八年级上数学第二次月考试卷

八年级上数学第二次月考试卷
一、选择题
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥
DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA 向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）
A．4s B．3s C．2s D．1s
2．下列实数中，无理数是（）
A．0 B．﹣4 C．5D．
1
7
3．下列各式从左到右变形正确的是（）
A．
0.22
0.22
a b a b
a b a b
++
=
++
B．
2
3184
3
2143
32
x y x y
x y
x y
++
=
-
-
C．
n n a
m m a
-
=
-
D．
22
1
a b
a b a b
+
=
++
4．如图,将边长为1的正方形OABC沿x轴正方向连续翻转2020次,点A依次落在点1A、2
A、
3
A、
4
A…
2020
A的位置上,则点
2020
A的坐标为（）
A．2019,0
（）B．2019,1
（）C．2020,0
（）D．2020,1
（）
5．关于三角形中边与角之间的不等关系，提出如下命题：
命题1：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大；
命题2：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大；
命题3：如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形；
命题4：直角三角形中斜边最长； 以上真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．已知点(,21)P a a -在一、三象限的角平分线上，则a 的值为（ ） A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
7．如果0a b -<，且0ab <，那么点(),a b 在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8．在下列各数中，无理数有（ ）
33
224,3,
,8,9,07
π A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．若2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围（ ）
A ．x≥2
B ．x≤2
C ．x ＞2
D ．x ＜2
10．变量x 与y 之间的关系是y ＝2x+1，当y ＝5时，自变量x 的值是（ ）
A ．13
B ．5
C ．2
D ．3.5 二、填空题
11．一次函数y ＝2x +b 的图象沿y 轴平移3个单位后得到一次函数y ＝2x +1的图象，则b 值为_____．
12．3-的绝对值是 ．
13．如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN .连接FN ，并求FN 的长__________．
14．等腰三角形中有一个角的度数为40°，则底角为_____________. 15．在ABC ∆中,
13AC BC ==, 10AB =,则ABC ∆面积为_______． 16．若等腰三角形的顶角为100︒，则这个等腰三角形的底角的度数__________．
17．若代数式
321
x
x -+有意义，则x 的取值范围是______________. 18．如图，在长方形ABCD 中，5,6AB BC ==，将长方形ABCD 沿BE 折叠，点A 落
在'A 处，若'EA 的延长线恰好过点C ，则AE 的长为__________．
19．将一次函数y ＝2x +2的图象向下平移2个单位长度，得到相应的函数表达式为____． 20．在第二象限内的点P 到x 轴的距离是1，到y 轴的距离是4，则点P 的坐标是_________.
三、解答题
21．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的3
2
倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？
22．如图，在ABC ∆中，4AB =，8BC =，AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于点E ，3CE =，连接AE . （1）求证：ABE ∆是直角三角形； （2）求ACE ∆的面积.
