20-21版：第二课时 均值不等式的应用（创新设计）

提示 a，b不一定为正实数. 2.对于实数a，b，若ab为定值，则a＋b有最小值.( × )
提示 a，b不一定为正实数. 3.若 x>2，则 x＋1x的最小值为 2.( × )
提示 当且仅当x＝1时才能取得最小值2，故x>2时，取不到最小值2.
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[微训练] 1.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________.
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解 (1)设休闲区的宽为 a 米，则长为 ax 米，由 a2x＝4 000，得 a＝20 x10.
则 S＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4 000＋(8x＋20)·20 x10＋160
＝80
102
x＋ 5x＋4 160(x>1).
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【训练 3】 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6 吨，每吨面粉的价格 为 1 800 元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天 3 元，购买面粉每次需支付 运费 900 元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 注：1＋2＋3＋…＋x＝x（x＋2 1） 解 设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨. 由题意可知，面粉的保管费及其他费用为 3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1). 设平均每天所支付的总费用为y1元，
个不等式当且仅当1x＝4y＝12，即 x＝2，y＝8 时，等号成立；第二个不等式当且仅当 x＝y 时，等号成立，因此 x＋y 不能等于 8.
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正解 x＋y＝(x＋y)1x＋4y＝1＋yx＋4yx＋4＝yx＋4yx＋5≥2· xy·4yx＋5＝9，当且仅当 yx1x＝＋44yyx＝，1，即 x＝3，y＝6 时，等号成立.故 x＋y 的最小值为 9.
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则 y1＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋90x0＋10 809≥2 ＝10 989(元)，
9x·90x0＋10 809
当且仅当 9x＝90x0，即 x＝10 时，等号成立. 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.
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规律方法 利用均值不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知 识(函数及不等式性质等)解决问题.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤 进行： (1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案.
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题型一 均值不等式的简单应用
角度 1 “常数代换法”求最值
【例 1－1】 已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值. 解 ∵1x＋9y＝1，且 x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9yx≥10＋2
xy·9yx＝
y－1 3＝y＋3＋y－1 3＝y－3＋y－1 3＋6≥2 （y－3）·y－1 3＋6＝8，当且仅当 y＝4，x
＝37时取等号. 答案 8 规律方法 在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把 问题化为两个或一个变元的问题，再使用均值不等式求解.
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问题 实例中两个问题的实质是什么？如何求解？ 提示 这两个都是求最值问题.第一个问题是矩形周长一定，即长 x 与宽 y 的和一定， 求 xy 的最大值，xy≤x＋2 y2＝252＝625，当且仅当 x＝y＝25 时取等号，即鸡舍为正 方形，长与宽各为 25 米时鸡舍面积最大.第二个问题是矩形面积一定，求矩形长 x 与宽 y 之和最小值，x＋y≥2 xy＝2 10 000＝200，当且仅当 x＝y＝100 时取等号， 即当农场为正方形，边长为 100 米时，所用篱笆最省.
解析 a＋b≥2 ab＝2 10，当且仅当 a＝b＝ 10时等号成立.
答案 2 10
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2.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________. 解析 由 m2＋n2≥2mn，∴mn≤m2＋2 n2＝50.当且仅当 m＝n＝±5 2时等号成立. 答案 50
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【训练 2】 已知 a>0，b>0，且 a＋b＋1a＋1b＝5，则 a＋b 的取值范围是(
)
A.1≤a＋b≤4
B.a＋b≥2
C.1<a＋b<4
D.a＋b>4
解析
∵a
＋
b
＋
1 a
＋
1 b
＝
5
，
∴aБайду номын сангаас
＋
b
＋
a＋b ab
＝
5.∵a>0
，
b>0
，
ab≤
a＋b 2
解：因为 x>0，y>0，所以 1＝1x＋4y≥2×
2＝ xy
4 ，所以 xy
xy≥4.从而 x＋y≥2
xy≥2×4
＝8.故 x＋y 的最小值为 8.
请分析上面解法是否正确，并说明理由. 解 这个同学的解法是错误的.理由如下： 上述解法中连续使用两次均值不等式，但这两个不等式中的等号不能同时成立.第一
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一、素养落地 1.通过运用均值不等式求最值，培养数学运算及逻辑推理素养，通过运用均值不等式
解决实际应用问题，提升数学建模素养. 2.利用均值不等式求最值
(1)利用均值不等式求最值要把握下列三个条件： ①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相 等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
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二、素养训练
1.已知 x>－2，则 x＋x＋1 2的最小值为(
)
A.－12
B.－1
C.2
D.0
解析 ∵x>－2，∴x＋2>0，∴x＋x＋1 2＝x＋2＋x＋1 2－2≥2
(2)因为 80
102
x＋ 5x＋4 160≥80
10×2
2 x× 5x＋4 160＝1 600＋4 160＝
5 760，当且仅当 2
x＝
5 ，即 x
x＝2.5
时，等号成立，此时
a＝40，ax＝100，
所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米.
