小波矩量法用于求解偶极子天线的电流分布

小波矩量法用于求解偶极子天线的电流分布
魏丽英;丁宣浩;钟秋平
【摘要】运用小波分析与矩量法相结合的方法来求解线天线的电流积分方程.首先阐述了矩量法用于分析线天线的一般概念和基本思想,然后采用小波矩量法对偶极子天线的电流积分方程进行快速求解,并与传统矩量法分析进行比较.仿真结果表明,该方法能够使传统矩量法中的阻抗矩阵大大地稀疏化,从而达到了提高求解速度和节省计算机内存的目的.
【期刊名称】《桂林电子科技大学学报》
【年(卷),期】2010(030)006
【总页数】5页(P600-604)
【关键词】小波;矩量法;电流方程;稀疏矩阵;偶极子天线
【作者】魏丽英;丁宣浩;钟秋平
【作者单位】桂林电子科技大学,数学与计算科学学院,广西,桂林,541004;桂林电子科技大学,数学与计算科学学院,广西,桂林,541004;桂林电子科技大学,数学与计算科学学院,广西,桂林,541004
【正文语种】中文
【中图分类】O29
研究天线所产生的空间电磁场分布及由其分布所决定的天线特性问题,首先可以建立天线表面上的感应电流积分方程,计算出电流值,进一步计算出天线的其他辐射特
性等,故在天线中对电流求解是极其重要的。

线天线的计算主要是求解一个线性积
分方程,实质上就是求解满足特定边界条件的Maxwell方程[1]。

M axwell方程的
求解却一直是个十分困难的问题,由于边界条件复杂,从解析方法着手进行分析的进
展不大,难以获得满意的分析结果,在实际问题中往往将条件理想化,进行一些近似处理。

从20世纪60年代开始,计算机和计算技术的飞速发展对科学、生产、生活等各个领域都产生了重大影响,并为电磁场数值分析的广泛应用奠定了基础。

由此,各
种数值计算方法也相继被应用于各类电磁场数值计算问题之中,使电磁场的分析研
究取得了前所未有的进展。

众所周知,矩量法(momentmethod)是求解微积分方程的一种非常有效的数值分析方法之一,也是工程上求解天线问题最常用的方法[2]。

它是将算子方程离散化成矩阵方程的一种方法,亦是从线性算子和函数空间的角度
来处理问题,具有计算率高、理论基础健壮、处理灵活而精确、不限定物体的几何
形状等诸多优点,因而被广泛地应用于电磁数值计算中[3]。

然而,在高频问题中,矩量法产生的是一个稠密系数矩阵,对其求解极其费时,尤其对于解决电磁数值计算中的电大尺寸的问题,其计算量更大。

在解决实际问题时,人们总
希望用较小的计算量和内存空间以求得较精确的解,故在保证计算精度的前提下,如
何提高计算效率是普遍关注的问题。

小波函数具有多分辨率分析[4],在时频域均具
有局域特性,非常适用于计算电磁学领域,弥补了传统矩量法分析这类问题的缺陷。

本研究采用小波矩量法对偶极子天线进行分析,对天线上的电流分布用小波伽辽金
法对海伦方程进行了求解,最后得到电流分布。

从计算成本角度对小波矩量法和传
统矩量法这2种算法进行比较,进一步验证了小波矩量法在线天线计算中的优势。

1 线天线的矩量法分析
矩量法应用的核心问题是尽量用小的矩阵求得快的收敛速度,同时保证解的稳定性。

这取决于许多种因素[5],其中,最重要的就是合理地选取基函数和权函数。

1.1 线天线的海伦积分方程
图1所示的是偶极子天线,天线的电流分布问题所对应的海伦积分方程为[6-8]
图1 偶极子天线
其中,i(z＇)是待求的电流,c1与c2是未知系数。

其中,r是源点至观测点的距离,m为观测点,n为源点,如图2所示。

图2 电流丝观测图
令式(1)中:
其中,V0为天线中心馈电的激励电压。

此时,式(1)可为
1.2 用矩量法分析线天线的海伦积分方程
用海伦积分方程(1)对偶极子天线进行矩量法分析。

选取脉冲基函数:
将电流函数i(z＇)用脉冲函数展开为
选取权函数为ωm=δ(z-z＇),将式(4)代入式(2)并在方程两边同时与权函数ωm作内积得
以上方程组可写成矩阵形式:
式中:
其中,m=1,2,…,N。

根据偶极子电流分布的对称性得I1=IN=0,若令
则海伦方程的矩阵形式可化为
则电流系数矩阵:
故可得天线的电流分布为
2 小波矩量法的基本原理
小波矩量法是在矩量法中应用小波作为基函数的方法。

