2020年山西省长治市善福中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2020年山西省长治市善福中学高三数学理上学期期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（）
A. P1?P2＝
B. P1＝P2＝
C. P1+P2＝
D. P1＜P2
参考答案：
C
【分析】
将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.
【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321
方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1＝；
方案二坐车可能：312、321，所以，P1＝；
所以P1+P2＝
故选C.
【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.
2. 已知函数，且，的导函数，函数
的图象如图所示．则平面区域所围成的面积是（）
A．8 B．5 C．4 D．2
参考答案：
C
考点：线性规划导数的综合运用
试题解析：由图知：f(x)在单调递减，单调递增，又，所以等价于
作的可行域：
A(2，0),B(0，4)，所以
故答案为：C
3. 从装有3双不同鞋的柜子里，随机取2只，则取出的2只鞋不成对的概率为（）A．B．C．
D．
参考答案：
B
4. （文科）三个数的大小关系是
A． B．
C． D．
参考答案：
B
5. 设，，，则、、的大小关系为
A. B. C. D.
参考答案：
A
由题意可计算得；
；
，综上，故选A.
6. 在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则
?=( )
A．B．C．D．
参考答案：
B
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．
解答：解：若|+|=|﹣|，
则=，
即有=0，
E，F为BC边的三等分点，
则=（+）?（+）=（）?（）
=（+）?（+）
=++=×（1+4）+0=．
故选B．
点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题．
7. 下面哪些变量是相关关系
A.出租车费与行驶的里程
B.房屋面积与房屋价格
C.身高与体重
D.铁的大小与质量
参考答案：
C
8. 已知集合，，则（）
A. B. C.
D.
参考答案：
D
9. 已知过曲线上一点作曲线的切线，若切线在轴上的截距小于0时，则
的取值范围是（）
A．(0,+∞)B．C．(1,+∞)D．(2,+∞)
参考答案：
C
10. （5分）通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：
由K2=算得K2=≈4.762
参照附表，得到的正确结论（）
A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”
C．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”
D．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”
参考答案：
A
【考点】：独立性检验的应用．
应用题；概率与统计．
【分析】：根据P（K2＞3.841）=0.05，即可得出结论．
解：∵K2=≈4.762＞3.841，P（K2＞3.841）=0.05
∴在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”．
故选：A．
【点评】：本题考查独立性检验的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为___________；
参考答案：
答案：
12. （文）若实数x，y满足则s=x+y的最大值为．
参考答案：
9
考点：简单线性规划的应用．
专题：计算题．
分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数
s=x+y的最大值．
解答：解：满足约束条件的可行域，如图中阴影所示，
由图易得：当x=4，y=5时，s=x+y=4+5=9为最大值．
故答案为：9．
点评：在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优解．
13. 已知的三边分别是、、，且面积，则角= ____
参考答案：
的面积，由得，所以
，又，所以，即，，所以。

