直线与圆锥曲线问题探究

直线与圆锥曲线问题探究
直线与圆锥曲线这一组合考点是历年来高考考查的热点和必考考点，形式多样，加之运算量比较大，计算结果难处理，需要考虑的因素又比较多，属于难题，使得很多学生望而生畏。

那么，考生在解决这类试题时，到底需要考虑些什么呢？才能得到尽可能多的分数呢？
一、需要考虑：对直线斜率的分类讨论
1、若试题中有这样的描述：“过点M 作直线l 交曲线于A 、B 两点”，并无直线l 的方程，此种情况分：k 存在和k 不存在两类来讨论。

【例题】：过点M (－2,0)作直线l 交双曲线x 2－y 2＝1于A 、B 两点，已知OP →＝OA →＋OB →
，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
【解析】：设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入方程x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2－4k 2x －4k 2－1＝0. 当斜率k 存在且k ≠±1时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝4k 2
1－k 2，x 1x 2＝4k 2＋1k 2－1
，①
y 1＋y 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)＝k (x 1＋x 2)＋4k ＝k ·4k 21－k 2＋4k ＝4k
1－k 2
. 设P (x ，y )，由O P →＝OA →＋OB →
，
得(x ，y )＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(4k 21－k 2，4k
1－k 2
)．
∴⎩⎨⎧
x ＝4k 21－k 2
，②y ＝
4k
1－k 2
. ③
由②÷③，得x
y
＝k .④
将④代入③，得y ＝4x y
1－(x y
)
2，化简，
得x 2－y 2＋4x ＝0，即(x ＋2)2－y 2＝4.⑤
当斜率k 不存在时，易知P (－4,0)满足方程⑤，故所求轨迹方程为(x ＋2)2－y 2＝4，其轨迹为双曲线．
2、若试题中有这样的描述：“设存在斜率的直线l 与曲线相交于A 、B 两点”或“直线l ：y ＝kx +m 与曲线相交于A 、B 两点”。

此类试题分斜率k ＝0与k ≠0两类讨论。

【例题】1：椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为6
3
，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设存在斜率的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为3
2
，求△AOB 面积
的最大值．
【解析】： (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧
c a ＝63，
a ＝3，∴
b ＝1，
∴所求椭圆方程为x 23
＋y 2
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)
①当k ≠0时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .
由已知
|m |1＋k 2＝32
，得m 2
＝34(k 2＋1)．
把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0.
∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3m 2－1
3k 2＋1
.
∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2
)[(－6km 3k 2＋1)2－4×3m 2－13k 2＋1]＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1
＝3＋129k 2
＋1k
2＋6
(k ≠0)≤3＋12
2×3＋6＝4.
当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±3
3
时等号成立．
②当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2. ∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值 S ＝12×|AB |max ×32＝32.
【例题】2：已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →
＞2 (其中O 为原点)，求k 的取值范围．
【解析】： (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)．
由已知得a ＝3，c ＝2，再由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝1.
所以双曲线C 的方程为x 23
－y 2
＝1.
(2) 当k ≠0时，将y ＝kx ＋2代入x 23
－y 2
＝1中，整理得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.
由题意得⎩⎨⎧
1－3k 2
≠0，
Δ＝ 62k 2＋36 1
－3k 2 ＝36 1－k 2
>0. 故k 2≠1
3
且k 2<1.①
设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k
1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2
. 由OA →·OB →＞2，得x A x B ＋y A y B ＞2.
x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2)＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k
1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1
， 于是3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1
＞0，解得13＜k 2＜3.②由①②得13＜k 2＜1.
所以k 的取值范围为(－1,－33)∪(3
3
,1)．
当k ＝0时，A (－3,2)，B (3,2)， ∴OA →·OB →＝－7＜0，不合题意，舍去。

综上所述，k 的取值范围为(－1,－33)∪(3
3
,1)．
二、需要考虑：如何巧设直线方程有利于消元
1、若直线过点(0,t )，则设直线方程为：y =kx +t .
2、若直线过点(t ,0)，则设直线方程为：x =my +t .
3、若直线过点(m ,n )，则设直线方程为：y –n =k (x –m ).
【例题】1：已知O 为坐标原点，F (c ,0)、G (n,n )(n ∈R ) ，|FG →
|的最小值为102。