23．（1）求x 的值：225x = （223(2)816-24．某工厂计划生产A 、B 两种产品共50件，已知A 产品成本2000元/件，售价2300元/件；B 种产品成本3000元/件，售价3500元/件，设该厂每天生产A 种产品x 件，两种产品全部售出后共可获利y 元． （1）求出y 与x 的函数表达式；
（2）如果该厂每天最多投入成本140000元，那么该厂生产的两种产品全部售出后最多能获利多少元？
25．已知一次函数y ＝（1﹣2m ）x +m +1及坐标平面内一点P （2，0）； （1）若一次函数图象经过点P （2，0），求m 的值； （2）若一次函数的图象经过第一、二、三象限； ①求m 的取值范围；
②若点M （a ﹣1，y 1），N （a ，y 2），在该一次函数的图象上，则y 1 y 2（填“＞”、”＝”、”＜”）．
四、压轴题
26．在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，其中A(0，a)、B(b，0)满足：
a b a b
--++-=．
222110
（1）直接写出A 、B 两点的坐标；
（2）将线段AB平移到CD，点A的对应点为C(-3，m)，如图(1)所示．若SΔABC=16，求点D 的坐标；
（3）平移线段AB到CD，若点C、D也在坐标轴上，如图(2)所示，P为线段AB上一动点(不与A、B重合)，连接OP，PE平分∠OPB，交x轴于点M，且满足∠BCE=2∠ECD．
求证：∠BCD=3(∠CEP-∠OPE)．
27．（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标．
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣3x+3与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．
∆中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以28．如图，在等边ABC
∆，连结BE．
CD为一边在CD的下方作等边CDE
∠的度数；
（1）求CAM
∆≅∆；
（2）若点D在线段AM上时，求证：ADC BEC
∠是否（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断AOB
为定值？并说明理由．
29．ABC是等边三角形，作直线AP，点C关于直线AP的对称点为D，连接AD，直线BD交直线AP于点E，连接CE．
（1）如图①，求证：CE AE BE
+=；（提示：在BE上截取BF DE
=，连接AF．）（2）如图②、图③，请直接写出线段CE，AE，BE之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若26
BD AE
==，则CE=__________．
30．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点），点N在直线AC左上方且∠NCM=135°，CN=CM，如图①．
（1）求证：∠ACN=∠AMC；
（2）记△ANC得面积为5，记△ABC得面积为5．求证：1
2
S AC
S AB
=；
（3）延长线段AB到点P，使BP=BM，如图②．探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN=CP始终成立？（写出探究过程）
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：设运动时间为t秒，则CP=12-3t，BQ=t，
根据题意得到12-3t=t，
解得：t=3，
故选B．
【点睛】
本题考查一元一次方程及平行四边形的判定，难度不大．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．
【详解】
解：0，﹣4是整数，属于有理数；1 7
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．
【详解】
A．分式的分子和分母同时乘以10，应得210
102
a b
a b
+
+
，即A不正确，
B.
2
6(3)184
3
2143
6()
32
x y x y
x y
x y
⨯++
=
-
⨯-
，故选项B正确，
C ．分式的分子和分母同时减去一个数，与原分式不相等，即C 项不合题意，
D .
22
a b
a b ++不能化简，故选项D 不正确． 故选：B ． 【点睛】
此题考察分式的基本性质，分式的分子和分母需同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.不能在分子和分母中加减同一个整式，这是错误的.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据题意分别求出1A 、2A 、3A 、4A …横坐标，再总结出规律即可得出. 【详解】 解：根据规律
1A (0,1)、2A (2,1)、3A (3,0)、4A (3,0), 5A (4,1)、6A (6,1)、7A (7,0)、8A (7,0) …
每4个一个循环，可以判断2020A 在505次循环后与4A 一致，即与2019A 相等，坐标应该是(2019,0) 故选 A 【点睛】
此题主要考查了通过图形观察规律的能力，并根据规律进行简单计算的能力.
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据三角形边与角的关系逐一分析即可得解. 【详解】
假设它们所对的边相等，则根据等腰三角形的性质定理，“等边对等角”知它们所对的角也相等，这就与题设两个角不等相矛盾，因此假设不成立，故原结论成立，同时根据三角形中大边对大角，大角对大边可知命题1，2正确；因为三角形中大边对大角，大角对大边，所以当最大边所对角是锐角时，可知另外两个角也为锐角，则命题3正确；因为直角三角形中，直角所对的边时斜边，而另外两个角为锐角，所以直角所对斜边最大，所以命题4正确， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了三角形边与角的关系，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.
6．C
解析：C
【分析】
根据第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列出方程求解即可． 【详解】
∵点P （a ，2a-1）在一、三象限的角平分线上， ∴a=2a-1， 解得a=1． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，熟记第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据0a b -<，且0ab <可确定出a 、b 的正负情况，再判断出点(),a b 的横坐标与纵坐标的正负性，然后根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】
解：∵0a b -<，且0ab <， ∴a 0,0b <> ∴点(),a b 在第二象限 故选：B 【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
先将能化简的进行化简，再根据无理数的定义进行解答即可． 【详解】
，
∴这一组数中的无理数有：32个． 故选：B ． 【点睛】
本题考查的是无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
二次根式有意义，被开方数为非负数，即x-2≥0，解不等式求x的取值范围．
【详解】
∴x−2≥0，解得x≥2.
