九年级数学培优3(教师版)

培优3教师版
知识巩固：
1.已知a ≠0，(1)抛物线y ＝ax 2
的顶点坐标为 （0，0） ，对称轴为 y 轴 ．a 决定 开口方向 ，
a 越大，开口 大小 .
(2)抛物线y ＝ax 2
＋c 的顶点坐标为_（0，c ）_____，对称轴为__y 轴____．c 的变化表示
上下平移 .
(3)抛物线y ＝a (x －h )2
+c 的顶点坐标为__（h,c ）____，对称轴为__y 轴___．h 变化表示
左右平移 . 2.二次函数平移规律
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：
平移规律: 在原有函数基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．“左加右减，上加下减”. 方法二：⑴c bx ax y ++=2
沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成 m c bx ax y +++=2
（或m c bx ax y -++=2
）
⑵c bx ax y ++=2
沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成
c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）
［例1］下列函数中，是二次函数的是 ① ② ③ .
①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2
+4x ； ④y=－3x ；
⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =（4，x ）； ⑧y=（x+1）(x-1)-x 2。

变式:1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ C ）
A ．y =3x ﹣1
B ．y =ax 2+bx +c
C ．s =2t 2﹣2t +1
D ．y =x 2+
2. 函数
y =(a +3)x
a 2+4a +5
+2x -1, 当a =_-3_时, 它是一次函数; 当a =__-1_时, 它是二次函数
.
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
［例2］已知函数y =(m -1)x -3
()
m 2-2m -1
+6
（1）写出函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴； （2）求出函数图像与x 轴的交点坐标； （3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？
（4）当x 为何值时，函数y 有最大值或最小值？并求出函数的最值. 解：（1）开口向下；顶点坐标()3,6；对称轴为直线3x = （2）令0y =，即()2
2360x --+=
，解得：3x =， 所以函数与x
轴的交点坐标为：
)3,0
，()
3,0
（3）当3x <时，y 随x 的增大而增大
（4）当3x =时，函数有最大值为6.
变式：1. 若抛物线y =（x ﹣m ）2
+（m +1）的顶点在第一象限，则m 的取值范围为（ B ） A ．m ＞1 B ．m ＞0 C . m ＞﹣1 D ．﹣1＜m ＜0 2.若二次函数y =a (x -h )2+k 的值恒为正值, 则 __C___.
A. a <0,k >0
B. a >0,h >0
C. a >0,k >0
D. a <0,k <0 3.函数92
+-=x y .当-2<X<4时函数的最大值为 5
［例3］把二次函数y ＝a (x －h )2
＋k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数
1)1(2
1
2-+=
x y 的图象． (1)试确定a ，h ，k 的值；
(2)指出二次函数y ＝a (x －h )2
＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：(1)；
5,1,2
1
-===
k h a (2)开口向上，直线x ＝1，顶点坐标(1，－5)．
变式：1. 把向左平移3个单位，再向下平移3个单位可得抛物线 y =(x +1)2 ．
2. 把二次函数y =2x 2
的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的
解析式为
y =2(x +1)2-2 ．
3.下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( D )
A ．y ＝2x 2
与y ＝3x 2
B ．22
12+=
x y 与2122+=x y
C ．y ＝2x 2
与y ＝x 2
＋2
D ．y ＝x 2
与y ＝x 2
－2
［例4］在平面直角坐标系中，二次函数y =a （x ﹣a ）2
（a ≠0）的图象可能是（ D ）
3)2(2
+-=x y
A ．
B ．
C ．
D ．
变式：1．在同一坐标系中，一次函数y =ax +2与二次函数y =x 2
+a 的图象可能是（ C ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．函数y =与y =﹣kx 2
+k （k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ B ）
A ．
B ．
C ．
D ．
［例5］如图，抛物线与x 轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D 。

交Y 轴于C (1)求该抛物线的解析式与△ABC 的面积。

解：（1）将A(1,0),B(-3，0)两点代入，得：
-1+b +c =0-9-3b +c =0ìí
î 解得：b =-2
c =3
ìíî 该抛物线解析式为：y =-x 2-2x +3 点C(0，3)
S D ABC =
AB ´OC
2
=6 (2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M ，使△MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点P 的坐标。

