对差错的思考

对差错的思考－－华应龙复习课实录
思考怎么做，孩子终身受益。

思考：练习，练习是不是就是做题。

我们做题的价值是什么？我们的做题能不能发展智慧？对孩子来说，做题时枯燥的。

枯燥的练习能不能发生兴趣？智慧一定好在主动的学习中才能发生。

华老师的课让我们思考练习课是不是可以有一些思考？
公开教学选择上复习课？这是我绝对不会做的，更确切地说——是不敢做！原因很简单：
第一，复习巩固旧知识，学生觉得无味；第二，以练习为主，讲练结合，形式单一，缺
乏新意；第三，复习课主要针对学生存在的典型错例有的放矢地进行辅导，后面那么多
老师听课，一旦学生暴露的都是问题，不知该如何有效地调控课堂。

不久前的一节公开教学观摩课彻底打破了我的这种固执、可笑的想法，这是特级教
师华应龙执教的一堂六年级数学复习课。

这堂课既没有生动鲜亮的多媒体课件，也没有丰富多样的练习形式，全课的展开就
围绕着一张综合测试题：
1.请认真地把试卷读完，然后在试卷左上角写上自己的姓名。

2.脱式计算：1.25×32×0.25。

3.解方程：6.8+3.2x=26。

4.甲乙两地相距300千米，一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行60千米，4小
时后离甲地多少千米？
5.带着小狗的小明和小兵同时分别从相距1200米的两地相向而行。

小明每分钟行5
5米，小兵每分钟行65米，小狗每分钟跑240米，小明的小狗遇到小兵后立即返回向小
明这边跑，遇到小明后再向小兵那边跑。

当小明和小兵相遇时，小狗一共跑了多少米？
6.如果你已经认真读完了7道题目，就只要完成第1题。

这样的测试有意思吗？那
就笑在心里，等待5分钟的到来，好吗？
7.小红的房间长4米，宽3.2米，她爸爸准备把南墙刷上彩漆，这面墙上窗户的面
积是2.8平方米。

算一算，小红爸爸至少需要买多少千克彩漆？（每平方米大约用彩漆
0.4千克）
“你在耍我们！”
【精彩回放】上课伊始，老师宣布进行一次5分钟比赛。

随着一声口令，全班伏案
疾书，5分钟很快就过去了。

“完成这张试卷的同学请举手！”老师满脸期待。

学生一脸
沮丧，面面相觑。

“一个都没完成？”看得出，老师心有不甘。

沉默片刻，一个愤愤不
平的声音传来：“老师，你在耍我们！”此言一出，满堂哗然！老师一脸迷惑：“我怎么
耍你们了？”“你看，第6题……”随着他的提醒，大家将目光聚焦于试卷的一处——
“6.如果你已经认真读完了7道题目，就只要完成第1题……”
学生们恍然大悟，忍不住七嘴八舌地议论开了。

老师连忙追问道：“真是我耍了你们？”这一追问引发了学生的自我反省：
“不是，因为第1题已经说得很清楚了，而我连名字都没写！”
“我把名字习惯性地写在了右上角了！”
“如果我们按要求认真地把试卷读完的话，我们当然能看清第6题的要求。