14. 已知函数f（x）=，若直线y=m与函数f（x）的图象有两个不同的交点，则实数m的取值范围是．
参考答案：
（0，1）
考点：函数的图象与图象变化．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据题意可以令f（x）=|x﹣1|﹣|x|+|x+1|，y=m，可以分别画出这两个函数的图象，利用数形结合的方法进行求解；
解答：解：分别画出函数f（x）和y=m的图象，
∵要使f（x）的图象与y=m的图象有两个交点，
如上图直线y=m应该在x轴与虚线之间，
∴0＜m＜1，
故答案为：（0，1）
点评：本题考查了方程根与函数零点之间的关系，也涉及了指数函数和对数函数的图象和性质，利用数形结合的方法进行求解，就会比较简单；
15. 如图：若框图所给程序运行的结果为S=90，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是
参考答案：
？
略
16. f（x）=，则不等式x2?f（x）+x﹣2≤0解集是．
参考答案：
{x|x＜2}
【考点】其他不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】当x≥2时，原不等式可化为x2+x﹣2≤0，当x＜2时，原不等式可化为﹣x2+x﹣2≤0，解不等式即可求解
【解答】解：当x≥2时，原不等式可化为x2+x﹣2≤0
解可得，﹣2≤x≤1
此时x不存在
当x＜2时，原不等式可化为﹣x2+x﹣2≤0即x2﹣x+2≥0
解不等式可得x∈R
此时x＜2
综上可得，原不等式的解集为{x|x＜2}
故答案为：{x|x＜2}
【点评】本题主要考查了二次不等式的求解，解题中要注意分类讨论的应用．
17. 极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距
为；
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0．
（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的参数方程；
（2）两曲线相交于M，N两点，若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．
参考答案：
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）由斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4），可得参数方程为：
，（t为参数）．由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ﹣4ρcosθ=0，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）把直线l的方程代入抛物线方程可得：t2﹣12t+48=0．利用根与系数的关系及其|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|即可得出．
【解答】解：（1）由斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4），可得参数方程为：
，（t为参数）．
由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ﹣4ρcosθ=0，可得直角坐标方程：C：y2=4x．
（2）把直线l的方程代入抛物线方程可得：t2﹣12t+48=0．
∴t1+t2=12，t1t2=48．
∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12．
19. （本小题满分12分）已知
(x∈R，0≤θ≤π)是偶函数 .
（I）求θ和的最小正周期；
（II）在∆ABC中，角A、B、C所对的边长分别为,=5,b=3,,求c.
参考答案：
20. 已知{a n}为等差数列，前n项和为，{b n}是首项为的等比数列，且公比大于0，.
（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求的前n项和T n.
参考答案：
（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】
（I）根据基本元的思想列方程，解方程求得的值，由此求得数列的通项公式（II）利用错位相减求和法求得数列的前项和.
【详解】解：（I）∵∴或（舍）
∵∴又∵∴∴
∴
（II）
∴
【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差、等比数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.
21. （本题满分13分）已知函数.
（I）求的极值；
（Ⅱ）设，若函数存在两个零点
，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.
参考答案：
（Ⅰ）由已知,,令=0,得,
列表易得,
设在的切线平行于轴，其中结合题意，（Ⅱ）
,相减得
,又,
所以设，
设，
所以函数在上单调递增，
因此，，即
也就是，，所以无解。

所以在处的切线不能平行于轴。

22. 定义：给定整数i，如果非空集合满足如下3个条件：
①；②；③，若，则.
则称集合A为“减i集”
（1）是否为“减0集”？是否为“减1集”？
（2）证明：不存在“减2集”；
（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.
参考答案：
（1）是“减0集”；不是“减1集”（2）证明见解析；（3）存在；，，，3，，，3，5，，，3，5，，，，
【分析】
（1），，，，即可得出“减0集”，同理可得不是“减1集”．
（2）假设存在是“减2集”，则若，那么，当时，有，对，分类讨论即可得出．
（3）存在“减1集” ．．假设，则中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设，，而，因此．假设，，而，因此．因此可以有，．假设，，而，因此．假设，，，，，因此．
因此可以有，3，．以此类推可得所有的．
【详解】（1），，，，是“减0集”
同理，，，，，不是“减1集”．
（2）假设存在是“减2集”，则若，
那么，当时，有，
则，一个为2，一个为4，所以集合中有元素6，
但是，，与是“减2集”，矛盾，故不存在“减2集”（3）存在“减1集”．．
①假设，则中除了元素1以外，必然还含有其它元素．
假设，，而，因此．
假设，，而，因此．
因此可以有，．
假设，，而，因此．
假设，，，，，因此．
因此可以有，3，．
以此类推可得：，3，5，，，，，
以及的满足以下条件的非空子集：，，，3，，，3，5，，【点睛】本题考查集合新定义，元素与集合的关系，逻辑推理能力，属于难题。