2021版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题、充分条件与必要条件练习理北师大版

1.2命题、充足条件与必需条件
中心考点·精确研析
考点一四种命题的关系及其真假判断
1. 已知命题p: “正数 a 的平方不等于0” , 命题 q: “若 a 不是正数 , 则它的平方等于0” , 则 q 是 p 的
()
A. 抗命题
B. 否命题
C. 逆否命题
D. 否认
2.(2019 ·长春模拟 ) 命题“若2
x <1, 则 -1<x<1 ”的逆否命题是()
A. 若 x2≥ 1, 则 x≥ 1 或 x≤ -1
B. 若 -1<x<1,
2则 x <1
C. 若 x>1 或 x<-1, 则 x2>1
D. 若 x≥ 1 或 x≤ -1, 则 x2≥ 1
3.(2020 ·天水模拟 ) 以下说法中 , 正确的选项
是()
A. 命题“若 a>b, 则 2a>2b-1 ”的否命题为“若a>b, 则 2a≤ 2b-1 ”
B. 命题“存在x∈ R,使得 x2+x+1<0”的否认是 : “随意 x∈ R,都有 x2+x+1>0”
C. 若命题“非p”与命题“ p 或 q”都是真命题, 那么命题q 必定是真命题
2 2
D.命题“若 a +b =0, 则 ab=0”的抗命题是真命题
4.(2018 ·北京高考 ) 能说明“若a>b, 则<”为假命题的一组a,b 的值挨次为.
【分析】 1. 选 B. 命题 p: “正数 a 的平方不等于0”可写成“若 a 是正数 , 则它的平方不等于0” , 进而 q 是p 的否命题 .
2. 选 D. 命题的形式是“若p, 则 q” , 由逆否命题的知识, 可知其逆否命题为
“若 q, 则 p”的形式 , 所以“若x2<1, 则 -1<x<1 ”的逆否命题是“若x≥ 1 或 x≤ -1, 则 x2≥ 1” .
3. 选 C. 命题“若a>b, 则 2a>2b-1 ”的否命题应为“若a≤ b, 则 2a≤ 2b-1 ” , 故 A 错 ; 命题“存在x∈ R, 使得
x2 +x+1<0”的否认是 : “随意 x∈ R, 都有 x2+x+1≥ 0”, 故 B 错 ; 若命题“非p”是真命题 , 则 p 是假命题 , 又因
为命题“p 或 q”是真命题 , 那么命题q 必定是真命题
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则 ab=0”的抗命题是“若 ab=0, ,C 对 ; 命题“若 a +b =0,
则 a2+b2=0”明显是假命题 , 故 D错 .
4. ①若 a>b>0, 则 < 成立 ;
②若 a>0>b, 则 , >0, <0, 所以< 不可立 ;
③若 0>a>b, 则<<0 成立 .
综上 , 只要选用切合“a>0>b”的一组a,b, 就能说明原命题是假命题.
比如 ,a=1,b=-1;a=2,b=-1等.
答案 :1,-1(答案不独一)
1.命题真假的两种判断方法
(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行直接判断.
(2)四种命题的真假成对出现 . 即原命题与逆否命题的真假性同样, 抗命题与否命题的真假性同样. 当一个命题直接判断不易进行时 , 可转变为判断其等价命题的真假 .
2.写一个命题的其余三种命题时的注意点
(1)对于不是“若 p, 则 q”形式的命题 , 需先改写 .
(2)若命题有大前提 , 写其余三种命题时需保存大前提.
3.判断一个命题为真命题 , 要给出推理证明 ; 判断一个命题是假命题 , 只要举出反例 .
考点二充足条件、必需条件及充要条件的判断
【典例】 1.(2019 ·浙江高考 ) 若 a>0,b>0, 则“ a+b≤ 4”是“ ab≤ 4”的 ()
A. 充足不用要条件
B. 必需不充足条件
C. 充足必需条件
D.既不充足也不用要条件
2.(2019 ·天津高考 ) 设 x∈ R, 则“ x2-5x<0 ”是“ |x-1|<1”的()
A. 充足而不用要条件
B. 必需而不充足条件
C. 充要条件
D.既不充足也不用要条件
3. “ a≠ 1 或 b≠ 2”是“ a+b≠ 3”的 ()
A. 充足不用要条件
B. 必需不充足条件
C. 充要条件
D.既不充足也不用要条件
【解题导思】
序号联想解题
1由 a+b 的范围求 ab 的范围 , 联想到基本不等式
2由不等式的解集, 想到用会合法判断
3原命题不好判断, 想到其逆否命题
【分析】1. 选 A. 当 a>0,b>0 时 ,a+b ≥ 2, 则当 a+b≤ 4 时, 有 2≤ a+b≤4,解得ab≤4,充足性成立;当 a=1,b=4 时 , 知足 ab≤ 4, 但此时 a+b=5>4, 必需性不可立 ,
综上所述 , “ a+b≤ 4”是“ ab≤ 4”的充足不用要条件.