⑴求c 的值.
⑵若点F 1(－c ,0)，动点M 与点F 1、F 的距离之和为定值，且cos ∠F 1MF 的最小值为－1
9
，求点M 的
轨迹。

⑶已知D (0,3)，若点N 、T 在点M 的轨迹上，且使DN →＝μDT →
，求实数μ的取值范围。

【解析】：⑴略，答案：c ＝ 5.
⑵略，答案：M 点轨迹：x 29＋y 2
4
＝1.
⑶∵DN →＝μDT →
,∴N 、T 、D 三点共线，设该直线为l .
y
①当直线l 的斜率不存在时，μ＝1
5
或μ＝5.
②当直线l 的斜率存在时，设l ：y =kx +3，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，
由DN →＝μDT →
，∴(x 1,y 1－3)＝μ(x 2,y 2－3)，∴μ＝x 1x 2
＞0,
由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋34x 2＋9y 2
＝36，∴(4＋9k 2)x 2＋54kx ＋45＝0， ∴x 1＋x 2＝－54k 4＋9k 2，x 1x 2＝45
4＋9k 2
∴μ＋1μ＝(x 1＋x 2)2
x 1x 2－2＝265－1445(4＋9k 2)
∴μ＋1μ＜265，由对勾函数可知：μ＋1μ≥2
∴2≤μ＋1μ＜265，∴1
5＜μ＜5，
综上所述：1
5
≤μ≤5。

【例题】2：已知F 1(－1,0)、F 2(1,0)为椭圆C 的两焦点，P 为C 上任意一点,且PF 1→与PF 2→
的夹角余弦的
最小值为1
3。

⑴求椭圆C 的方程；
⑵过F 1(－1,0)的直线L 与椭圆C 交于M 、N 两点,求三角形OMN (O 为原点)的面积的最大值及相应的直线L 的方程.
【解析】：⑴略，答案：椭圆的方程为x 23＋y 2
2
＝1。

⑵设L 方程为：x ＝my －1， 由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝my －12x 2＋3y 2
＝6，∴(2m 2＋3)y 2－4my －4＝0，
∵△＝m 2＋1＞0，y 1＋y 2＝4m 2m 2＋3，y 1y 2＝－4
2m 2＋3
，
∴S △OMN ＝S △OMF 1＋S △ONF 1＝1
2| y 1－y 2|＝23(m 2＋1)(2m 2＋3)2
，
令t ＝m 2＋1≥1，m 2＝t －1，
再令3(m 2＋1)(2m 2＋3)2＝f(t )＝3t (2t ＋1)
2＝34t ＋1t
＋4
≤38. 当且仅当4t ＝1t ，即t ＝1
2
时取等号。

当t ≥1时，f (t )max ＝13，S △OMN ＝23(m 2＋1)(2m 2＋3)2≤213＝23
3. 当t ＝m 2＋1＝1时，m ＝0，∴x ＝－1,
∴S △OMN ＝23
3
，相应L 的方程x ＝－1。

三、需要考虑：直线与曲线联立方程组消元后的后续工作
直线与曲线联立方程组消元后得到一个关于x 或y 的二次方程(例如：Ax 2+Bx +C =0)，接下来该完成如下几步工作：
第一步：对二次项系数A 进行讨论
若A=0时，直线与曲线只有一个交点；
若A≠0时，直线与曲线可能有两个不同的交点或有两个重合的交点。

