苏汝铿量子力学(第二版)课后习题(含答案)---第四章4.5-4.7#14(延边大学)三年级

14QM-4.5设粒子处于宽度为的无限深势阱中，求在能量表象中粒子的坐标和动量的矩阵表示。

解：设粒子所处的势场的表达式为(0)()0(0)()x U x x a x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪∞>⎩
在0x <，x a >两个区域，粒子的波函数均为0.
设在0x a ≤≤区域中粒子的波函数为ψ 则它满足薛定谔方程2
0;2E x a m
ψψ-''=≤≤ 当 相应的边界条件为：(0)0()0a ψψ=⎧⎨=⎩
解得波函数的本征函数为：()sin
n n x A x a πψ= 由归一化条件得：n A a
π= 在能量表象中的本征函数为
()sin n n n x x a a ππψ=
在能量表象中粒子的坐标的矩阵分量为：
()()2002222ˆ()()sin sin 114[],,2
a a mn n m m n n m x x x x dx mn x x x dx a a a a mn m n m n a m n πππψψπ*
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎧--≠⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩⎰⎰ 在能量表象中粒子的动量的矩阵分量为
()20022
ˆ()()sin sin 211[],0,a a
mn n m m n h n d m p x p x dx i mn x x dx a a dx a ih mn m n a m n m n πππψψππ*
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎧--⎪≠=⎨-⎪=⎩
⎰⎰ 14QM-4.6证明两个厄米矩阵能用同一个幺正变换对角化的充要条件是它们彼此对易。

证明：我们知道任何一个厄米矩阵能被一个幺正矩阵对角化。

设,A B 两个矩阵是对易的，并且能被幺正矩阵L 对角化证明如下：
已知0AB BA -=
1()LAL A αβαα
αβδ-'= 则11
LABL LBAL --= 1111LAL LBL LBL LAL ----=
1111()()()()LAL LBL LBL LAL αααβαβββαβ----''''''=∑∑
11()()A LBL LBL A αα
αβαβββ--''= 1()()0LBL A A αβαα
ββ-''-= 若要1
()0LBL αβ-≠则 A A αα
ββ''=即αβ= 所以1
()LBL B αβαα
αβδ-'=即B 能被同一幺正矩阵L 对角化。

若,A B 能被统一幺正矩阵对角化，则他们是对易的。

证明如下： 已知：1
()LAL A αβαααβδ-'=
1()LBL B αβαα
αβδ-'= 令AB BA C -=
则11111()()()LAL LBL LBL LAL LCL αβαβαβ------= 1()A B B A LCL αα
αααβαααααβαβδδ-''''-= 1()0(,)LCL αβαβ-=任意
所以0C =，,A B 对易。

14QM-4.7已知在2z L L 和和的共同表象中，算符x y L L 和和的 矩阵分别为：
010101010x L ⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭
；00000y i L i i i -⎫⎪=-⎪ ⎪⎝⎭
求他们的本征值和归一化本征函数，最后将x y L L 和和对角化。

解
：由1011001x I L λλλλ
--=-=-得x L 本征值为： 1230,,22h h λλλππ===- 将本征值分别代入本征方程()0,1,2,3i x i I L X i λ-==
得x L
本征函数为123111110,,22111X X X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎭⎝⎭⎝⎭
记11220221122x P ⎛⎫ ⎪ =- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
将x L 对角化后得1000002002x x x h P L P h
ππ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
由000y i I L i i i λλλλ
-==-得y L 本征值为： 1230,,22h h λλλππ==-
= 将y L 本征值分别代入本征方程()
0,1,2,3i y i I L Y i λ-== 得y L
本征函数为123111110,,22111Y Y Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪===⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪--⎭⎝⎭⎝⎭
记112201122y P ⎛⎫ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
将y L 对角化后得1
000
020
02y y y h P L P h ππ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。