解析几何中的定点和定值问题之欧阳德创编

解析几何中的定点定值问题
考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。

此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。

考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。

一、定点问题
解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

例1、已知A、B是抛物线y2=2p x (p>0)上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=
4
π时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。

例2．已知椭圆C：2
2
221(0)
x y
a b
a b
+=>>，以
原点为圆心， 椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切．⑴求椭圆C 的方程；
⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．
【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()13,0F -，()23,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与
x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．
⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．
【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已
知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点
为F 。

设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中
m>0,0,021<>y y 。

（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；
（2）设31,221==x x ，求点T 的坐标；
（3）设9=t,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

【针对性练习3】已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为C的标准
方程；（Ⅱ）若直线l：()0
=+≠与椭圆交于不同
y kx m k
的两点M N
、（M N
、不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．
例3、已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是
抛物线24
e=
x y
=的焦点，离心率
F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点。

（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点(,0)
M m是线段OF上的一个动点，且
+⊥，求m的取值范围；
MA MB AB
()
（Ⅲ）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N
三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存
在，请说明理由。

二、定值问题
在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变
量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。

同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。

如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效。

例4、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+a OB OA 与共线。

（1）求椭圆的离心率；
（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值。

例5、已知，椭圆C 过点A 3(1,)2
，两个焦点为（－1，0），（1，0）。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜
率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。

将第二问的结论进行如下推广：
结论1.过椭圆22221(0,0)x y a b a b 上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线EF
的斜率为定值2020b x a y （常数）。

结论2.过双曲线22
221(0,0)x y a
b a b 上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值
2020b x a y （常数）。

结论3.过抛物线22(0)y px p 上任一点00(,)A x y 任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值0p
y （常数）。

例6、已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率e ；
(Ⅱ)若F '为焦点F 关于直线32
y =的对称点，动点M 满足MF
e MF ||='||
，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距
离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
例7、已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，P(2，0)为定点．
(Ⅰ)若点P 为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程； (Ⅱ)若动圆M 过点P ，且圆心M 在抛物线C 上运动，点A 、B 是圆M 与y 轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C ，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由．
例8、已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆
上的点到焦点的距离的最小值为1，离心率为
e =﹒（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点()1,0作直线交
E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，MP MQ ⋅为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由﹒
三、 定直线问题
例9、设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点M ，且焦点为
1(F （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB =，证明：点Q 总在某定直线上
例10、已知椭圆C 的离心率e =，长轴的左右端点
分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。

试问：当m 变化时，点S 是否恒
在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

四、 其它定值问题
例11、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>
的离心率为
，右准线方程为3x =（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 是圆22:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，证明AOB ∠的大小为定值.
例12、己知椭圆12222=+b y a x （a >b >0）,过其中心O 的
任意两条互相垂直的直径是P 1P 2、
Q 1Q 2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P 1Q 1P 2Q 2与一定圆相切。

探索定圆
方程为
1=+b y a x ，原点O 到直线22B A 的距离为22b a ab
r +=，
则与菱形2211B A B A 内切的圆方程为222222b a b a y x +=+。

例13、已知P ),(00y x 是双曲线)0(2≠=a a xy 上的一个定点，过点P 作两条互相
垂直的直线分别交双曲线于P 1、P 2两点（异于P 点），求证：直线P 1P 2的方向不变。

探索定值：取P ),(020x a x ，过P 点且互相垂直的直线
中有一条过原点，则这一条直线 与曲线的另一个交点),(0201x a x P --，其斜率
1k PP =∴2202a x k PP -= PP 2的方程为)(0220
0x x a x y y --=- 把x a
y 2=代入解得),(230304
2a x x a P 22021a x k P P =∴ 证明：设PP 1的斜率为k ，则PP 2的斜率为－k 1
，
∴PP 1的方程为)(00x x k y y -=-PP 2的方程为
)(100x x k y y --=-，与抛物2a xy =联立解得),(0
201y k a k y P --、 ),(0202ky a ky P ，从而22020221a x y a k P P ==（定值）
EX ：过抛物线y 2=2px （P>0）上一定点（x 0,y 0）作两条直线分别交抛物线于A ，B 两点，满足直线PA 、PB 斜率存在且倾斜角互补，则AB 的斜率为定值。