故答案选A.
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件. 10．C
解析：C
【解析】
【分析】
直接把y＝5代入y＝2x+1，解方程即可．
【详解】
解：当y＝5时，5＝2x+1，
解得：x＝2，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了函数值，关键是掌握已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程．
二、填空题
11．﹣2或4
【解析】
【分析】
由于题目没说平移方向，所以要分两种情况求解，然后根据直线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】
解：由题意得：平移后的直线解析式为y＝2x+b±3＝2x+1
解析：﹣2或4
【解析】
【分析】
由于题目没说平移方向，所以要分两种情况求解，然后根据直线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
解：由题意得：平移后的直线解析式为y ＝2x +b ±3＝2x +1． ∴b ±3＝1，解得：b ＝﹣2或4． 故答案为：﹣2或4． 【点睛】
本题考查了直线的平移，属于基本题型，熟练掌握直线的平移规律是解答的关键．
12．． 【解析】
根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点到原点的距离是，所以的绝对值是．
解析：3． 【解析】
根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点3-到原点的距离是3，所以3-的绝对值是3．
13．【解析】 【分析】
设，则，由翻折的性质可知，在Rt △ENC 中，由勾股定理列方程求解即可求出DN ，连接AN ，由翻折的性质可知FN=AN ，然后在Rt △ADN 中由勾股定理求得AN 的长即可． 【详解】 解析：89
【解析】 【分析】 设NC x =，则8DN
x ，由翻折的性质可知8EN DN x ==-，在Rt △ENC 中，由勾
股定理列方程求解即可求出DN ，连接AN ，由翻折的性质可知FN=AN ，然后在Rt △ADN 中由勾股定理求得AN 的长即可． 【详解】
解：如图所示，连接AN ，
设NC x =，则8DN x ，
由翻折的性质可知：8EN DN x ==-，
在Rt ENC 中，
有222EN EC NC =+，()22284x x -=+，
解得：3x =，
即5DN cm ．
在Rt 三角形ADN 中， 2222
8589AN AD ND ， 由翻折的性质可知89FN
AN ．
【点睛】 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，利用勾股定理的到关于x 的方程是解题的关键．
14．40°或70°
【解析】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数=（180°-
40°）÷2=70°；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．
故
解析：40°或70°
【解析】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数=（180°-40°）÷2=70°； 当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°． 故答案为：40°或70°．
点睛：此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．
15．60
【解析】
【分析】
根据题意可以判断为等腰三角形，利用勾股定理求出AB 边的高，即可得到答案.
【详解】
如图作出AB 边上的高CD
∵AC=BC=13， AB=10，
∴△ABC 是等腰三角形，
解析：60
【解析】
【分析】
根据题意可以判断ABC ∆为等腰三角形，利用勾股定理求出AB 边的高，即可得到答案.
【详解】
如图作出AB 边上的高CD
∵AC=BC=13， AB=10，
∴△ABC 是等腰三角形，
∴AD=BD=5，
根据勾股定理 CD 2=AC 2-AD 2，
22135-，
12ABC S
CD AB =⋅=112102
⨯⨯=60， 故答案为：60.
【点睛】 此题主要考查了等腰三角形的判定及勾股定理，关键是判断三角形的形状，利用勾股定理求出三角形的高.
