有理数的有关概念

第1讲 与有理数有关的概念
考点·方法·破译
1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.
2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.
3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.
经典·考题·赏析
【例1】写出下列各语句的实际意义
⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克
【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”
解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.
【变式题组】
01北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l 5：00，纽约时问是____
【例２】在－227
，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个
【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；
按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227
是分数0.033.
3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．
【变式题组】
01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18
，100.l ，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .
02把无限循环小数0.36363636....化为分数的结果为
【例３】有一列数为－1，12，－13，14．－15，16
，…，找规律到第2007个数是 . 【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－
12007
. 【变式题组】
01．数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝
5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 .
02．毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.
03．有一组数1，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.
【例４】若l ＋m 2
的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为
相反数，本题m 2
＝－4,m ＝－8 【变式题组】
01．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______
【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b |＞a ，则a ,b 、－a ,－b 的大小顺序是( )
A ． b ＜－a ＜a ＜－b
B ． –a ＜b ＜a ＜－b
C ． –b ＜a ＜－a ＜b
D ． –a ＜a ＜－b ＜b
【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a |,用式子表示为|a |＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩
(.本题注意数形结合思想，画一条数轴
标出a 、b ,依相反数的意义标出－b ,－a ,故选A ．
【变式题组】
01．推理①若a ＝b ，则|a |＝|b |；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④若
|a |≠|b |，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ）
A ． 4个
B ． 3个
C ． 2个
D ． 1个
02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a |a ＋|b |b ＋|c |c
＝ .
03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a |＋b |b |＋c |c |
的值可能是____. 【例６】已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a +b ab
的值
.
【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.
解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0
即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a +b ab ＝1232＝38
【变式题组】
01．已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ．
02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )
A ． －4
B ． －1
C ． 0
D ． 4
03．已知|a |＝8，|b |＝2，且|a －b |＝b －a ，求a 和b 的值
【例７】（第l 8届迎春杯）已知(m ＋n )2＋|m |＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．
【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n )2＋|m |的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把
问题转化为(m ＋n )2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径.
解：∵(m ＋n )2≥0，|m |≥O
∴(m ＋n )2＋|m |≥0，而(m ＋n )2＋|m |＝m
∴ m ≥0,∴(m ＋n )2＋m ＝m ，即(m ＋n )2＝0
∴m ＋n ＝O ①
又∵|2m －n －2|＝0
∴2m －n －2＝0 ②
由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49
【变式题组】
01．已知(a ＋b )2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l |＝0，求a －B ．
02．已知y ＝|x －a |＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最大值.
演练巩固
01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142
…根据其规律可知第9个数是( ) A ． 156 B ． 172 C ． 190 D ． 1110
02．－6的绝对值是( )
A ． 6
B ． －6
C ． 16
D ． －16
03．在－227
,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个
04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )
A ． a －b
B ． b －a
C ． –a ＋b
D ． –a －b
05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )
A ． 0和6
B ． 0和－6
C ． 3和－3
D ． 0和3
06．若－a 不是负数，则a ( )
A ． 是正数
B ． 不是负数
C ． 是负数
D ． 不是正数
07．下列结论中，正确的是( )
①若a ＝b ,则|a |＝|b | ②若a ＝－b ,则|a |＝|b |
③若|a |＝|b |，则a ＝－b ④若|a |＝|b |,则a ＝b
A ． ①②
B ． ③④
C ． ①④
D ． ②③
08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b |的大小关系正确
的是( )
A ． |b |＞a ＞－a ＞b
B ． |b | ＞b ＞a ＞－a
C ． a ＞|b |＞b ＞－a
D ． a ＞|b |＞－a ＞b
09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个
数是____.
10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.
11．已知|m |＝－m ，化简|m －l |－|m －2|所得结果( )
A ． －1
B ． 1
C ． 2m －3
D ． 3－ 2m 12．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p |＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最小值( )
A ． 30
B ． 0
C ． 15
D ． 一个与p 有关的代数式
13．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最小值为 .
14．若a ＞0，b ＜0，使|x －a |＋|x －b |＝a －b 成立的x 取值范围 .
15．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a |a ＋|b |b ＋|abc |abc ＋|c |c
16．已知|a |＝4，|b |＝5，|c |＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．
17．|a |具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x 为有理数时，|x －1|＋|x －3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.
18．点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB |．
回答下列问题:
⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ；
19．试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.
20．电子跳蚤落在数轴上的某点k 0，第一步从k 0向左跳1个单位得k 1，第二步由k 1向右跳2个单位到k 2，第三步由k 2向左跳3个单位到k 3，第四步由k 3向右跳4个单位到k 4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k 100新表示的数恰好19.94，试求k 0所表示的数.。