推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。

五、练习
1、椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，
三角形ABM 的三个顶点都在椭圆上，其中M 点为（1，1），且直线MA 、MB 的斜率之和为0。

（1）求椭圆的方程。

（2）求证：直线AB 的斜率是定值。

分析：（1）x 2+2y 2=3 （2）12
2、已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点.（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是12
-，求直线AB 的方程； （Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使MB MA ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 分析：M （7
3-，0） 49
3、已知不垂直于x 轴的动直线l 交抛物线y2=2mx （m>0）于A 、B 两点，若A 、B 两点满足∠AQP=∠BQP ，若其中Q 点坐标为（-4，0），原点O 为PQ 中点。

（1）证明：A 、P 、B 三点线；（2）当m=2时，是否存在垂直于x 轴的直线l ‘，使得l ‘被以PA 为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在求出l ’的方程。

分析：设点AB 的坐标（2）l ：x=3.
4、 已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个端点为A 、B ，且四边形F1AF2B 是边长为2的正方形。

（1）求椭圆的方程。

（2）若
C 、
D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD,连结CM 交椭圆于点P ，证明：OM OP 为值。

（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存在异于C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆过直线DP ，MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标。

分析：（1）22142
x y += （2）由O 、M 、P 三点共线，得
42p m p y y x =+，所以
OM OP =4 （3）设Q 点（a ，0），由0QM
DP =，得a=0. 5、设P 为双曲线22221(,0)x y a b a b
-=>上任意一点，F1，F2是双曲线的左右焦点，若12PF PF 的最小值是-1，双曲。

（1）求双曲线C 的方程；（2）
过双曲线C 的右焦点F2的直线交双曲线于A 、B 两点，过作右准线的垂线，垂足为C ，求证：直线AC
恒过定点。

分析：（1）
2
213
x y -= （2）先猜再证：（74
，0）
121714
4
y y x =-
-换掉x1代入韦达定理得证。

方法二：设
AB ：ｘ＝ｍｙ＋２代入方程得：（ｍ２－３）ｙ２＋４ｍｙ＋１＝０
故1221224313m y y m y y m -⎧
+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩
AC ：12213
()322y y y x y x -=-+-=1212122113()21212y y y y my y y x my my -----++又
2my 1y 2=-1
2
（y1+y2）然后代入韦达定理得。

6、在平面直角坐标系xOy 中,Rt △ABC 的斜边BC 恰在x 轴上，点B(－2,0)，C （2，0），且AD 为BC 边上的高。

(I)求AD 中点G 的轨迹方程； (II)若过点(1,0)的直线l 与(I)中G 的轨迹交于两不同点P 、Q ，试问在x 轴上是否存在定点E(m,0)，使PE ·QE 恒为定值λ？若存在，求出点E 的坐标及实数λ的值；若不存在，请说明理由。

分析：（1）221(0)4x y y +=≠ （2）m=178 定值为33
64
不
容易先猜出，只能是化简求出。

7、已知直线l过椭圆E：2222
x y
+=的右焦点F,且与E 相交于P，Q两点。

（1）设
1
()
2
OR OP OQ
=+，求点R的轨迹方程。

（2）若直线l的倾斜角为60︒，求
11
||||
PF QF
+的值。

（当l的倾斜角不定时，可证11
||||
PF QF
+是定值。

）
分析：
22
20
x y x
+-=（2）可先猜再证:
解析几何中的定点定值问题
考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。

此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。

考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。

四、定点问题
解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB
α和β，当α、β变化且α+β=4
π时，证明直线AB 点，并求出该定点的坐标。

解析： 设
A （121,2y p y ），
B （22
2
,2y p
y ），则
2
1
2tan ,2tan y p
y p =
=
βα，代入1)tan(=+βα 得221214)(2p y y y y p -=+ （1） 又设直线AB 的方程为b kx y +=，则 ∴
k
p y y k
pb
y y 2,22121=
+=
，代入（1）式得
pk p b 22+=
∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点（-)2,
2p p
说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。