第二步：对“△”进行讨论
若△＞0时，直线与曲线必有两个不同的交点； 若△＝0时，直线与曲线有两个重合的交点； 若△＜0时，直线与曲线没有交点。

第三步：写出二次方程根与系数的关系 x 1+x 2；x 1x 2或y 1+y 2；y 1y 2
【例题】：已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3,0)． (1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →
＞2 (其中O 为原点)，求k 的取值范围．
【解析】：(1)略，答案：双曲线C 的方程为x 23
－y 2
＝1.
(2)将y ＝kx ＋2代入x
23
－y 2＝1中，
整理得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2
≠0△＝361－k 2＞0，故k 2≠13且k 2<1.① 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k
2.由OA →·OB →
＞2，得x A x B ＋y A y B ＞2. x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2)＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k
1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1，于是3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1
＞0，解得13<k 2<3.②
由①②得1
3
<k 2<1.
所以k 的取值范围为(－1,－33)∪(3
3
,1)．
四、需要考虑：距离、向量等坐标化、公式化
【例题】1：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
2
，直线l 1经过椭圆的上顶点A 和右顶点B ，
并且和圆x 2＋y 2＝4
5
相切．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 2：y ＝kx ＋m (|m |∈[1
2
，1])与椭圆C 相交于M 、N 两点，以线段OM 、ON 为邻边作平行四
边形OMPN ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点，求|OP |的取值范围．
【坐标化】：⑵问
设M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)，
∵OP →＝OM →＋ON →
＝(x 1＋x 2,y 1＋y 2)，∴P (－8km 4k 2＋1,2m 4k 2＋1
)．
∴|OP →
|2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2.
【例题】2：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点M (－1,－32)，离心率为3
2
.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．
【坐标化】：⑵问
设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
∵∠AOB 为锐角，∴OA →·OB →
＞0. ∴x 1x 2＋y 1y 2＞0.
【例题】3：在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2。

F 2也
是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且|MF 2|＝5
3
.
(1)求C 1的方程；
(2)平面上的点N 满足MN →＝MF 1→＋MF 2→，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若OA →·OB →
＝0，求直线l 的方程．
【坐标化】：⑵问
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝16m
9，x 1x 2＝8m 2－49
.
∵OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.
【例题】4：已知椭圆C ：x 2
＋y 24
＝1，过点M (0,3)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B .
(1)若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；
(2)设P 为椭圆上一点，且OA →＋OB →＝λOP →
(O 为坐标原点)．求当|AB |<3时，实数λ的取值范围． 【坐标化】：⑵问
(2)设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，∵OA →＋OB →＝λOP →
， 即(x 1,y 1)＋(x 2,y 2)＝λ(x 3,y 3)，
∵|AB |<3，∴1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＜ 3.
【例题】5：(达州市2013届二诊理科20)已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>经过点(2,1)A ，离心
率为
2
过点(3,0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N 。

⑴求椭圆C 的方程；
⑵求BM →·BN →的取值范围；
⑶证明：k AM ＋k AN 为定值－2。

【坐标化】：⑵⑶问
⑵设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则 ∴BM →·BN →＝(x 1－3)( x 2－3)＋y 1y 2＝x 1x 2－3(x 1＋x 2) ＋y 1y 2＋9.
⑶由⑵得k AM ＋k AN ＝y 1－1x 1－2＋y 2－1
x 2－2
.
【例题】6：(德阳市2013届二诊理科20)如图,在平面直角坐标系xoy 中,已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b
＞0)，经过点(1,e )，其中e 为椭圆的离心率，F 1、F 2是椭圆的两焦点，M 为椭圆短轴的端点且△MF 1F 2是等腰直角三角形.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设不经过原点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,第一象限内的点P (1,m )在椭圆上,直线OP 平分线段AB ，求当△P AB 的面积取得最大值时直线l 的方程.
【坐标化】：⑵问
(2)设直线l 的方程y ＝kx ＋t (t ≠0)，交椭圆C 于A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， ∵|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.
【例题】7：(广安市2013届二诊理科20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2
，以原点为
圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线：x －y ＋2＝0相切。