16．40°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可．
【详解】
解：∵等腰三角形的顶角为
∴这个等腰三角形的底角为（180°－100°）=40°
故答案为：40°．
【点睛
解析：40°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可． 【详解】
解：∵等腰三角形的顶角为100︒
∴这个等腰三角形的底角为
12（180°－100°）=40° 故答案为：40°．
【点睛】
此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角和三角形的内角和定
理是解决此题的关键．
17．【解析】
【分析】
代数式有意义，则它的分母2x+1≠0，由此求得x的取值范围．【详解】
∵代数式有意义，
∴2x+1≠0，
解得x≠．
故答案为：x≠．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件．
解析：
1
2 x≠-
【解析】【分析】
代数式3
21
x
x
-
+
有意义，则它的分母2x+1≠0，由此求得x的取值范围．
【详解】
∵代数式3
21
x
x
-
+
有意义，
∴2x+1≠0，
解得x≠
1
2 -．
故答案为：x≠
1
2 -．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．
18．【解析】
【分析】
结合长方形与折叠的性质在在中根据勾股定理可得的长，设设，可知，中，由勾股定理得方程
，求出x值即可.
【详解】
解：四边形ABCD是长方形
由折叠的性质可得
在中，根据勾股
解析：6【解析】
【分析】
结合长方形与折叠的性质在在'Rt BAC 中根据勾股定理可得'AC 的长，设设AE x =，可
知',6,A E x DE x CE x ==-=+Rt CDE △中，由勾股定理得方程
222(6)5(x x -+=+，求出x 值即可.
【详解】 解：四边形ABCD 是长方形
90,5,6A D AB CD AD BC ︒∴∠=∠=====
由折叠的性质可得''',5,90A E AE A B AB EA B A ︒===∠=∠=
在'Rt BAC 中，根据勾股定理得'AC ==
设AE x =，则',6,A E x DE x CE x ==-=+
在Rt CDE △中，根据勾股定理得222DE CD CE +=
即222(6)5(x x -+=+
可得2236122511x x x -++=++
12)50x ∴=
6)6
x ∴====-=
故答案为：6【点睛】
本题考查了勾股定理，灵活利用折叠三角形的性质结合勾股定理求线段长是解题的关键. 19．y ＝2x
【解析】
【分析】
直接利用一次函数平移规律:左右平移，x 左加右减；上下平移，b 上加下减，得出答案．
【详解】
解：将函数y ＝2x+2的图象向下平移2个单位长度后，所得图象的函数关系式为y
解析：y ＝2x
【解析】
【分析】
直接利用一次函数平移规律:左右平移，x 左加右减；上下平移，b 上加下减，得出答案．
【详解】
解：将函数y ＝2x +2的图象向下平移2个单位长度后，所得图象的函数关系式为y ＝2x +2
﹣2＝2x．
故答案为：y＝2x．
【点睛】
本题考查的知识点是一次函数图象与几何变换，掌握一次函数图象平移的规律“左右平移，x左加右减；上下平移，b上加下减”是解此题的关键．
20．（-4，1）．
【解析】
【分析】
根据第二象限内点的坐标特征以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【详解】
∵第二象限的点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是4，
解析：（-4，1）．
【解析】
【分析】
根据第二象限内点的坐标特征以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【详解】
∵第二象限的点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是4，
∴点P的横坐标是-4，纵坐标是1，
∴点P的坐标为（-4，1）．
故答案为：（-4，1）．
【点睛】
此题考查点的坐标，解题关键在于熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度．
三、解答题
21．（1）乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．（2）10天.
【解析】
【分析】
（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为3 2 x
米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作120060
40
m
天，根据总费用=甲队每天所需
费用×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过145万元，即可得出关于
m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【详解】
（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为3 2 x
米，
根据题意得：360360
3
3
2
x x
-=，
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，
∴3
2
x=
3
2
×40=60，
答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米；
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作120060
40
m
-
天，
根据题意得：7m+5×120060
40
m
-
≤145，
解得：m≥10，
答：至少安排甲队工作10天．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（1）详见解析；（2）18 5
.
【解析】
【分析】
（1）根据线段垂直平分线性质得AE=CE=3，利用勾股定理逆定理可得；（2）作AH⊥BC,
由11
22
AB AE BE AH
•=•可得高AH，再求面积.