例2．【2010·东城一模】已知椭圆C ：
22
22
1(0)
x y a b a b +=>>，以原点为圆心，椭圆的
短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．
⑴求椭圆C 的方程； ⑵设(4,
0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个
不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；
⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．
解析：
⑴由题意知c e a ==，所以2222
2234
c a b e a a -===，
即224a b =
，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C
的方程为C ：2
214
x y +=．
⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为
(4)y k x =-①
联立22
(4)
14
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意，
所以直线PN
的斜率的取值范围是0k <<
或0k <<
． ⑶设点1122(,
),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为
21
2221
()y y y y x x x x +-=
--， 令0y =，得221221
()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入
整理，得12121224()8
x x x x x x x -+=+-．②
由得①2212122232644
,4141
k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =，
所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．
【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M
到点
()1,0
F
，)2
,0
F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与
x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹
C 交于不同的两点P 和Q ．
⑴求轨迹C 的方程；
⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．
解：⑴∵点M 到()
,0
，),0
的距离之和是4，∴M
的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为的椭圆，
其方程为2
214
x y +=．
⑵将y kx b =+，代入曲线C 的方程，整理得
22(14)40k x +++=，因为直线l 与曲线C 交于不同的两
点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+>①
设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12x x +=，122
414x x k =
+②
且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()1
12,AP x
y =+，
()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．
将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以
(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或6
5
b k =．经检验，都符合条件
①，当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不
符．当65b k =时，直线l 的方程为655
6y kx k k x ⎛⎫
=+=+ ⎪⎝
⎭
．
显然，此时直线l 经过定点6,05
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
点，且不过点A ．综
上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05
⎛⎫-
⎪⎝⎭
点．
【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已
知椭圆15
92
2=+y x 的左、右顶点为
A 、
B ，右焦点
为F 。

设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。

（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设3
1
,22
1=
=x x ，求点T 的坐标；
（3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。

【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。

考查运算求解能力和探究问题的能力。

解：（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。

由422=-PB PF ，得2222(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得
92
x =。

故所求点P 的轨迹为直线92
x =。

（2）将3
1
,22
1=
=x x 分别代入椭圆方程，以及0,021<>y y 得：M （2，53）、N （13，209
-）
直线MTA 方程为：0352303
y x -+=+-，即1
13y x =+，
直线NTB 方程为：032010393
y x --=---，即55
62y x =-。

联立方程组，解得：7
103x y =⎧⎪⎨
=⎪⎩
， 所以点T 的坐标为10
(7,
)3。

（3）点T 的坐标为(9,)m 直线MTA 方程为：03093y x m -+=
-+，即(3)12m
y x =+， 直线
NTB 方程为：03093y x m --=
--，即(3)6
m
y x =-。

分别与椭圆1592
2=+y x 联立方程组，同时考虑到
123,3x x ≠-≠，
解得：2223(80)40(,)8080m m M m m -++、
222
3(20)20(,)2020m m
N m m --++。

（方法一）当12x x ≠时，直线MN 方程为：
222
22
2222
203(20)
202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =，解得：1x =。

此时必过点D （1，0）； 当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D
（1，0）。

所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）。

（方法二）若12x x =，则由2222
2403360
8020m m m m --=++及0m >
，得m =
此时直线MN 的方程为1x =，过点D （1，0）。

若12x x ≠
，则m ≠MD 的斜率
222
2
401080240340180MD
m
m m k m m m
+==
---+，
直线ND 的斜率222
2
201020360401
20ND
m
m m k m m m -+==
---+，得MD ND k k =，
所以直线MN 过D 点。

