变量与函数 课件

（4）用10 cm长的绳子围成一个矩形，当矩形的一 边长 x分别取 3 m，3.5 m，4 m，4.5 m 时，它的邻 边长 y分别是多少？y 的值随 x 的值的变化而变化吗？ x= 3 m时 y= 2 m； x= 3.5 m时 y= 1.5 m； x= 4 m时 y= 1 m； x= 4.5 m时 y= 0.5 m.
（3）你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大. 在 这一过程中，当圆的半径 r 分别为10 cm，20 cm， 30 cm时，圆的面积 S 分别为多少？ S的值随 r 的值 变化而变化吗？
r= 10 m，S= 100π cm²； r= 20 m，S= 400π cm²； r= 30 m，S= 900π cm²； 变化的量是 r，S ，不变的量是 π .
（3）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占 有耕地面积y（单位：m2）随这个村人数n的变化 而变化. y=106÷n （4）水池中有水10 L，此后每小时漏水0.05 L ， 水池中的水量V（单位： L ）随时间t（单位：h） 的变化而变化. V=10－0.05t
练习 2.梯形的上底长2 cm，高3 cm，下底长x cm大 于上底长但不超过5 cm.写出梯形面积S关于x的函数 解析式及自变量x的取值范围.
人口数y/亿 10.34 11.06 11.76 12.52 13.71
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，并且对于x的每一个确定的值， y都有唯一确定的 值与其对应，那么我们就说x是自变量， y是x的函数.
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时 的函数值.
说明刚才两个问题中的自变量与函数.
变量与函数
当我们用数学来分析现实世界的各种现象时，会 遇到各种各样的量，如：
物体运动中的速度、时间和路程； 圆的半径、周长和圆周率； 购买商品的数量、单价和总价； 城市一天中各时刻变化着的气温； 某段河道一天中时刻变化着的水位……
在某一个过程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，有些量固定不变，有些量 不断改变.
（1）一列“复兴号”高铁以350 km/h的速度匀速行
知识拓展
函数一语，起用于公元1692 年，最早 见自德国数学家莱布尼兹的著作. 他是德 国最重要的自然科学家、数学家、物理学 家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和 牛顿同为微积分的创建人他博览群书，涉猎百科，对丰 富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。
例1 2018年，全球电动汽车销售为201万辆，其中在 中国就销售了125万辆.电动汽车因其经济、环保等特 点而日益受到大家青睐.某款电动汽车其锂电池电量 是75 kWh（即75度电），如果不充电，那么剩下的 电量y（单位：kWh）随行驶路程x（单位：km）的 增加而减少，耗电量为0.15 kWh/km.
驶，行驶里程为 s km，行驶时间为t h．
（i）请根据题意填写下表：
t/h 1
2
3
4
5
s/km 350 700 1050 1400 1750
（1）一列“复兴号”高铁以350 km/h的速度匀速行驶， 行驶里程为 s km，行驶时间为t h． （ii）在以上这个过程中，变化的量是 s,t ，不变化 的量是 速度 ； （iii）试用含t的式子表示s = 350t .
（2）2019年10月1日，新中国成立70周年献礼片《我 和我的祖国》开始上映，电影票的售价为30元/张． 第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售 出310张票，三场电影的票房收入各多少元？如果设 一场电影售出x张票，票房收入为y元，在这一问题中， 哪些量发生改变？
（i）当 x= 150时， y= 4 500 ； （ii）当 x= 205 时， y= 6 150 ； （iii）当 x=310 时， y=9 300 .
（1）写出表示y与x的函数关系的式子； （2）指出自变量x的取值范围；
（3）该电动汽车行驶200 km时，还剩下多少电量？ 解：（1）y=75－0.15x
（2）0.15x ≤75，即0≤x≤500 （3）y=75－0.15×200=45
思考：题目中的0.15x表示什么意思？第（2）题自 变量x的取值范围0-500中的500又代表什么意思. 注意:确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数 关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义.
t/min 0 1 2 3 4 5 … h/m 3 10 37 4537 11 …
(2)对于给定的时间t ，相应 的高度h能确定吗？
情景二 下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可
以分别记作两个变量x和y.对于表中每一个确定的年 份x，都对应着一个确定的人口数y吗？
年份 x 1984 1989 1994 1999 2010
像y=75－0.15x这样，用关于自变量的数学式
子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的 常用方法.这种式子叫做函数的解析式（analytic expression）.
练习 1.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变 量的函数？试写出函数的解析式. （1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改 变. S=x2 （2）每分向一水池注水0.1 m3，注水量y（单位： m3 ）随注水时间x（单位：min）的变化而变化. y=0.1x
上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以
怎样分类？
数值不断 变化的量
变量
数值固定 不变的量
常量
在问题（1）中，观察填出的表格，可以发现：t 和s是两个变量，每当t取定一个值时，s就有唯一 确定的值与其对应.例如t=1，则s=350；t=2，则 s=700等.
在问题（2）中，可以发现：x和y是两个变量，每 当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应. 例如x=150，则y=4500；x=205，则y=3150等.
S=3（2+x）÷2= 3+ 3 x (2< x ≤5) 2
在问题（3）中，可以发现：r和S是两个变量，每 当r取定一个值时，S就有唯一确定的值与其对应.它 们的关系式为 S r2 .据此可以算出r分别为10cm， 20cm，30cm时，S分别为100πcm²，400πcm²， 900πcm².
在问题（4）中，可以发现：x和y是两个变量，每 当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应. 它们的关系式为y=5-x.据此可以算出x分别为3m， 3.5m，4m，4.5m时，y分别为2m，1.5m，1m， 0.5m.
上面两个问题中的两个变量互相联系，当其中一 个变量取定一个值时，另一个变量就有一个取定的值 与之对应.
一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个 变量之间有上面那样的关系.
情景一
想一想，如果你坐在摩 天轮上，随着时间的变化， 你离开地面的高度是如何变 化的？
下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转 时间t(min) 之间的关系. (1)根据左图填表：