若没有，请说明理由
解：设在抛物线第二象限图像上存在点M (x 0,y 0)，使D MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形. 则x 0
<0， y 0=-x 02
-2x 0+3(1)
再由MB 2=MC 2+BC 2得
(x 0+3)2+(y 0-0)2=(x 0-0)2+(y 0-3)2+(0+3)2+(3-0)2(2)
由（1）和（2）可解得：x 0=-1
y 0=4
ìíî（另一组根不符合题意，舍去）
所以在抛物线第二象限图像上存在点M (-1,4)，使D MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形
c bx x y ++-=2
c bx x y ++-=2
(3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合)，过E作EF与X轴垂直，交BC于F，
设E点横坐标为x.EF的长度为L，
求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？
当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？
解：
∵y=-x2-2x+3
l
BC
:y=x+3
\设E(x,-x2-2x+3),F(x,x+3)
\
L=-x2-2x+3-x-3
=-x2-3x
=-(x+
3
2
)2+
9
4
(-3<x<0)
\当x运动到-3
2
,
15
4
æ
è
ç
ö
ø
÷时，EF最大.
［例6］如图所示，已知抛物线21
y x
=-与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
(1)求A、B、C三点的坐标．
(2)过A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形
与∆PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
解：（1）A(-1,0),B(1,0),C(0,-1)
(2)
∵OA=OB=OC=1
\ÐBAC=ÐCBO=450
过点P作PE^x轴于E，则D APE为等腰直角三角形
令OE=a,则PE=a+1, \P(a,a+1)
∵点P在抛物线y=x2-1上，
\a+1=a2-1
解得：a
1
=2,a
2
=-1（不合题意，舍去）
\PE=3
\四边形ACBP的面积S=1
2
AB×OC+
1
2
AB×PE=4
（3）假设存在
∵ÐPAB=ÐBAC=450
\PA^AC
∵MG^X轴于点G，
\ÐMGA=ÐPAC=900
在Rt D AOC 中，OA=OC=1, \AC =
2
在Rt D PAE 中，AE=PE=3, \AP =32 设M 点的横坐标为m ，则M (m ,m 2-1)
① 点M 在y 轴左侧时，则m<－1
(1) 当D AMG »D PCA 时，有
AG PA =
MG
CA
∵AG =-m -1,MG =m 2-1
=2解得：m 1=-1（舍），m 2=2
3
（舍）
（2）当D MAG »D PCA 时，有AG CA =
MG
PA
=
2
解得：m
1=-1（舍），m 2=-2 \M (-2,3)
② 点M 在y 轴右侧时，则m>1 （1）当D AMG »D PCA 时，有
AG PA =
MG
CA
=
2解得：m 1=-1（舍），m 2=43 \M (43,7
9) (2) 当D MAG »D PCA 时，有AG CA =
MG
PA
=
2
解得：m 1=-1（舍），m 2=4 \M (4,15)
综上，M 点的坐标有M (-2,3)，M (43,7
9
)，M (4,15)
技能提升 1.下列函数中，属于二次函数的是（ B ）
A.y =2
x
B. y =2(x +1)(x -3)
C. y =3x -2
D. y =x 2+1x
2.二次函数2
2(1)3y x =-+的图象的顶点坐标是（ A ）
A.（1,3）
B.（－1,3）
C.（1,－3）
D.（－1,－3）
3.如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ C ） A.x>3 B.x<3 C.x>1 D.x<1
第3题图
4．二次函数2
23y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ A ）． A ．－1＜x ＜3 B ．x ＜－1 C ． x ＞3 D ．x ＜－1或x ＞3
5.已知y =2x 2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴，y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ A ）． Ａ．y =2(x -2)2+2 Ｂ．y =2(x +2)2-2
Ｃ．y =2(x -2)2-2
Ｄ．y =2(x +2)2+2
6.抛物线y =x
2
+bx +c 图像向右平移2个单位再向下平移3个单 位，所得图像的解析式为y =x 2
-2x -3，则b 、c 的值为( B )
A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 7. 在同一坐标系中，一次函数y =﹣mx +n 2与二次函数y =x 2+m 的图象可能是（ D ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x 的某个取值范围内，都有函数值y
随x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ D ）
A ． 正比例函数
B ． 一次函数
C ． 反比例函数
D ． 二次函数
9. 已知二次函数y =（x ﹣2）2
+3，当x >2 时，y 随x 的增大而减小． 10.已知y =(m 2-m )x m
2
+2m -1
+(m +3)x +m 2是二次函数，则m ＝ -3 ;二次函数表达式为y =12x 2+9
11.下列函数（其中n 为常数，且n ＞1） ①y =（x ＞0）；②y =（n ﹣1）x ；③y =
（x ＞0）；④
y =（1﹣n ）x +1；⑤y =﹣x 2+2nx （x<0）中，y 的值随x 的值增大而增大的函数有 2 个．
12.已知二次函数)1(3)1(2
-++-=a a x x a y 的图象过原点，则a 的值为 0 13.抛物线2
x y -=，2
32x y -
=，231x y =，22x y -=中，开口向下且开口最大的是 y =-23
x 2
１4.把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式
是
2)1(2
-+=x y ，则原二次函数的解析式为 y =(x -1)2-3 . 15.抛物线562
-+-=x x y 与x 轴交点为A ，B ，（A 在B 左侧）顶点为D.与Y 轴交于点C (1)求△ABC 的面积。