因此，直线MN 必过x 轴上的点（1，0）。

【针对性练习3】（2011年石景山期末理18）已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2
，短轴长为
C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：
()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是
椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．
解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则
22222,
2,
c b a b c =⎧⎪=⎨
⎪=+⎩
解得
2,
a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆C
的标准方程为 22
143
x y +=． (4)
分
（Ⅱ）由方程组22
143x y
y kx m
⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得 ()2
2
23484120k x
kmx m +++-=．…… 6分
由题意△()()()22284344120km k m =-+->， 整理得：22340k m +->①………7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则
122
834km
x x k +=-
+， 2122
412
34m x x k
-=+．……… 8分
由已知，AM AN ⊥， 且椭圆的右顶点为
A (2,0)，
∴()()1212220x x y y --+=．…… 10分 即 ()()()2212121240k x x km x x m ++-+++=，
也即 ()()22
222
412812403434m km
k km m k k
--+⋅+-⋅++=++， 整理得2271640m mk k ++=． 解得2m k =- 或 27
k
m =-
，均满足①……… 11分
当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点
(2,0)，不符合题意舍去；
当27
k m =-
时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，过定点2(,0)7
，
故直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7
． (13)
分
例3、已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率
e =
右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l A 、B 两点。

（I ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且
()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围；
（Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否
存在一个定点N ，使得C 、B 、N
三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由。

解法一： （I ）设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，由题意
知1b =
2
5a =⇒=故椭圆方程为2215x y += I ）得(2,0)F ，所以02m ≤≤，设l 的方程为
(2)y k x =-（0k ≠）
代入2
215
x y +=，得2222(51)202050k x k x k +-+-= 设
1122(,),(,),A x y B x y
则
22121222
20205
,5151
k k x x x x k k -+==++,12121212(4),()y y k x x y y k x x ∴+=+--=-
2222220420,(85)05151
∴--=∴--=++k k m m k m k k 由280,0855
m k m m =>∴<<-，
∴当8
05
m <<时，有()MA MB AB +⊥成立。

（Ⅲ）在x 轴上存在定点5(,0)2
N ，使得C 、B 、N 三
点共线。

依题意知11(,)C x y -，直线BC 的方程为
21
1121
()y y y y x x x x ++=
--， 令0y =，则121122112121()y x x y x y x x x y y y y -+=+=++
l 的方程为(2),y k x A =-、B 在直线l 上，
2222
22205202255151202451
k k k k k k k k k k -⋅-⋅++=
=-+∴在x 轴上存在定点5(,0)2N ，使得C B N 三点共线。

解法二：（Ⅱ）由（I ）得(2,0)F ，所以02m ≤≤。

设l 的
方程为(2)(0),y k x k =-≠
代入2
215
x y +=，得2222(51)202050k x k k +-+-=设
1122(,),(,),A x y B x y 则
2212122220205
,5151
k k x x x x k k -+==
++1212121224(4),()51
k
y y k x x y y k x x k ∴+=+-=--=-+
∴当8
05
m <<时，有()MA MB AB +⊥成立。

（Ⅲ）在x 轴上存在定点5
(,0)2
N ，使得C 、B 、N 三
点共线。

设存在(,0),N t 使得C 、B 、N 三点共线，则//CB CN ， 122111(,),(,)CB x x y y CN t x y =-+=-，
211112()()()0x x y t x y y ∴---+=
即
211112()(2)()(4)0x x k x t x k x x ----+-=12122(2)()40x x t x x t ∴-+++=
2222205202(2)405151k k t t k k -∴-++=++，52t ∴=∴存在5
(,0)2
N ，使得
C B N 三点共线。

五、
定值问题
在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构
成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。

同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。

如果试题是客
观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效。

例4、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+a OB OA 与共线。

（1）求椭圆的离心率； （2）设
M
为椭圆上任意一点，且
),(R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值。

解析：（1）设椭圆方程为122
22=+b
y a x （a >b >0），
A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) ，AB 的中点为N(x 0,y 0)，
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1
12
222222
2
1221b y a x b y a x ，两式相减及11212=--x x y y 得到0220x a b y -=，所
以直线ON
的方向向量为)
,1(22
a
b -=，∵ON //，
∴2
231a
b =，即223b a =，从而得3
6=
e （2）探索定值因为M 是椭圆上任意一点，若M 与A 重合，则OA OM
=，此时0,1==μλ，∴122=+μλ
证明 ∵22
3b a =，∴椭圆方程为22233b y x =+，又直
线方程为c x y -=
又设M （x ，y ），则由OB
OA OM μλ+=得
⎩⎨
⎧+=+=2
121y y y x x x μλμλ，代入椭圆方程整理得
222212
2222212123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ
又∵22
12133b y x =+，22
22233b y x =+，
例5、已知，椭圆C 过点A 3
(1,)2
，两个焦点为（－1，0），（1，0）。