”
【且听且思】我们总习惯于在学生做练习时反复提醒：先审题，再下笔。

然而，年复一年、日复一日地提醒得到的依然是学生的我行我素，拿题即做，结果仍然是屡说屡错，屡错屡说。

于是我们便常常心生抱怨：怎么老师的话到了学生那里就成了耳边风？这份试卷的特殊价值就在于不经意间让学生真真切切地自我反思，实实在在地体会到认读提示语是多么重要。

这种体验远比老师在学生做题前反复叮咛要有效、要深刻，它绝非只是学生停留在表面、承诺在口头的应答。

“我们又上当了！”
【精彩回放】“既然大家觉得这张试卷很有意思，那么我们就来研究一下，请把其中的第4题、第5题和第7题做完，时间为6分钟。

”……开始交流了，一位矮个男孩首当其冲：“第4题的算式是300-60×4”，其余学生纷纷颔首点头。

老师并未急于表态，而是将目光投向另一位眉头紧锁的女孩，他注意到刚才这位女孩曾迟疑地举了一下手。

“我觉得应该是60×4”，她吞吞吐吐地回答道。

“奇怪！一般来说，我们在解决问题时会有不同的方法，现在怎么会有两个不同的答案呢？”老师一脸惊讶：“这到底是怎么回事？”
渐渐地，举手的人多了：“我们又上当了，问题是‘离甲地多少米？’”
“300-60×4求的是‘离乙地多少米？’”
“求‘离甲地多少米？’实际上是求‘已经行了多少米？’”
“这好比要我们去某个地方，地址都没听清就撒腿便跑，结果南辕北辙。

”老师适时点评：“错得好，说得更好！只要我们有收获、有长进，那么刚才的错误就有了价值！”
在交流第5题的感想时，很多学生觉得：“题目太长，理解题意比较费劲。

”“是啊，题目的确很长！”老师启发大家：“你们觉得这道题绕来绕去关键在哪？”“小狗在不停地、来回地跑。

”学生的回答一针见血。

“既然如此，那该怎么解答呢？”老师顺水推舟。

“应该用55+65=120（米），1200÷120=10（分），10×240=2400（米），理由是……”听了他的分析，老师点头赞同，随后又问：“还有不同意见吗？”“有！应该再用2400×2=4800（米）”一位瘦瘦的男孩坚定地说。

见大家不明所以，他继续补充道：“题目上
说‘带着小狗的小明和小兵’，问题是‘小狗一共跑了多少米？’可以理解为求一只小狗跑的路程，也可以理解为求两只小狗跑的路程。

”这样的解释出人意料又合乎情理，而且很显然，老师并未预设到这种“生成”，他激动地询问了这位学生的名字，然后大声承认：“我原以为刘梁丰同学错了，所以才让他交流，事实上他是完全正确的，让我们把热烈的掌声送给他！”
【且听且思】也许应该感谢那位眉头紧锁的女孩，是她的迟疑使得课堂在那一刻峰回路转；也许还应感谢那位瘦瘦的男孩，是他的坚定使得课堂在那一刻精彩纷呈……学生们的思考让教学有了生成的空间。

但再深入仔细地想想，仅仅有了生成就足够了吗？如果华应龙老师缺少智慧独到的眼光，缺乏“让差错显露出可贵”的思想，那么即便是面对再多的生成也会熟视无睹！试想，若不是华老师的关注细节———发现了女孩的迟疑；若不是习惯于“倾听不同的声音”——给了男孩表达的机会，也许上述这些有价值的生成都将被悄无声息地淹没在我们的声音中，一种以“权威者”的身份妄加评判的声音。

“这题没有答案！”
【精彩回放】第7题的交流非常热烈。

第一位学生说：“用4×3.2=12.8(平方米),12. 8+2.8=15.6(平方米),15.6×0.4=6.24(千克)。

”“错了，错了！”话音刚落，教室里便传来此起彼伏的否定声。

老师连忙摆手：“别说‘错了’，说不定有对的道理呢？应该说‘还有不同的想法吗’？”另一位学生回答道：“粉刷墙壁时要把窗户的面积去掉，所以应该用12.8-2.8=10(平方米),10×0.4=4(千克)。