【详解】
（1）因为AC的垂直平分线交AC于点D，所以AE=CE=3
因为BC=BE+CE
所以BE=BC-CE=8-3=5
因为32+42=52
所以AB2+AE2=BE2
所以ABE
∆是直角三角形；
（2）作AH⊥BC
由（1）可知1122
AB AE BE AH •=• 所以435AH ⨯=
所以AH=125
所以ACE ∆的面积=
11121832255
EC AH •=⨯⨯= 【点睛】 考核知识点：线段垂直平分线、勾股定理逆定理.理解线段垂直平分线性质和勾股定理逆定理是关键.
23．（1）5x =±；（2）4
【解析】
【分析】
（1）直接开平方，即可得到答案；
（2）先根据二次根式的性质进行化简，然后合并同类项即可.
【详解】
解：（1）225x =，
∴5x =±；
（22244=-+=；
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，立方根，以及直接开平方法解方程，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质进行解题.
24．（1）y =﹣200x +25000；（2）该厂生产的两种产品全部售出后最多能获利23000元．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可以写出y 与x 的函数关系式；
（2）根据该厂每天最多投入成本140000元，可以列出相应的不等式，求出x 的取值范围，再根据（1）中的函数关系式，即可求得该厂生产的两种产品全部售出后最多能获利多少元．
【详解】
（1）由题意可得：
y =(2300﹣2000)x +(3500﹣3000)(50﹣x )=﹣200x +25000，
即y 与x 的函数表达式为y =﹣200x +25000；
（2）∵该厂每天最多投入成本140000元，
∴2000x +3000(50﹣x )≤140000，
解得：x ≥10．
∵y =﹣200x +25000，
∴当x =10时，y 取得最大值，此时y =23000，
答：该厂生产的两种产品全部售出后最多能获利23000元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
25．（1）m的值是1；（2）①﹣1＜m＜1
2
；②＜
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数y=（1﹣2m）x+m+1图象经过点P（2，0），可以求得m的值；（2）①一次函数y=（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围；
②根据一次函数y=（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限和一次函数的性质，可以判断y1和y2的大小关系．
【详解】
（1）∵一次函数y=（1﹣2m）x+m+1图象经过点P（2，0），
∴0=（1﹣2m）×2+m+1，
解得，m=1，
即m的值是1；
（2）①∵一次函数y=（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限，
∴
120
10
m
m
->
⎧
⎨
+>
⎩
，
解得，﹣1＜m＜1
2
；
②∵一次函数y=（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限，
∴1﹣2m＞0，
∴该函数y随x的增大而增大，
∵点M（a﹣1，y1），N（a，y2）在该一次函数的图象上，a﹣1＜a，∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点睛】
此题主要考查一次函数性质的综合应用，熟练掌握，即可解题.