（1） 求椭圆C 的方程；
（2）
E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。

解析：（1）由题意，c=1,可设椭圆方程为
22
19114b b
+=+，解得23b =，2
34b =-（舍去） 所以椭圆方程为22
143
x y +=。

（2）设直线AE 方程为：3
(1)2
y k x =-+，代入
22
143
x y +=得 设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F ,因为点3(1,)2
A 在椭圆上，所以
223
4()12
2x 34F k k --=+，
3
2E E
y kx k =+-
又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以—K 代K ，可得
22
3
4()12
2x 34F k k +-=+， 3
2E E
y kx k =-++ 所以直线EF 的斜率()212
F E F E EF
F E F E y y k x x k K x x x x --++=
==--
即直线EF 的斜率为定值，其值为12。

将第二问的结论进行如下推广： 结论
1.过椭圆2
22
2
1(0,0)x y a
b
a
b 上任一点00(,)A x y 任意
作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线EF
的斜率为定值20
2
b x a y （常数）。

证明：直线AE 的方程为0
0()y y k x
x ，则直线
AF 的
方程为00()y y k x x ，
联立0
0()y y k x
x 和2
22
2
1x y a b ，消去y 可得
结论
2.过双曲线2
22
2
1(0,0)x y a
b
a
b 上任一点00(,)A x y 任
意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线EF 的斜率为定值2020
b x a y （常数）。

结论3.过抛物线2
2(0)y px p
上任一点00(,)A x y 任意作两
条斜率互为相反数的直线交椭圆于E 、F 两点，则直线
EF 的斜率为定值
p y （常数）。

例6、【2010·巢湖市第一学期期末质检】已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率e ；
(Ⅱ)若F '为焦点F 关于直线32
y =的对称点，动点M
满足MF e MF ||='||
，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距
离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
解析：(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a c ，，由已知得
44,26a a c a c =⎧==⎨
+=⎩
，
解得，. 所以椭圆的标准方程为22
11612
y x +=. 离心率21.42e == (Ⅱ)(0,2),(0,1)F F ',设(,),M x y 由MF e MF ||='||
得
化简得2
23314150x
y y +-+=，即22272
)()33
x y +-=（
故存在一个定点7(0,)3
A ，使M 到A 点的距离为定值，其定值为2.3
例7、【2010·湖南师大附中第二次月考】已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，P(2，0)
为定点．
(Ⅰ)若点P 为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程； (Ⅱ)若动圆M 过点P ，且圆心M 在抛物线C 上运动，点A 、B 是圆M 与y 轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C ，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由．
解析：(Ⅰ) 设抛物线方程为22(0)y px p =≠，则抛物线的焦点坐标为(
,0)2p .由已知，22
p
=，即4p =，故抛物线C 的方程是28y x =．
(Ⅱ)设圆心(,)M a b (0a ≥)，点A 1(0,)y ，B 2(0,)y . 因为圆M 过点P(2，0)，则可设圆M 的方程为
2222()()(2)x a y b a b -+-=-+. 令0x =，得22440y by a -+-=.
则122y y b +=，1244y y a ⋅=-. 所以
||AB ===. ，设抛
物线C 的方程为2(0)y mx m =≠，因为圆心M 在抛物线C 上，则
2b ma =. 所以||AB 由此可得，当4m =时，||4AB =为定值．故存在一条抛物线24y x =，使|AB|为定值4.
例8、已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，
椭圆上的点到焦点的距离的最小值
1，离心率为
e ﹒
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）过点()1,0
作直线交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，MP MQ ⋅为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由﹒
解析：（I ）设椭圆E 的方程为
22
22
x y 1a b +=,由已知
得：a c 1
c a
⎧-=⎪⎨=
⎪⎩。