(2)若在抛物线上有一点M ，使△ABM 的面积是△ABC 的面积的２倍。

求M 点坐标. (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）C(0,5), \OC =5
第4题图
\A (1,0),B (5,0)\AB =4\S D ABC =10
（2）
∵y =-x 2+6x -5\y =-(x -3)2
+4
当M 在x 轴的上方时，S D ABM =
4´4
2
=8¹20 \M 在x 轴的下方.
设M (m ,-m 2+6m -5)
\D ABM 的AB 边上的高为m 2-6m +5
\4(m 2-6m +5)2
=20
解得：m 1=3+
14，m 2=3-14
\M (3+14,-10)或(3-14,-10)
(3)连接CB 交对称轴于点Q ，直线CB 的解析式为y =kx +b
由题意得：b =-55k +b =0ìíî 解得：b =-5
k =1ìíî
\y =x -5
当x=3时，y=-2，\Q (3,2)
专题强化
1.如图，在平行四边形ABCD 中，点P 为边AB 上一点，将CBP ∆沿CP 翻折，点B 的对应点'B 恰好落在DA 的延长线上，且'PB AD ⊥，若3CD =，4BC =，则BP 长度为（ A ） A 、
43
B 、
53
C 、
34
D 、
54
2.从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组
无解，且使关于x 的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和
是（ B ） A ．﹣3
B ．﹣2
C ．﹣
D ．
2.如图，某社区一建筑物上，悬挂“创文明小区，建和谐社会”的宣传条 幅AB ，小明站在位于建筑物正前方的台阶上D 点处测得条幅顶端A 的仰
角为36.5，朝着条幅的方向走到台阶下的E 点处，测得条幅顶端A 的仰
角为64，已知台阶DE 的坡度为1:2，2DC =米，则条幅AB 的长度7.8 米。

（结果精确到0.1米，参考数据：sin36.50.6≈，tan36.50.75≈，
sin640.9≈，tan 64 2.1≈）
3.甲、乙两车在依次连通的A 、B 、C 三地的公路上行驶，甲车从B 地出 发匀速向C 地行驶，同时乙车从B 地出发匀速驶向A 地行驶，到达A 地 并在A 地停留1小时后，调头按原速向C 地行驶.在两车行驶的过程中，
甲、乙两车与B 地的距离y （千米）与行驶时间x （小时）之间的函数图 像如图所示，当甲、乙两车相遇时，所用时间为 10 小时.
4. 如图，一次函数1--=x y 与反比例函数x
m
y =在第二象限交于点A ，一次函数1--=x y 与坐标轴分别交于点B 、C ，连接AO ，若3
1tan =
∠AOB （1）求反比例函数的解析式
（2）在x 轴上有一点D ，使得△BCD 的面积与△AOC 的面积相等，求点D 的坐标
解：（1）y =
34x
(2) ∵一次函数y =-x -1与坐标轴交于C 点， 令x=0，得y=-1，即C(0,-1) \OC =1
∵A (32,12 ，即点A 到x 轴得距离为12
∵一次函数y =-x -1与坐标轴交于B 点，
令y=0，得x=-1，即B(-1,0),则OB=1
\S D AOC =12OB ×12+12OB ×OC =34
设D 的横坐标是（m,0） 则BD =m +
1
则
12m +1´1=34
解得：m =
12或m =-52 则D 的坐标是(12,0),(-5
2
,0)
5. 四月中旬早熟枇杷上市，“超奇鲜果”水果店第一次用1000元购进某品种的早熟枇杷并很快卖完，第
二次又用960元购进同品种枇杷，但第二次每千克的进价是第一次进价的1.2倍，购进数量比第一次少了20千克。