四、压轴题
26．（1）A（0，3），B（4，0）；（2）D（1，－26
5
）；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据非负数的性质求解；
（2）如图1中，设直线CD交y轴于E．首先求出点E的坐标，再求出直线CD的解析式以及点C坐标，利用平移的性质得到点D坐标；
（3）如图2
中，延长AB 交CE 的延长线于M ．利用平行线的性质以及三角形的外角的性质求证；
【详解】
（1）∵222110a b a b --++-=，
∴220,2110a b a b --=+-=，
∴220
2110a b a b --=⎧⎨+-=⎩ ，
∴34a b =⎧⎨=⎩，
∴A （0，3），B （4，0）；
（2）如图1中，设直线CD 交y 轴于E ．
∵CD//AB ，
∴S △ACB =S △ABE ，
∴1
2AE×BO=16，
∴1
2×AE×4=16，
∴AE=8，
∴E （0，-5），
设直线AB 的解析式为y=kx+b ，将点A （0，3），（
4，0）代入解析式中得：
3
43
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，
∴直线AB 的解析式为y=3
34x -+，
∵AB//CD ，
∴直线CD 的解析式为y=3
4x c -+，
又∵点E （0，－5）在直线CD 上，
∴c=5，即直线CD 的解析式为y=354
x -
-， 又∵点C （-3，m ）在直线CD 上， ∴m=115
， ∴C （-3， 115
）， ∵点A （0，3）平移后的对应点为C （-3，
115）， ∴直线AB 向下平移了265
个单位，向左平移了3个单位， 又∵B （4，0）的对应点为点D ，
∴点D 的坐标为（1，－265
）； （3）如图2中，延长AB 交CE 的延长线于点M ．
∵AM ∥CD ，
∴∠DCM=∠M ，
∵∠BCE=2∠ECD ，
∴∠BCD=3∠DCM=3∠M ，
∵∠M=∠PEC-∠MPE ，∠MPE=∠OPE ，
∴∠BCD=3（∠CEP-∠OPE ）．
【点睛】
考查了非负数的性质、平行线的性质、三角形的外角的性质、一次函数的应用等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题．
27．（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）
【解析】
【分析】
（1）先判断出∠ACB=∠ADC ，再判断出∠CAD=∠BCE ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，即可得出结论；
（2）先判断出MF=NG ，OF=MG ，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，
即可得出结论；
（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论.
【详解】
证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l
∴∠ACB＝∠ADC
∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE
∴∠CAD＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC
∴△ACD≌△CBE，
∴AD＝CE，CD＝BE，
（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，
由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°
∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，
∵M（1，3）
∴MF＝1，OF＝3
∴MG＝3，NG＝1
∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，
∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，
∴点N的坐标为（4，2），
（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，
对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3
∴P（0，3），
∴OP＝3
由y＝0得x＝1，
∴Q（1，0），OQ＝1，
∵∠QPR＝45°
∴∠PSQ ＝45°＝∠QPS
∴PQ ＝SQ
∴由（1）得SH ＝OQ ，QH ＝OP
∴OH ＝OQ+QH ＝OQ+OP ＝3+1＝4，SH ＝OQ ＝1
∴S （4，1），
设直线PR 为y ＝kx+b ，则341b k b =⎧⎨+=⎩ ，解得1k 2b 3
⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线PR 为y ＝﹣
12
x+3 由y ＝0得，x ＝6
∴R （6，0）．
【点睛】
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.
28．（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；
（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．
【详解】
（1）ABC ∆是等边三角形，
60BAC ∴∠=︒．
线段AM 为BC 边上的中线，
12
CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．
（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=．
在ADC ∆和BEC ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；
（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，
理由如下：
①当点D 在线段AM 上时，如图1，
由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，
又60ABC ∠=︒，
603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，
ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线
AM ∴平分BAC ∠，即11603022
BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，
ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
30CBE CAD ∴∠=∠=︒，
同理可得：30BAM ∠=︒，
903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
③当点D 在线段MA 的延长线上时，
ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
CBE CAD ∴∠=∠，
同理可得：30CAM ∠=︒
150CBE CAD ∴∠=∠=︒
30CBO ∴∠=︒，
∵30BAM ∠=︒，
903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
综上，当动点D 在直线AM 上时，AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.