2分
a c 1
⎧=⎪∴⎨
=⎪⎩222b a c 1∴=-=∴椭圆E
的方程为2
2x y 12
+=。

3分
（Ⅱ）法一：假设存在符合条件的点M(m,0)，又设1122P(x ,y ),Q(x ,y )，则：
2121212x x m(x x )m y y =-+++。

5分
①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y k(x 1)=-，则
由22
x y 12y k(x 1)⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
得222x 2k (x 1)20+--=
2
2
2
2
(2k 1)x 4k x (2k 2)0+-+-=221212224k 2k 2
x x ,x x 2k 12k 1
-+=⋅=++ 7分
所以2222
2222k 24k k MP MQ m m 2k 12k 12k 1-⋅=-⋅+-+++2222(2m 4m 1)k (m 2)2k 1
-++-=
+ 9分
对于任意的
k
值，
MP MQ
⋅为定值，所以
222m 4m 12(m 2)-+=-，得5m 4
=
， 所以57M(,0),MP MQ 4
16
⋅=-； 11分
②当直线
l
的斜率不存在时，直线
1212121
l:x 1,x x 2,x x 1,y y 2
=+===-
由5m 4=得7MP MQ 16
⋅=-
综上述①②知，符合条件的点M 存在，起坐标为5(,0)4
﹒ 13分
法二：假设存在点
M(m,0)
，又设
1122P(x ,y ),Q(x ,y ),
则：
1122MP (x m,y ),MQ (x m,y )=-=-
1212MP MQ (x m)(x m)y y ⋅=-⋅-+=2121212x x m(x x )m y y -+++….
5分
①当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ty 1=+，
由22
x y 1
2x ty 1
⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得22(t 2)y 2ty 10++-=121222
2t 1y y ,y y t 2t 2--∴+=⋅=++ 7分 22
2222t 24m 1MP MQ m t 2t 2t 2-+∴⋅=-+-+++2222
(m 2)t 2m 4m 1t 2
-+-+=+ 9分 设MP MQ ⋅=λ则222
2(m 2)t 2m 4m 1
t 2
-+-+=λ+
2222222(m 2)t 2m 4m 1(t 2)(m 2)t 2m 4m 120∴-+-+=λ+∴--λ+-+-λ=22
m 202m 4m 120
⎧--λ=⎪∴⎨-+-λ=⎪⎩5m 4716⎧=⎪⎪∴⎨⎪λ=-⎪⎩
5
M(,0)4
∴
11分 ②当直线l 的斜率为0时，直线l:y 0=，由5M(,0)4
得：
综上述①②知，符合条件的点M 存在，其坐标为
5
(,0)4。

13分
六、
定直线问题 例
9、设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
过点M ，且
焦点为1(F
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点
,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB
=，证
明：点Q 总在某定直线上
解析：(1)由题意：
2222222211c a b c a b ⎧=⎪
⎪+=⎨⎪⎪=-⎩
，解得
224,2
a b ==，所求椭圆方程为
22
142
x y += (2)设点
1122(,),(,),(,)
Q x y A x y B x y ，由题设，
,,,PA PB AQ QB 均不为零。

且 PA PB AQ
QB
=
又
,,,P A Q B
四点共线，可设
,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±,于是
1141,11x y
x y λλλλ--=
=
--（1） 2241,11x y
x y λλλλ++==
++（2） 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2224,x y +=
整理得222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3）
222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)
(4)－(3) 得 8(22)0x y λ+-=
0,220x y λ≠+-=∵∴，即点(,)Q x y 总在定直
线2
20x y +-=上
例10、已知椭圆C 的离心率e =
，长轴的左右
端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。

（Ⅰ）求椭圆C 的方
程；（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。

试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

解法一：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()22
22
x y 1a b 0a b +=>>。