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题型三 利用均值不等式解决实际应用问题 【例3】 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方
形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园 人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). (1)若设休闲区的长和宽的比BA11CB11＝x(x>1)，求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 解析式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计？
(2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当__x_＝__y__时，和x＋y有最小值
__2__P___. 2.均值不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.
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[微判断]
拓展深化
1.对于实数a，b，若a＋b为定值，则ab有最大值.( × )
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题型二 建立目标不等式求最值 【例2】 已知a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则3a＋4b的最小值等于
________. 解析 a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9， 即有(a＋b)(a＋2b＋1)＝9，即(2a＋2b)(a＋2b＋1)＝18，
可得 3a＋4b＋1＝(2a＋2b)＋(a＋2b＋1)≥2 （2a＋2b）（a＋2b＋1）＝6 2， 当且仅当 2a＋2b＝a＋2b＋1 时，上式取得等号，即有 3a＋4b 的最小值为 6 2－1.
答案 6 2－1 规律方法 利用均值不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解 集即得求解目标的最值.
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(2)由条件得 2x＋6＝(x－1)y.由 x>0，y>0 知 x>1，所以 y＝2xx－＋16，所以 xy＝x×2xx－＋16 ＝2xx2－＋16x＝2(x－1)2＋x－101(x－1)＋8＝2(x－1)＋x－8 1＋10≥2 2（x－1）×x－8 1＋10 ＝18，当且仅当 2(x－1)＝x－8 1，即 x＝3 时取等号，此时 y＝6.故(xy)min＝18. 答案 (1)B (2)18
【训练 1】 (1)已知 x，y 是正数，且 x＋y＝1，则x＋4 2＋y＋1 1的最小值为(
)
A.1135
B.94
C.2
D.3
(2)若正实数 x，y 满足 2x＋y＋6＝xy，则 xy 的最小值是________.
解析 (1)由 x＋y＝1 得(x＋2)＋(y＋1)＝4，即14[(x＋2)＋(y＋1)]＝1，∴x＋4 2＋y＋1 1＝ x＋4 2＋y＋1 1·14[(x＋2)＋(y＋1)]＝144＋1＋4（xy＋＋21）＋xy＋ ＋21≥14(5＋4)＝94，当且仅当 x＝23，y＝13时“＝”成立，故选 B.
10＋6＝16.当且仅当yx＝9yx.又1x＋9y＝1，即 x＝4，y＝12，故当 x＝4，y＝12 时，x＋y
取得最小值 16.
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规律方法 若题中不存在满足均值不等式的条件，则需要创造条件对式子进行恒 等变形，灵活运用“1”的代换.在不等式解题过程中，常常将不等式乘“1”、除以“1” 或将不等式中的某个常数用等于“1”的式子代替.
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1.均值不等式与最大(小)值 口诀：和定积最大，积定和最小 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和 有最小值.
(1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当__x_＝__y__时，积xy有最大值 ___14_S_2__.
2
，
∴
1 ab
≥（a＋4b）2，∴a＋b＋a＋ abb≥a＋b＋a＋4 b，∴a＋b＋a＋4 b≤5，即(a＋b)2－5(a＋b)
＋4≤0，∴(a＋b－4)(a＋b－1)≤0，即 1≤a＋b≤4，当 a＝b＝12时，左边等号成立，
当 a＝b＝2 时，右边等号成立，故选 A. 答案 A
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第二课时 均值不等式的应用
课标要求
素养要求
掌握均值不等式 ab≤a＋2 b(a，b>0).结合 通过学习均值不等式及其应用，
具体实例，能用均值不等式解决简单的最 重点提升数学运算、逻辑推理、
大值或最小值问题.
数学建模素养.
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新知探究
(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设 计才能使鸡舍面积最大？ (2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎 样设计才能使所用篱笆最省呢？
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[微思考] 1.利用均值不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？
提示 利用均值不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等.
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2.已知 x，y 为正数，且1x＋4y＝1，求 x＋y 的最小值. 下面是某同学的解题过程：
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(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式 子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件. (3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中 的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的.
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角度 2 “减元代换法”求最值
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【例 1－2】 若实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<12，则3x＋y－1 3的最小值为________. 解析 ∵实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<12，∴x＝y＋3 3，∴0<y＋3 3<12，解得 y>3.则3x＋