小波主要通过2种方式与矩量法相结合:小波展开[9-12]和小波变换[13-15]。

现通过算子方程(11)[16-18]来叙述小波矩量法的求解过程:
其中,G(x,y)是已知的格林函数;g(y)是已知的激励函数;f(x)是待解未知电流;L为积分区域。

如果把L分成N段,则f(x)可用小波展开:
亦或为
式(12)中,ψ表示小波函数;φ表示尺度函数;j代表不同的分辨率层是f(x)的水平尺度在n阶的分解系数,是对f(x)在n阶分辨水平上的粗略近似;,j=1,2,…,n}n∈z是f(x)的分辨水平在第j阶的小波分解系数,是f(x)在j阶的分辨水平的细节近似,它们均为待求未知量。

若以上的小波函数选取的是紧支撑的正交或双正交小波,则式(12)和
(13)通过M allat算法进行相互转换。

现以式(13)为例来陈述其具体求解过程。

首先将式(13)代入式(11)中得
在此,采用小波伽辽金方法[19],也就是选择与基函数相同的权函数,对式(14)两边同时作内积,可得方程组:
可将方程组(15)写成矩阵形式:
其中,,向量Q是激励函数g(y)与权函数的积分,即
矩阵T的结构为
在矩阵方程式(16)的两边同时乘以一个按照Mallat算法构造的小波变换矩阵W,则得到式(16)等价的矩阵形式:
其中,T′=WTWT,C′=WC,Q′=WQ,有WT W=I,
式中:
3 线天线的小波矩量法分析
对天线的电流分布所对应的海伦积分方程的计算问题:
如图1所示的偶极子天线的各项参数描述:λ=1m,长度l=0.25λ。

设天线的总长度为半个波长,半径为a=7.022×10-3λ,V0=1V,把天线均分为115段。

显然,式(20)满足式(11),在此选用Daubechies小波中具有2阶消失矩的小波作为基函数将式(20)
展开求解。

为了突出小波矩量法在解积分方程中的优越性,同时采用矩量法分析偶
极子天线电流分布问题所对应的海伦积分方程(各项参数与小波矩量法计算时一致),计算结果表明两者吻合的较好,如图3所示。

图3 偶极子天线的电流分布
经过计算可知,采用相同的分段数获得了较一致的结果。

采用Daubechies小波基
函数,使线天线矩量法中的阻抗矩阵具有很强的稀疏性,计算量是O(N log(N)),而直接对矩阵求逆所解稠密的矩阵方程计算量为O(N3),从而可极大地节省计算量。

与
采用Gauss-Jordan全主元消元法直接求解传统的矩量法矩阵方程相比,用双共轭
梯度法求解稀疏矩阵方程,可以明显地节省计算时间,从而能够提高计算速度。

从图
4的稀疏矩阵中还可以看出,大量的零元素还可以节省计算机内存,具体数据见表1。

表1 计算结果比较分段数计算时间/s 计算内存/kB天线半径/m MOM WMOM MOM WMOM 7.022×10-3 115 97 11 1023 260
从表1可见,WMOM方法共计的计算时间比MOM采用Gauss-Jordan全主元消元法所用计算时间节约了86 s。

在计算内存方面,WMOM方法比MOM节约了763 kB。

这些计算结果均在同一台主频为1.70 GH z,内存为1 GB的计算机上实
现[20]。

由此可见,计算结果与上述分析所得的结论基本吻合,从而实现了本算法的
快速求解。

由于在矩量法中采用了小波基函数,系数矩阵为一种特殊的结构,其小值分布范围很广,并且其最大值和最小值之比较大。

如果给定一个特定的阈值,并且置小于此阈值
的矩阵中的元素全为零元素,由此便可形成一稀疏矩阵,以便于矩阵求解。

图4中分别给出了当选取不同阈值时所形成的矩阵结构(图中黑阴影部分全为矩阵中的非零
元素),可见阈值取得越大,矩阵就越稀疏。

图4 不同阈值下的稀疏矩阵
4 结束语
本研究是从算法的基本原理、计算成本等方面,对用于分析偶极子天线电流积分方程的小波矩量法与传统矩量法2种积分方程方法进行了比较研究。

数值结果表明,小波矩量法与传统矩量法相比为一高效算法,采用小波矩量法所解的电流分布均与传统矩量法吻合较好,但计算时间和计算内存需求与传统矩量法相比均少,从而实现了小波矩量法在偶极子天线电流方程中的快速求解。

在求解大型矩阵时,应用小波方法将大大提高计算效率,从而为工程界提供了一种切实可行的有效算法。

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