…………………1分
∵a 2
=
，
c e a =
=，
∴
c =，
222b a c 1
=-=。

………………4分 ∴椭
圆
C
的方程为
2
22x y 14
+=。

………………………………………5分
（Ⅱ）取m 0,=
得P ,Q 1,⎛⎛
⎝
⎭⎝⎭
，直线1A P 的方程
是
y =
+ 直线2A Q
的方程是y =
交点为(1S .…………7分,
若P 1,,Q ⎛
⎛ ⎝⎭⎝⎭
，由对称性可知交点为(2S 4,. 若点
S
在同一条直线上，则直线只能为
:x 4=。

(8)
分
以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线
:x 4=上。

事实上，由22
x y 1
4
x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得()22my 14y 4,++=即
()2
2m
4y 2my 30++-=，
记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则1212
222m 3
y y ,y y m 4m 4
--+==++。

(9)
分
设1A P 与交于点00S (4,y ),由011y y ,42x 2=++得1
016y y .x 2
=+ 设
2A Q
与交于点
00S (4,y ),
''由
02
2y y ,42x 2
'=--得
2
022y y .x 2
'=
-………10 ()()
22
1212m 12m
m 4m 40x 2x 2---++=
=+-，……12分
∴0
0y
y '=，即0S 与0S '重合，这说明，当m 变化时，点S 恒
在定直线:x 4=上。

13分
解法二：（Ⅱ）取m 0,=
得P ,Q 1,⎛⎛
⎝
⎭⎝⎭
，直线1A P 的方程
是
y =
直线
2A Q
的方程
是y 交点
为
(1S (7)
分
取m 1,=得()83P ,,Q 0,155⎛⎫- ⎪
⎝⎭
，直线1A P 的方程是11
y x ,6
3
=+直线2A Q 的方程是1
y x 1,
2
=-交点为()2
S 4,1.∴若交点S 在同一条
直线上，则直线只能为:x 4=。

……………8分
以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线
:x 4=上。

事实上，由22
x y 1
4
x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得()22my 14y 4,++=即()2
2m
4y 2my 30
++-=，记
()()
1122P x ,y ,Q x ,y ，
则
1212
222m 3
y y ,y y m 4m 4
--+=
=++。

………………9分
1A P 的方程是()11y y x 2,x 2=
++2A Q 的方程是()22y
y x 2,x 2
=--消去y,
得
()()1212y y
x 2x 2x 2x 2
+=-+-…①以下用分析法证明x 4
=时，①式恒成立。

要证明①式恒成立，只需证明
12126y 2y ,x 2x 2=+-即证
()()12213y my 1y my 3,
-=+即证()12122my y 3y y .
=+………………②
∵
()12122
26m 6m
2my y 3y y 0,m 4m 4
---+=
-=++∴②式恒成立。

这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=上。

解法三：（Ⅱ）由
22
x y 14
x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得()
2
2my 14y 4,
++=即
()2
2m
4y 2my 30++-=。

记
()()
1122P x ,y ,Q x ,y ，则
1212
222m 3
y y ,y y m 4m 4
--+==++。

……………6分 1A P
的方程是()11y y x 2,x 2
=++2A Q
的方程是
()2
2y y x 2,x 2
=
--……7分
由()()1122y y x 2,x 2y y x 2,x 2⎧=+⎪+⎪⎨
⎪=-⎪-⎩
得
()()1212y y
x 2x 2,x 2x 2
+=-+-…………………9分
即
()()()()21122112y x 2y x 2x 2
y x 2y x 2++-=+--()()()()21122112y my 3y my 12y my 3y my 1++-=+--1221
21
2my y 3y y 23y y +-=+
112
211232m 2m 3y y m 4m 42
4.
2m 3y y m 4--⎛⎫
+-- ⎪++⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭
……………………………
…12分
这说明，当
m 变化时，点S 恒在定直线:x 4
=上。