”他的分析有条有理，得到了大多数同学的认同。

正当大家的观点趋于一致时，又有一位学生举手：“我认为这两个答案都不对。

因为要求南墙的粉刷面积必须知道长和高，而题目中并没有告诉我们高是多少，所以这道题目没有答案！”没有答案？大家满脸震惊，而后再次恍然。

老师也深有感触地说：“我很佩服这位同学，一是佩服他发现了这个大家容易忽视的环节，二是佩服他能在大家的声音特别高、特别一致时，有勇气站起来表明自己与众不同的观点。

这让我想起了一个故事：一条船在茫茫大海上航行，船上装了75头牛、45头羊，问这条船上的船长年龄多大？”学生哄堂大笑。

【且听且思】“这题没有答案！”初闻此言，满心震惊！平心而论，在平时的练习中，我们已习惯于出有答案的题目，学生也已习惯于解有答案的题目。

正是因为习惯于这种定式，所以当学生绕了一大圈发现题目本无答案时，才会在震惊中领会出题者的深意。

一颗数学思维的种子，不管我们是有心还是无意，只要播进了学生的心田，它就会以别人难以感知的方式存活、生长起来，而且，它的果实会成倍地膨胀。

透过习以为常的现象，我们是否该再次认真思考——何为“数学思想”？何为“有用的数学”？我想华老师的这堂课已作了绝妙的诠释。

让我们为这简约而精彩的复习课叫好！
发现孩子“不同”的声音，保护他们的“独特”思维；奖励“出错”的孩子，让他成为课堂的“明星”
他曾经是南方一所农村小学的体育老师，数学只是他的“副业”；他曾经坦言，做了两三年老师，课堂语言仍是他的软肋，上课说话时还会“打结”；他也曾因为在赛课中遭遇不公正，没有得到预期的名次而深受打击，郁闷地在乡间小路上唱着“山上有棵小树山下有棵大树，我不知道我不知道我不知道，哪个更大哪个更高”；他也曾写了很多稿子投到报社，却泥牛入海……所以，他曾经戏谑地称自己之所以在数学老师中“与众不同”，是因为读师范时班上成绩好的同学都去教语文了。

然而，成长路上的种种困难与挫折，并没有动摇华应龙“当一个好老师”的信念。

他怀抱着对数学课堂的理想，对孩子的热爱，继续数学教学的实践研究，在不断反思中完善着自己的课堂教学，并不断前进。

就如海明威所说：“人最难超越的是自己，当我们超越了自己，人生就进入了新的境界。

”如今，华应龙已从一名乡镇教师成长为全国知名的小学数学特级教师，北京第二实验小学副校长，更荣获了首批“首都基础教育名家”称号，成为北京第二实验小学校长李烈口中引以为豪的“北调的南‘龙’”。

与此同时，他的教学视野、教学方法、教学思想也在成长的蜕变中完成了“质”的飞跃。

传承的应该是整个数学文化，而不是数学知识本身
“带着你所了解的数学世界走进学生，这样你才会感到数学教学的生动与多样，学生的数学学习、数学思考也才可能丰富多彩。

作为数学教师，你必须借助数学这个通道，引导学生去感悟世界的奥秘，而不仅仅是数学知识本身。

数学的好玩，学数学的有趣，也就在这里。

”
在华应龙的课堂上，记者真切地体会到，他教授给孩子们的，已不再是单纯的数学知识，而是整个数学文化。

借助数学，他不仅引领着孩子们去探索真实的数学生活，更“不失时机”地帮助孩子们领悟人生的真谛。

比如讲“计算器”时，很多孩子早就会使用计算器了，教师还能讲什么呢？华应龙给孩子们提出的问题是：“我会用计算器吗？”在这节课中，他不仅带领孩子们认识了计算器上一些原来不熟悉的键，还介绍了计算工具的发展史。