⑴求椭圆C 的方程；
⑵若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A , B ，以OA , OB 为邻边作一个平行四边形OAQB ，记直
线OQ 与椭圆交于P 点，且满足|OQ |
|OP |
＝λ (O 为坐标原点)，求实数λ的取值范围.
【坐标化】：⑵问
⑵由题意知，设直线方程为：y ＝k (x －2),又设P (x 0,y 0)，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， ∵OA →＋OB →＝OQ →
，|OQ |＝λ|OP |，知O 、P 、Q 三点共线，
∴Q(x 1＋x 2, y 1＋y 2)，∴OQ →
＝(8k 21＋2k 2,－4k 1＋2k 2
)
∴设OQ →＝tOP →
，显然λ＝|t |＞0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧8k 2
t (1＋2k 2)＝x
－4k
t (1＋2k 2)＝y
代入x 20
2＋y 20＝1，
∴t 2
＝32k 4＋16k 2(1＋2k 2)
2＝162＋1k
2
＜4(∵0＜k 2＜12) ∴－2＜t ＜2，,0＜λ＜2，∴λ取值范围为(0,2).
【例题】8：已知双曲线C ：x 2a 2---y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，过F 且斜率为3的直线，交C 于A 、B
两点，若AF →＝4FB →
，则C 的离心率
A.65
B. 75
C. 85
D. 9
5 【答案】：A
【解析】：(公式化)(1－41＋4)2＝e 21＋(3)
2，∴e ＝6
5. 【提示】：已知曲线的离心率为e ，过其焦点的直线斜率为k ，与曲线交于A 、B 两点，且有AF →＝λFB →
，
则有公式：(1－λ1＋λ)2＝e 2
1＋k 2
.
【例题】9：已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，任意直线l 与其交于A 、B 两点，AB 中点为M ，则k l k OM
＝
【答案】：－b 2
a
2
【解析】：(公式化)设M (x 0,y 0)，则中点弦AB 方程：xx 0a 2＋yy 0b 2＝x 20a 2＋y 20
b 2，∴k AB ＝－x 0b 2y 0a
2，
而k OM ＝y 0x 0，∴k AB k OM ＝－b
2
a
2.
【提示】：若曲线为双曲线，则有结论k AB k OM ＝b 2
a
2.
五、需要注意：处理最值时会出现的高次分式
处理策略：分离参数，换元，利用基本不等式、二次函数求范围。

【例题】1：y ＝k 2＋4k ＋6
k ＋1
(k ＞0)，求y min .
【解析】：令t ＝k ＋1＞0，则k ＝t －1，
则y ＝t ＋3
t
＋2≥2＋23,
当且仅当t ＝3时，等号成立。

【提示】可以采取除法
223
146
3633
3
k k k k k k
k k +++++++
∴y ＝k ＋3k ＋1＋3＝(k ＋1)＋3
k ＋1
＋2.
【例题】2：y ＝k ＋1
k 2＋2k ＋3
(k ＞－1)，求y max .
【解析】：令t ＝x ＋1＞0，则x ＝t －1，
∴y ＝t t 2＋2
＝1t ＋2t
＜122＝2
4.
当且仅当t ＝2时，等号成立。

(也可以用除法来处理)
【例题】3：y ＝k 2＋3k ＋4
k 2＋2k ＋4
，求y max .
【解析】：用除法y ＝1＋k k 2＋2k ＋4＝1＋1k ＋4k
＋2≤1＋12×2＋2＝7
6，
当且仅当k ＝2时，等号成立。

【例题】4：d ＝k 2＋8
2k 2＋4
，求y min ..
【解析】：令t ＝k 2＋4＞0，∴k 2＝t 2－4，
∴d ＝t 2＋2t
≥2.
也可以将k 2＋8还原到根号内，再用除法处理。

d ＝12k 4＋16k 2＋64k 2
＋2＝12k 2＋12＋16k 2＋4≥12k 2＋4＋16
k 2＋4
＋8≥2， 当且仅当k 2＋4＝16
k 2＋4
，∴k ＝0时，等号成立。

【例题】5：求S ＝90(1＋k 2)
(9k 2＋5)( 5k 2＋9)的范围。

【解析】：S ＝90(1＋k 2)(9k 2＋5)( 5k 2＋9)
＝90[9 (k 2＋1)－4][5(k 2＋1)＋4](1＋k 2)2
＝90
45＋16 k 2＋1－16(k 2
＋1)2
令t ＝1
k 2＋1
∈(0,1]，(此处最重要,特别是右端点的确定)
∴y ＝45＋16 k 2＋1－16(k 2＋1)
2＝45＋16t －16t 2
＝－16(t －12)2＋45 ∴45≤y ≤49，∴90
7≤S ≤65。

【例题】6：已知|F 1A →＋F 1B →|2＝(x 1＋x 2＋2)2＋(y 1＋y 2)2＝4＋20 m 2＋2＋8(m 2＋2)2
(m 2≤27)，求|F 1A →＋F 1B →|的
范围。

【解析】：∵m 2≤27，令t ＝1m 2＋2
，则t ∈[167,1
2)，(此处最重要，特别是右端点的确定)
∴y 2＝4＋20t ＋8t 2＝8(t ＋54)2－17
2
∴91464≤y 2≤16，∴9148
≤y ≤4.。