………………13分
五、
其它定值问题 例
11、已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的离心率
3
x =
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 是圆22:2
O x y +=上动
点
0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点
,A B
，证明AOB ∠的大小为定值.
解析：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
（Ⅰ）由题意，得23a c c a
⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩，解得1,a c ==
∴2222b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为
2
2
12
y x -=.
（Ⅱ）点()()0000,0P x y x y ≠在圆222x y +=上，
圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0
000
x y y x x y -=-
-， 化简得002x x y y +=.由220
01
22
y x x x y y ⎧-=⎪⎨
⎪+=⎩及22002x y +=得 ()2
22
000344820x
x x x x --+-=① ()2220
00348820x
y y x x ---+=②
∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且
2
002x <<，
∴
2
0340
x -≠，设A 、B 两点的坐标分别为
()()1122,,,x y x y ，
则22
00121222008228
,3434
x x x x y y x x --==--，
∴12120OA OB x x y y ⋅=+=，∴AOB ∠的大小为90︒. 例
12、己知椭圆122
22=+b
y a x （a >b >0）,过其中心
O
的任意两条互相垂直的直径是P 1P 2、
Q 1Q 2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P 1Q 1P 2Q 2与一定圆相切。

探索定圆
方程为
1=+b
y
a x ，原点O 到直线22B A 的距离为2
2
b
a a
b r +=
，
则与菱形2211B A B A 内切的圆方程为2
22
22
2
b
a b a y x +=+。

证明：设直径P 1P 2的方程为,kx y =则Q 1Q 2的方程为x k
y 1-=
∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=12
222b y a x kx y 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=2222
2222222
22k a b b a k y k a b b a x ∴2222
2222
)1(k
a b b a k OP ++=
同理
OQ 22
=
2
22222)1(k b a b a k ++，作
OH ⊥P 2Q 2则
2
2
2
2
2
222b
a a
b OQ OP OQ OP OH +=
+⋅=
又四边形P 1Q 1P 2Q 2是菱形，∴菱形P 1Q 1P 2Q 2必外切
于圆222
22
2
b
a b a y x +=+.
例13、已知P ),(00y x 是双曲线)0(2≠=a a xy 上的一个定点，过点P 作两条互相
垂直的直线分别交双曲线于P 1、P 2两点（异于P 点），求证：直线P 1P 2的方向不变。

探索定值：取
P ),(0
2
0x a x ，过
P 点且互相垂直的直线
中有一条过原点，则这一条直线
与曲线的另一个交点),(0201x a x P --，其斜率
1k PP =
∴2
2
02
a
x k PP -= PP 2的方程为)(022
00x x a
x
y y --=-
把x
a y 2
=
代入解得),(23
3042a
x x a P 2
2
021a x k P P =∴（定值）
证明：设PP 1的斜率为k ，则PP 2的斜率为－k
1， ∴PP 1的方程为
)
(00x x k y y -=-PP 2的方程为
)(100x x k y y --=-，与抛物2
a xy =联立解得),(0
201y k a k y P --、
),(0202ky a ky P ，从而2
20
20221a
x y a k P P ==（定值）
EX ：过抛物线y 2=2px （P>0）上一定点（x 0,y 0）作两条直线分别交抛物线于A ，B 两点，满足直线PA 、PB 斜率存在且倾斜角互补，则AB 的斜率为定值。

推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。

五、练习
1、（2008唐山三模）椭圆中心在原点，焦点在x 轴
上，离心率为
2
，三角形ABM 的三个顶点都在椭圆
上，其中M 点为（1，1），且直线MA 、MB 的斜率之和为0。

（1）求椭圆的方程。

（2）求证：直线AB 的斜率是定值。

分析：（1）x 2+2y 2=3 （2）
12
2、（2008年西城一模）已知定点)01(，-C 及椭圆
5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点.
（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是12
-，求直线AB 的方程；
（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使MB MA ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 分析：M （73
-，0） 49
3、已知不垂直于x 轴的动直线l 交抛物线y2=2mx （m>0）于A 、B 两点，若A 、B 两点满足∠AQP=∠BQP ，若其中Q 点坐标为（-4，0），原点O 为PQ 中点。

（1）证明：A 、P 、B 三点线；（2）当m=2时，是否存在垂直于x 轴的直线l ‘，使得l ‘被以PA 为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在求出l ’的方程。

分析：设点AB 的坐标 （2）l ：x=3. 4、（2009
年保定统测）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的
左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个端点为A 、B ，且四边形F1AF2B 是边长为2的正方形。

（1） 求椭圆的方程。

（2）
若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M。