在利用计算器演算的时候，华应龙给孩子们出了一道“22222222×55555555=？”的
题，让学生尝试独立完成。

由于计算器位数不同等原因，孩子们的答案五花八门。

这时，华应龙请学生打开装有“祖传秘方”的信封：“我相信你算完这三题后就会明白的：1个2乘1个5，2个2乘2个5，3个2乘3个5。

”学生在探索中得出答案后，也总结出“化难为易”的解题思路，这才是华应龙这堂课真正的教学目的。

这个时候，他引用我国古代哲学家老子的话给出总结：“天下难事，必作于易，天下大事，必作于细。

”让孩子们自然地感受到了人生的哲理。

在采访的时候，华应龙告诉记者：“孩子在那样的环境下是很兴奋的，玩过之后有笑声，笑声之后有思考。

这样的课才更有意义。

”
孩子的学习“像呼吸一样自由”
华应龙总是在不断地反思，不断地创新。

在他的课堂上，常常能看到“与众不同”的教学设计。

“教学设计的宗旨就是要解决问题，解决教师教学中存在的问题，解决学生学习中的需要解决的问题。

”华应龙说，“我1984年参加工作，1990年就开始应邀到外地去讲课了。

前10年，我的课堂设计理念就是要与别人不一样，你这样讲，我就不这样讲。

后十年我思考的是这节课的传统设计存在什么问题，我如何解决这个问题。

”
华应龙的这一理念在“角的度量”这节课上得到了充分体现。

按照传统的教学模式，一节课下来，常常有不少学生还是不会量角，有的连量角器都不知道怎么摆放。

而对于教师自觉颇为言简意赅的“二合一看”等要诀，学生仍然不得要领。

因此他在执教此课的时候，首先思考的就是：“这种概括为什么教学效果不好，原来的课堂存在什么问题？”经过思考，华应龙发现了问题所在：首先，教师让学生量了各种各样的角，但是这都是抽象的角，干巴巴的两条线所围成的图，没有让学生体验到量角在生活中很有用；此外，孩子们是以形象思维为主，老师抽象概括出的要诀反而增加了他们的学习难度。

有了这样的认识，华应龙很快就找到了对策——在量角器上画角，先画90度的角，这是量角器上有的，再画60度，再画1度，再画157度。

于是孩子们有了更多新的发现，“我能看到180
个1度的角”……于是，量角的问题迎刃而解，量角的正确方法水到渠成。

华应龙说，孩子是天生的学习者，我们教师要做的就是抓住教学的重点，攻克教学中的难点，解决各种各样的问题，让孩子的学习“像呼吸一样自由”。

“容”错——尊重孩子的“不同”
担任了北京第二实验小学副校长的华应龙，上课已不是很多了，但是每学期他都会在自己的学校上几堂课。

华应龙说：“每一次上课，我都怀着期待的心情想，今天孩子又会给我什么样的故事？”
因此，在华应龙的课堂上，他关注的不再仅仅是知识的传承，更多的是对儿童“独特之处”的发现。

在华应龙看来：应该像农民种地那样教书。

要像农民那样不误农时，要像农民那样因地因物制宜，要像农民那样耐心等待，不做揠苗助长、贻笑大方的事，要像种树那样“能顺木之天以致其性”，要像农民那样不责怪庄稼，而是反思自己……
于是，华应龙提出了“融错教育”的教育理念。

