轴的直线与图象“G ”相交于点3
(,C x y 结合画出的函数图象求345x x x ++（1
设二次函数表达式为：2
(3)2y a x =-- ∵该图象过(1,0)A
∴2
0(13)2a =--，解得1
2
a =
∴表达式为21
(3)22
y x =
--
（2）图象正确………………………………………………………3分 由已知条件可知直线与图形“G ”要有三个交点
① 当直线与x 轴重合时，有2个交点,由二次函数的轴对称性可求 346x x += ……………………………………4分 ∴34511x x x ++＞ ……………………………………5分
②当直线过21
(3)22
y x =
--的图象顶点时，有2个交点， 由翻折可以得到翻折后的函数图象为21
(3)22
y x =-
-+
∴令21
(3)222
x -
-+=-时，解得3x =±3x =-6分
∴3459x x x +++＜
综上所述345x x x ++11＜＜………
14、（2018北京燕山地区第一学期初四年级期末）28．在平面直角坐标系 xOy 中，过⊙ C 上一点 P 作⊙ C 的切线 l ．当入射光线照射在点 P 处时，产生反射，且满足：反射光线与切线 l 的夹角和入射光线与切线 l 的夹角相等，点 P 称 为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙ C ，即当入射光线在⊙ C 外时，只在圆外进行反射； 当入射光线在⊙ C 内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反 射光线。

光线在⊙ C 外反射的示
意图如图 1 所示，其中∠ 1= ∠ 2．
（1）自⊙C 内一点出发的入射光线经⊙C 第一次反射后的示意图如图2 所示，P1是第1个反射点．请在图2 中作出光线经⊙C 第二次反射后的反射光线和反射点P3；
（2）当⊙O的半径为1 时，如图3，
①第一象限内的一条入射光线平行于y 轴，且自⊙O的外部照射在圆上点P 处，此光线经⊙O 反射后，反射光线与x 轴平行，则反射光线与切线l 的夹角为°；
②自点M(0，1) 出发的入射光线，在⊙O 内顺时针方向不断地反射．若第1个反射点是P1，第二个反射点是P2，以此类推，第8个反射点是P8恰好与点M 重合，则第1 个反射点P1的坐标为；
（3）如图4，点M 的坐标为(0，2)，⊙M 的半径为1．第一象限内自点O 出发的入射光线经⊙M 反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P 的纵坐标的取值范围．
答案：（1）在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线和反射点P3；
…………………2分
（2）①反射光线与切线l的夹角为__________°；
②第1个反射点P1的坐标为______________；…………………5分
（3）
①如图2，直线OQ与⊙M相切于点Q，
点Q在第一象限，
连接MQ，过点Q作QH⊥x轴于点H．
∵直线OQ与⊙M相切于点Q，
∴MQ⊥OQ．
∴∠MQO =90°． ∵MO =2，MQ =1，
∴在Rt △MQO 中，sin ∠MOQ=2
1
=MO MQ ． ∴∠MOQ =30°．
∴OQ =OM ﹒cos ∠MOQ =3． ∵QH ⊥x 轴， ∴∠QHO =90°．
∵∠QOH =90°-∠MOQ =60°， ∴在Rt △QOH 中，QH = OQ ﹒sin ∠QOH =
2
3
． …………………………6分 ②如图3，当反射光线PN 与坐标轴平行时，
连接MP 并延长交x 轴于点D ，过点P 作PE ⊥OD 于点E ，过点O 作OF ⊥PD 于点F ． ∵直线l 是⊙M 的切线， ∴MD ⊥l ．
∴∠1+∠OPD =∠2+∠NPD =90°． ∵∠1=∠2， ∴∠OPD =∠NPD ． ∵PN ∥x 轴， ∴∠NPD =∠PDO ． ∴∠OPD =∠PDO ． ∴OP =OD ． ∵OF ⊥PD ，
∴∠MFO =90°，PF =FD ．
∵cos OMF ∠=
MF MO
MO MD
=
， 设PF =FD =x ，而MO =2，MP =1， ∴
12
212x x
+=
+．
解得x =
． ∵0x >，
∴x ∵PE ⊥OD ，
∴∠PED =90°=∠MOD ． ∴PE ∥MO ． ∴∠EPD =∠OMF ． ∴cos ∠EPD = cos ∠OMF ． ∴
MO
MF
PD PE =
． ∴PD MO
MF
PE ⋅=
=
122
x
x +⋅ (1)x x =+
=
158
． …………………………………………………………7分 可知，当反射点P 从②中的位置开始，在⊙M 上沿逆时针方向运动，到与①中的点Q 重合之前，都满足反射光线与坐标轴无公共点，所以反射点P 的纵坐标的
3
2
P y <． ………………………………8分 15、(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，∠AOB =80°，OC 平分∠AOB ．若∠BOD =20°，请你补全图形，并求∠COD 的度数．
以下是小明的解答过程：
解：如图1，因为OC 平分∠AOB ，∠AOB =80°，
所以BOC ∠=________AOB ∠=_________°． 因为∠BOD =20°，
所以COD ∠= °．
小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是OD 在∠AOB 外部的情况，事实上，OD 还可能在∠AOB 的内部” ． 图1
完成以下问题： （1）请你将小明的解答过程补充完整；
（2）根据小静的想法，请你在图2中画出另一种情况对应的图形，并直接写出此时∠
COD 的度数为 °．
图2
答案解：（1）1
2
，40，60.
（2）如图.
图2
∠COD的度数为20 °．
16、（2018北京西城区七年级第一学期期末附加题）
阅读下列材料：
我们给出如下定义：数轴上给定两点A，B以及一条线段PQ，若线段AB的中点R在线段PQ上（点R能与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段PQ径向对称.
下图为点A与点B关于线段PQ径向对称的示意图.
解答下列问题：
如图1，在数轴上，点y原点，点A表示的数为−1，点M表示的数为2.
图1
（1）①点B，C，D分别表示的数为−3，3
2
，3，在B，C，D三点中，与点A关
于线段OM径向对称；
②点E 表示的数为x，若点A与点E关于线段OM的径向对称，则x的取值范
围是；
（2）点N是数轴上一个动点，点F表示的数为6，点A与点F关于线段ON径向对称，线段ON 的最小值是；
（3）在数轴上，点H，K，L表示的数分别是−5，−4，−3，当点H以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，线段KL同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动.
设移动的时间为ν>0）秒，问y何值时，线段KL上至少存在一点与点H关于线段OM径向对称.
解：（1）①与点A关于线段OM的径向对称；
②x的取值范围是；
（2）线段ON的最小值是；
（3）
3．（1）①点C，点D与点A是关于线段OM的径向对称点； ........................ 2分
②x的取值范围是1≤o5； ................................................................... 4分
（2）5
2 ............................................................................................................ 5分
（3）解：移动时间为ν>0）秒时，点H，K，L表示的数分别是−5+ρ−4+3ρ−3+3.
此时，线段HK的中点R1表示的数是
9
2
2
t-，
线段HL的中点R2表示的数是2K4.
当线段R1R2在线段OM上运动时，线段KL上至少存在一点与点P关于线段OM径向对称. 当R2经过点O时，2K4=0时，=2.
当R1经过点M时，
9
2
2
t-=2时，=
13
4
.
∴当2≤o 13
4
时，线段R1R2在线段OM上运动.
∴2≤o 13
4
时，线段KL上至少存在一点与点P关于线段OM径向对称.
2
1。