2. 选 B. 由 x2-5x<0 可得解集为A={x|0<x<5},由|x-1|<1可得B={x|0<x<2},易知B A, 故 0<x<5 是 0<x<2的必需而不充足条件, 即“ x2 -5x<0 ”是“ |x-1|<1”的必需而不充足条件.
3. 选 B.“若 a≠ 1 或 b≠ 2, 则 a+b≠ 3”的逆否命题“若 a+b=3, 则 a=1 且 b=2”明显是假命题 , 所以原命题是假
命题 , 充足性不可立 . 又由于原命题的否命题“若 a=1 且 b=2, 则 a+b=3”是真命题 , 所以原命题的抗命题“若
a+b≠3, 则 a≠1 或 b≠ 2”是真命题 , 所以必需性成立 ; 故“ a≠ 1 或 b≠ 2”是“ a+b≠ 3”的必需不充足条件 .
充足条件、必需条件的三种判断方法
(1)定义法 : 依据 p? q,q ? p 进行判断 , 合用于定义、定理判断性问题 .
(2) 会合法 : 依据 p,q 成立的对象的会合之间的包括关系进行判断, 合用于命题中波及字母的范围的推测问
题 .
(3) 等价转变法 : 依据一个命题与其逆否命题的等价性, 把判断的命题转变为其逆否命题进行判断, 合用于条件和结论带有否认性词语的命题.
1.(2019 ·全国卷Ⅱ ) 设α, β为两个平面 , 则α∥β的充要条件是()
A. α内有无数条直线与β 平行
B. α内有两条订交直线与β 平行
C.α, β平行于同一条直线
D.α, β垂直于同一平面
【分析】选 B. 由面面平行的判断定理知: α内有两条订交直线都与β平行是α∥β的充足条件;
由面面平行的性质定理知, 若α∥β , 则α内随意一条直线都与β平行, 所以α内有两条订交直线与β平行是α∥β的必需条件.
故α∥β的充要条件是α内有两条订交直线与β平行.
2.(2018 ·天津高考 ) 设 x∈ R, 则“< ”是“ x3<1”的 ()
A. 充足而不用要条件
B. 必需而不充足条件
C. 充要条件
D. 既不充足也不用要条件
【分析】选 A. 由< , 得 0<x<1,
则 0<x3<1,
即“< ”? “ x3<1” ;
由 x3<1, 得 x<1, 当 x≤ 0 时 ,≥,
即“ x3<1”“< ” .
所以“< ”是“ x3<1”的充足而不用要条件.
考点三充足、必需条件的综合应用
命题 1.考什么 : (1) 依据充足条件、必需条件求参数的取值范围.
精解(2) 考察数学运算、数学抽象、逻辑推理等中心修养.
读 2.怎么考 : 常与不等式联合 , 利用会合与充足、必需条件的关系求范围.
1.观点问题 : 正确理解充足不用要条件、必需不充足条件和充要条件的观点, 找准异同点 , 巧
学霸
妙解题 .
好方
2. 交汇问题 :与方程、不等式、会合、立体几何、数列等交汇时, 要依据各知识点的性质进
法
行转变 , 并成立联系 .
充足条件、必需条件的探究
【典例】不等式x(x-2)<0成立的一个必需不充足条件是
()
A.x ∈ (0,2)
B.x ∈ [- 1,+ ∞)
C.x ∈ (0,1)
D.x ∈ (1,3)
【分析】选 B. 由 x(x-2)<0得0<x<2,由于(0,2)[- 1,+ ∞), 所以“ x∈ [- 1,+ ∞) ”是“不等式x(x-2)<0成立”的一个必需不充足条件.
解答此题的重点是什么?
提示 : 由必需不充足关系确立会合关系.
充足条件、必需条件求参数的取值范围
【典例】 1. 设 n∈ N+, 一元二次方程x2-4x+n=0 有整数根的充要条件是n=.
2. 已知条件p:2x 2-3x+1 ≤ 0, 条件 q:x 2-(2a+1)x+a(a+1)≤ 0.若p是q的必需不充足条件, 则实数 a 的取值范围是.