（1）求水果店第一次购进这种枇杷每千克的进价是多少元？
（2）四月下旬受天气和运输影响，批发市场这种枇杷的数量有所减少，该水果店所购进的数量比四月中旬所购进的总量减少了%4a ，每千克的进价在中旬第二次进价的基础上上涨%5a ，结果下旬进货总额比中旬进货总额少16元，求a 的值 解：（1）设第一次购进枇杷的单价是x 元，则第二次购进的单价是1.2x 元， 由题意得：
1000x -960
1.2x
=20
解得：x ＝10
经检验x ＝10是原方程的解.
答：第一次购进这种水果每千克的进价是10元. （2）上周进货量；
1000x -960
1.2x
=20
1000+960-12(1+5a %)´180(1-4a %)=16
令a %=t ，化简得：200t 2-10t -1=0 解得：t 1=0.1,t 2
=-0.05（舍去）
\a =10
6.如图，在Rt BCE ∆中，90BCE ∠=。

以BC 为斜边作等腰直角三角形ABC ，点D 为BE 中点，连接AD ，过点E 作AC 的垂线交AC 于点H ，交BC 于点F 。

（1）若2,CE AB ==CD 的长；
（2）求证：2BF AD = 解：（1）CD =
5
(2) 连接DH
D ,H 分别为B
E 、E
F 中点
\DH //BF ,DH =1
2
BF
∵D ADH 为等腰直角三角形
\AD =DH =1
2
BF
\BF =2AD
7.对于一个三位正整数t ，将各数位上的数字重新排序后（包括本身），得到一个新的三位数()abc a c ≤，在所有重新排列的三位数中，当2a c b +-最小时，称此时的abc 为t 的“最优组合”，并规定()F t a b b c =---，例如：124重新排序后为：142、214、因为1441+-=，1285+-=，2424+-=，所以124为124的“最优组合”，此时(124)1F =-。

（1）三位正整数t 中，有一个数位上的数字是另外两个数位上的数字的平均数，求证：()0F t =； （2）一个正整数，由N 个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数能被2整除，前三位数能被3整除，……，一直到前N 位数能被N 整除，我们称这样的数为“善雅数”。

例如：123的第一位数能被1整除，它的前两位数12能被2整除，前三位灵敏123能被3整除，则123是一个“善雅数”。

若三位“善雅数” 20010m x y =++（09,09,x y x ≤≤≤≤、y 为整数），m 的各位数字之和为一个完全平方数，求出所有符合条件的“善雅数”中()F m 的最大值。

解：（1）∵三位正整数t 中，有一个数位上的数字是另外两位数上的数字的平均数 \重新排列后，期中两个数位上的数字的和是一个数位上的数字的2倍
\a +c -2b =0
\F (t )=0
∵m =200+10x +y 是“善雅数” \x 为偶数，且2+x +y 是3的倍数
∵x <10,y <10
\2+x +y <30
∵m 的各位数字之和为一个完全平方数
\2+x +y =32
=9
\当x =0时，y =7 当x =2时，y =5 当x =4时，y =3 当x =6时，y =1
\所有符合条件的“善雅数”有：207，225，243，261 \所有符合条件的“善雅数”中F (m )的最大值是261.。