“融错教育”首先是“容”错，包容孩子错误。

有容乃大，因为包容，课堂才会活起来，才能洋溢着生命力。

错误是一种反证，对教师也是一种提醒和帮助。

因此，对孩子“不同”的声音，他总是特别好奇。

每当课堂上只有一种回答的时候，华应龙就会不停地去问，“还有没有不同的？”他说：“有时候我是有预设的，这个问题，还有着怎样的答案。

更多的时候我只是给孩子一个空间，你会发现有时候孩子的想法很独特。

”
在执教“分数初步认识”这节课，华应龙以3/4导入，让孩子用手头的纸片来表达3/4这个概念。

在巡视的时候，华应龙发现，有一个孩子在纸上画了五条竖线，然后从左向右，用大括号括起来四条。

“这不是表示五分之四吗？我一看，就兴奋了。

我好奇的目光和神态就表现出来，立刻让他说说他是怎么想的。

”
“尊重孩子的‘不同’，并且一定要去追问这个‘不同’背后的解释。

”这是华应龙经常对老师们讲的。

“子非鱼，安知鱼之乐。

学生的作品，学生的回答，一定要让学生自己去解说，我们看到的不一定是对的。

孩子既然表达出这个作品，肯定会有想法”。

“果然，我追问那个孩子原因的时候，其他孩子也来了兴趣。

孩子的解读是这样的，他用手指着第一根线和第二根线之间空白的部分，告诉我说这代表一份。

”华应龙对记者说，“如果我当时武断地去批评他，告诉他做错了，那么我们就扼杀了他这种独特的表达。

”
所以，华应龙说：“作为教师，我们一定要树立一种观念，学生不是我们的
对手，而是帮助我们缔造课堂生活的另一只手。

在课堂上，正确的可能只是模仿，但是错误的一定是创新。

当出现不一样的东西时，孩子一定是动脑筋了，不管是正确的还是错误的，都是课堂上的生命体，都是应该尊重的。

”
“融”错——差错是一种资源
华应龙告诉记者：“差错本来就是一种资源，这是我研究的课题。

早在1993年我就开始关注学生差错的问题。

我发现真正有效的教学，就是面对学生的错误，帮助孩子解决它，让他下次不再错了。

这些年来，我的教学成绩都很好，就是因为我在教学中有效地帮助学生纠正了错误，并且是从根上解决问题。

”
对于数学来说，正确答案也许是唯一的，但是错误的回答却有它不同的故事。

华应龙给记者举了一个例子：比如计算上的错误，老师往往认为学生粗心，其实计算问题往往是一种综合的表现。

比方说24乘3，学生常会得出92的结果。

经过调查他发现，这有三种可能性。

一种可能是三四十二，写二进一，二进了一等于三，三乘三，变92了；还有一种可能是三四十二，写二进一，二四得八，进了一，得九；还可能是写成了23乘4。

所以同一道题，错误的结果是一样的，但是原因却可能不一样。

“明白的学生明白的道理是一样的，不明白的学生就各有各的困惑”。

感悟出这样一个道理之后，华应龙在和年轻老师交流的时候，常常会告诉他们：“要更多地去琢磨学生错误的原因究竟是什么？只有找到了这个原因，你才能去帮助他，而不是枯燥地、简单、机械地去强调规则，那是根本没用的。

只有当他找到错误的原因自己醒悟了，才能真正地解决问题。

否则，学生今天错了，明天还会错。

“
因此，“融错教育”的第二层含义是“融”错，把错误融化。

“荣”错——犯错也是一种贡献
“很荣幸，我错过，错是一种贡献。

”这是“融错教育”的第三层含义。

华应龙说：“很多老师认为学生不该‘错’，而我认为学生可以‘错’，学校、课堂就应该是学生犯错的地方。

”何况爱因斯坦也说过：“失败就是发现一条走不通的道路，这对科学就是很大贡献。

”
因此，在北京第二实验小学，我们会听到学生这样说：“老师，刚才我是这么错的。

”在这里，孩子们不再把犯错误当作一件见不得人的事，而是充分认识
到错误是有价值的，所以才会说出来和大家一起分享。

华应龙说：“在这样一种融错的教育中，积淀下来的就是孩子创新的人格。

在学习的过程，他不但掌握了知识，而且还养成了敢于尝试的良好习惯，错了、失败了，他会去分析，然后再不断地探索。

这种教育能帮助孩子磨炼出百折不挠的意志品质。

”
和学生分享精神大餐
在华应龙的课堂上，传递给孩子们的不仅有他对数学的理解，还有他对数学的热情和深深的热爱。

“我们的课堂，我们的学生都是活的。

你想有一个永远可以使用的技巧，这种追求就是错的。

只有‘道’才是永恒的，这个‘道’就是李烈校长说的‘以爱育爱’。

从学科教学的角度来说，就是以你对学科的爱，对课堂的爱，来育学生对这个学科、对这个课堂的爱。

”华应龙身体力行地告诫身边的同行——只有你爱自己的课堂，孩子才会爱上你的课。

在华应龙看来，上课是老师带着自己精心准备的礼物来跟学生分享。

学生是天生的学习者，一堂课应该是一顿精神大餐，在这个过程中，师生教学相长，师生共进。

华应龙说，学生不是我们教出来的，我们只是用自己的思维方式，对学科的兴趣、热爱去影响学生，把学生沉睡的潜能唤醒，并激励他们思考。

“老师的作用就是影响、唤醒、激励！”华应龙如是说。

华应龙老师的数学课，有独特的色彩和光亮，有丰富而深层的内涵。

在本文集中，华应龙老师不断反思自己的教学，不断创新教学方法，在学习、碰撞中把自己的课堂不断带入新的境界，他让学生体会数学的好玩和有趣。

“我就是数学”，能够说出这样的话的人需要多大的勇气和多足的底气呢！
华应龙老师的课为什么总有点与众不同？他的课为什么学生听了不愿下课？一个数学老师的文章为什么如此生动、亲切、富有诗意？这本随笔帮助我寻找到了答案。