【分析】 1. 由=16-4n ≥ 0, 得 n≤ 4.
又 n∈ N+, 则 n=1,2,3,4. 当 n=1,2 时 , 方程没有整数根 ; 当 n=3 时 , 方程有整数根 1,3,
当 n=4 时 , 方程有整数根 2. 综上可知 ,n=3 或 4.
答案:3 或 4
2. 由 2x2-3x+1 ≤ 0, 得≤x≤ 1,所以条件p 对应的会合P=. 由 x2-(2a+1)x+a(a+1)≤ 0,得 a≤ x≤ a+1, 所以条件q 对应的会合为Q={x|a ≤ x≤ a+1}.
方法一 : 用“直接法”解题
p 对应的会合A=,
q 对应的会合B={x|x>a+1或x<a}.
由于 p 是 q 的必需不充足条件, 即 B A,
所以或所以0≤ a≤. 即实数 a 的取值范围是.
方法二 : 用“等价转变法”解题
由于 p 是 q 的必需不充足条件, 所以依据原命题与逆否命题等价, 得 p 是 q 的充足不用要条件. 所以 p? q,
即P Q?或
解得 0≤ a≤. 即实数 a 的取值范围是.
答案 :
利用充足、必需条件求参数的本质是什么?
提示 : 本质就是利用充足、必需条件成立对于参数的不等式( 组 ).
1.在以下结论中 :
①命题“若 x2-3x-4=0,则 x=4”的逆否命题为“若x≠ 4, 则 x2-3x-4≠0” ;
②命题“若
2222
则 m,n 全不为 0” ; m+n =0, 则 m,n 全为 0”的否命题是“若m+n ≠ 0,
③命题“若m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题为真命题;
④“若 x>1, 则 x2>1”的否命题为真命题 .
此中正确结论有个.()
A.1
B.2
C.3
D.4
【分析】选 B. ①正确 .
②不正确 , 否命题为“若m2+n2≠ 0, 则 m,n 不全为 0”.
③ m>0时 ,=1+4m>0,所以原命题为真命题, 所以逆否命题为真命题. ④抗命题“若 x2>1, 则 x>1”为假命题 ,所以否命题为假命题.
故正确结论的序号为①③.
2.(2018 ·北京高考 ) 设 a, b 均为单位向量 , 则“ | a-3 b|=|3 a+b| ”是“ a ⊥b”的
()
A. 充足而不用要条件
B. 必需而不充足条件
C. 充足必需条件
D.既不充足也不用要条件
【分析】选 C.| a-3 b|=|3 a+b| ? | a-3 b|222222
=|3 a+b| ? a -6 a·b+9b =9a +6a·b+b , 由于 a, b 均为单位向量 , 所以
2222
a⊥b, 即“ | a-3 b|=|3a+b| ”是“ a⊥b”的充足必需条件 .
a-6 a· b+9b =9a +6a· b+b ? a·b=0?
3.(2019·大庆模拟 ) 已知 p:x ≤ 1+m,q:|x-4|≤6. 若 p 是 q 的必需不充足条件 , 则 m的取值范围是 ()
A.(- ∞,-1]
B.(- ∞,9]
C.[1,9]
D.[9,+∞)
【分析】选 D. 由 |x-4|≤ 6, 解得 -2 ≤ x≤ 10, 由于 p 是 q 的必需不充足条件, 所以 m+1≥10, 解得 m≥ 9.
4.(2020 ·西北工业大学附中模拟) 命题 P: “ ? x>e,a-ln x<0”为真命题的一个充足不用要条件是
()
A.a ≤ 1
B.a<1
C.a ≥ 1
D.a>1
【分析】选 B. 由题意得a<(ln x)min,由于x>e, 所以 ln x>1,所以a≤ 1,由于(-∞,1) ? (-∞,1],(- ∞,1) ≠(- ∞,1] , 所以一个充足不用要条件是a<1.
祖暅原理 :“幂势既同 , 则积不容异” . 它是中国古代一个波及几何体体积的问题, 意思是两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等, 则体积相等 . 设 A,B 为两个同高的几何体,p:A,B的体积不相等,q:A,B在等高处的截面积不恒相等, 依据祖暅原理可知,p 是 q 的 ()
A. 充足不用要条件
B. 必需不充足条件
C. 充要条件
D. 既不充足也不用要条件
【分析】选 A. 由祖暅原理可得q? p, 即 p? q, 则充足性成立 ; 反之不可立 , 如将同一个圆锥正放和倒放, 在等高处的截面积不恒相等, 但体积相等 , 所以 p 是 q 的充足不用要条件.。