29．（1）见解析；（2）图②中，CE+BE=AE ，图③中，AE+BE=CE ；（3）1.5或4.5
【解析】
【分析】
（1）在BE 上截取BF DE =，连接AF ，只要证明△AED ≌△AFB ，进而证出△AFE 为等边三角形，得出CE+AE= BF+FE ，即可解决问题；
（2）图②中，CE+BE=AE ，延长EB 到F ，使BF=CE ，连接AF ，只要证明△ACE ≌△AFB ，进而证出△AFE 为等边三角形，得出CE+BE= BF+BE ，即可解决问题；图③中，AE+BE=CE ，在EC 上截取CF=BE ，连接AF ，只要证明△AEB ≌△AFC ，进而证出△AFE 为等边三角形，得出AE+BE =CF+EF ，即可解决问题；
（3）根据线段CE ，AE ，BE ，BD 之间的数量关系分别列式计算即可解决问题．
【详解】
（1）证明：在BE 上截取BF DE =，连接AF ，
在等边△ABC中，
AC=AB，∠BAC=60°
由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，设∠EAC=∠DAE=x．
∵AD=AC=AB，
∴∠D=∠ABD=1
2
（180°-∠BAC-2x）=60°-x，
∴∠AEB=60-x+x=60°．
∵AC=AB，AC=AD，
∴AB=AD，
∴∠ABF=∠ADE，
∵BF DE
，
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=AE，BF=DE，
∴△AFE为等边三角形，
∴EF=AE，
∵AP是CD的垂直平分线，
∴CE=DE，
∴CE=DE=BF，
∴CE+AE= BF+FE =BE；
（2）图②中，CE+BE=AE，延长EB到F，使BF=CE，连接AF
在等边△ABC中，
AC=AB，∠BAC=60°
由对称可知：AP是CD的垂直平分线，AC=AD，∠EAC=∠EAD，∴AB =AD，CE=DE，
∵AE =AE
∴△ACE≌△ADE，
∴∠ACE=∠ADE
∵AB =AD，
∴∠ABD=∠ADB
∴∠ABF=∠ADE=∠ACE
∵AB=AC，BF=CE，
∴△ACE ≌△ABF ，
∴AE=AF ，∠BAF=∠CAE
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE =60°
∴∠EAF=∠BAE+∠BAF =60°
∴△AFE 为等边三角形，
∴EF=AE ，
∴AE=BE+BF= BE+CE ，即CE+BE=AE ；
图③中，AE+BE=CE ，在EC 上截取CF=BE ，连接AF ，
在等边△ABC 中，
AC=AB ，∠BAC=60°
由对称可知：AP 是CD 的垂直平分线，AC=AD ，∠EAC=∠EAD ，
∴AB =AD ，CE=DE ，
∵AE =AE
∴△ACE ≌△ADE ，
∴∠ACE=∠ADE
∵AB =AD ，
∴∠ABD=∠ADB
∴∠ABD=∠ADE=∠ACE
∵AB=AC ，BE=CF ，
∴△ACF ≌△ABE ，
∴AE=AF ，∠BAE=∠CAF
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF =60°
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE =60°
∴△AFE 为等边三角形，
∴EF=AE ，
∴CE =EF+CF= AE + BE ，即AE+BE=CE ；
（3）在（1）的条件下，若26BD AE ==，则AE=3，
∵CE+AE=BE ，
∴BE-CE=3，
∵BD=BE+ED=BE+CE=6，
∴CE=1.5；
在（2）的条件下，若26BD AE ==，则AE=3，因为图②中，CE+BE=AE ，而BD=BE-DE=BE-CE ，所以BD 不可能等于2AE ；
图③中，若26BD AE ==，则AE=3，
∵AE+BE=CE ，
∴CE-BE=3，
∵BD=BE+ED=BE+CE=6，
∴CE=4.5．
即CE=1.5或4.5．
【点睛】
本题考查几何变换，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
30．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当AC =2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN =CP 始终成立，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由三角形的内角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM ；
（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“AAS ”可证△NEC ≌△CDM ，可得NE=CD ，由三角形面积公式可求解；
（3）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“SAS ”可证△NEA ≌△CDP ，可得AN=CP ．
【详解】
（1）∵∠BAC=45°，
∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM ．
∵∠NCM=135°，
∴∠ACN=135°﹣∠ACM ，∴∠ACN=∠AMC ；
（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，
∵∠CEN=∠CDM=90°，∠ACN=∠AMC ，CM=CN ，
∴△NEC ≌△CDM （AAS ），
∴NE=CD ，CE=DM ；
∵S 112=AC•NE ，S 212
=AB•CD ， ∴12S AC S AB
=； （3）当AC=2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN=CP 始终成立，
理由如下：过点N 作NE ⊥AC 于E ，。