华应龙老师出身农民家庭，从12岁起干了许多农活，他对农民有着天然的情结。

他说，教育像农业那样需要信任、宽容、耐心、期待和守望。

教育是农业，不是工业，更不是商业。

能像农民种地那样教书，真好！是的，做老师就当有强烈的时不我待的意识，像农民通过看天、摸土，确定播种时机那样寻找课堂上大胆地退与适宜地进的时机。

农民种的庄稼长得不好，从来不责怪庄稼，而是反思自己。

是的，华老师一直用农民种地的精神鞭策自己，用积极的偷懒敞亮教学生活。

他让我们在熟悉的课堂里看到了另类的风景。

华老师对数学课的设计与指导，对学生思维层次的开发，对探究体验数学本质的发掘，对数学学习过程和方法的把握，以及在熟悉教学中巧妙渗透的情感、态度、价值观的做法，带给我许许多多的思考。

“脑袋磕破后的笑声”，一个数学老师遇到脑袋磕破后，如何化尴尬的事件为有趣的教学资源。

而“思维决定视野”一文，作者向我们诠释了《角的度量》新课导入的来龙去脉，为了寻找一个合适的教学情境，作者竟几次三番修改，忍痛割爱舍弃，冥思苦想求证，不凡的经历，让我们了解到一个特级教师对课堂教学的孜孜以求，这正印证了爱因斯坦的那句话：“你能不能观察到眼前的现象，不仅仅取决于你的肉眼，还要取决于你用什么样的思维，思维决定你到底能观察到什么。

”
还有，作者在执教《平行四边形面积的计算》一课时，学生会发出“华老师，你误导”的课堂感言，如果没有民主和谐的师生关系，学生怎敢如此“放肆”？……透过这些课例，不难发现，好课就是一道芬芳、幽远的茶。

每一节成功的数学课，作者花费了多少精力，浸润了多少心血！
课堂上，面对学生回答提问、习题演算、解决问题的出错，很多教师总是责问学生，甚至批评学生，作者却说要“善待差错”“感谢差错”。

他告诉我们不能忽视学生出现的问题，课堂就是学生出错的地方，要冷静地分析、恰当地评价、灵活地纠正。

华老师对于差错资源的有效利用，不仅保护了孩子的学习积极性，还把“阳光心态”传染给了我们，相信“课堂因融错而精彩！”会得到更多人的理解和认同。

即便“擦黑板”这样的小事，作者也有另类的解读——可以帮助教师快速“温课”，显示了对学生的尊重，同时显现出教师的一种精神，一种气势，它理应成为课堂教学的一部分。

可惜，很多教师平时没有修炼这样的人生课。

课堂上仅仅传授了知识，忽视了教学生如何做人……学习这些案例，我感觉也在自行修炼。

在我的教学中，一直向往的就是这样的教学，即便达不到华老师的高度，但我想，我们应该有华老师的追求精神，并努力在教学实践中不断磨练自己。

我认为教师的幸福不只是耀眼的光环，更重要的是我所教的学生能对数学有所自信、有所乐趣、有所思想。

因此，我在教学中，我努力做到怀揣童真、富有童趣。

“你是带着你所了解的数学世界，而不只是一种数学教材，走近学生的。

只有这样你才会感到数学教学的生动与多样，学生的数学学习、数学思考也才能丰富多样。

”华应龙老师如是说，“我就是数学”这句话所带给我们的不仅仅是华应龙老师的教材观、教学观，更重要的是教师应有的数学教育观。

作为教师，不仅仅是教学生数学，更重要的是启迪和影响。

你今天教的数学知识，或许明天就可能忘记殆尽，但你给予的思想和情感是很难忘记的，甚至终身难忘的。