第二课时 空间几何体的直观图
高中数学必修二_空间几何体的直观图-教学设计与教学反思
高中数学必修二空间几何体的直观图-教学设计与教学反思教学内容1、水平放置的平面图形的直观图画法。
2、空间几何体的直观图的画法。
数学目标1、了解空间图形的表现形式，掌握空间图形在平面的表示方法。
2、会用斜二测画法画水平放置的平面图形以及空间几何体的直观图。
3、会画简单空间几何组合体的直观图。
教学重难点1、用斜二测画法画直观图。
2、空间几何体的直观图画法。
教材分析画出空间几何体的直观图是学生学好立体几何的必要条件。
本节课主要是介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法。
而水平放置的平面图形的直观图画法，是画空间几何体直观图的基础。
教学的重点是斜投影画平面图形直观图的方法，即斜二测画法。
教材给出了正六边形、长方体、圆柱直观图画法。
教学时可以适当延伸，讨论正五边形、圆锥、圆台、球的直观图画法。
学情分析高二年级学生年纪小，具有模仿力强，记忆力好，表现欲强等特点。
根据学生前几章已接触的空间几何体直观图和空间几何体三视图（主视图、俯视图、左视图）的知识，将学生引入到如何绘出这些空间的几何体。
非常符合学生的好奇心，能激发他们的求知欲，使他们易学、乐学。
教学方法诱导式教学方法、视听法、直观教学法、整体教学法教学准备多媒体PowerPoint课件、几何画板课件、自制图片、圆规、三角板、直尺等。
本节课主要是介绍空间几何体的直观图画法，可以大胆放手让学生通过自主的学习进行归纳总结。
教师在此主要起的是引导和点拨的作用。
如在平面图形直观图的做法里面，给学生指出确定坐标系的关键性；引导学生发现其实是确定点位置的画法。
在从平面图形的直观图过渡到空间几何体的直观图中，要引导学生的是进行对比学习,通过教师的设问进行点拨，如“平面图形直观图和空间几何体直观图的画法的联系与区别”。
通过本节授课我还有一些心得。
如在引导学生进行归纳总结的时候，教师应该不着急于给出正确的答案。
学生初始的回答可能只是其中的一两点，而且步骤不完整，甚至有错误的见解。
高一数学必修二课件1.2.3空间几何体的直观图
A
B
F M E
N
O
D
C
x
扩 展
画水平放置的圆的直观图。
y′
O′
x′
接下来学习空间几何体的直观图的画法。
例二 画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方 体的直观图。
z
y
y
C1
D1
A1
3
M
D
Q
B1 C N B
x
A P
o
x
4
基本步骤：
（1）画轴.画x轴，y轴，z轴，三轴交于点O，使 ∠ xoy=45°，∠ xoz=90°。
y
D A C B D C
x
A
B
4. 右图是ΔABC利用斜二测画法得到的水平 放置的直观图ΔA'B'C'，其中A'B'∥y'轴， B'C'∥x'轴，若ΔA'B'C'的面积是3，则 ΔABC的面积是（ 3 2 ）.
y
A’
B’
C'
x
5. 正棱锥的直观图的画法。
S z’
y’ D E A O’ B C x’
1．解： （Ⅰ）如图
（Ⅱ）所求多面体体积
V V长方体 V正三棱锥
284 1 1 (cm 2 ) 4 4 6 2 2 2 3 3 2
课堂练习
1. 下面的说法正确吗？ （1）水平放置的正方形的直观图可能是梯形。 （2）两条相交直线的直观图可能平行。 （3）互相垂直的两条直线的直观图仍互相垂直。
确定线段长度
高考链接
1.（2008 宁夏、海南）如下的三个图中，上面 的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观 图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位： cm）。（1）在正视图下面，按照画三视图的 要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出 的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直 观图中连结，证明： ∥面EFG BC
1.2.3空间几何体的直观图
(4) 等腰三角形的水平放置的直观图仍 是等腰三角形. （×）
举例
例5 如图，直观图所示的平面图形是 ( B ) A.任意四边形 C.任意梯形 B.直角梯形 D.等腰梯形 y
A D
B
C
o
x
练习
2：如图，直观图所示的平面图形是( C ) A.任意三角形 C.直角三角形 B.锐角三角形 D.钝角三角形
(1) 画底面.
y A B G O E H x A’ B’ G’ C’ O’ F’ D’ y’
E’
x’ H’
C
F
D
举例 例3 画水平放置的正六边形 的直观图.
F A
y H E
y
F
/
/
H/
/ /
O
B G
D
x
A B A
/ /
/
E
D/
/
/
O / G C
F
/
x
/
C
E / D
/
/
B C 四个步骤：取轴、画轴、取点、画点.
举例 例4 画棱长为2 cm的正方体的直观图.
z
A
/
/
D
/
C
B
/
/
D A
/
/
C
B/
/
y/
D A B x/
C
A
D B
C
练习
1.下列说法是否正确？ (1)水平放置的正方形的直观图可能是梯形. （×） (2) 两条相交直线的直观图可能平行. （×） (3) 互相垂直的两条直线的直观图仍然互 相垂直. （×）
y
A
所示的平面图形是( D ) A.正三角形 C.钝角三角形
空间几何体的直观图(第二课时)
·
俯视图
针对性练习二
如下图是一个几何体的三视图,用斜二测法 画出它的直观图.
正视图
侧视图 提示:该几何体的下部 是一个正四棱台,上部是一 个正四棱锥.
俯视图
小结:
1.空间几何体的三视图与直观图有着密切的 联系,我们要学会由空间几何体的三视图得到它 的直观图.同时,也能够由空间几何体的直观图得 到它的三视图. 2.从投影的角度看,三视图和用斜二测画法 画出来的直观图都是在平行投影下画出来的空间 图形.
' （2）画直观图时，把它们画成对应的 o ' x ', o ' y ', o ' z 轴， 使 x ' o ' y ' 450 或1350 , x ' o ' z ' 900. x 所确定的平 'o ' y ' 面表示水平平面；
（3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在 直观图中分别画成平行于 x '轴 y '轴或 z '轴的线段； （4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中 保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半
O’ 45o A’
A B’ X’
2 1
B X
O
8.已知ABC的平面直观图A' B 'C '是边长为a的正
6 2 a 三角形, 那么原ABC的面积为_____. 2 A
Y
N
A’ N’ Y’
B’ O’ C’ X’ M’ M
6 16
X B
O C
8.已知ABC是边长为a的正三角形, 那么原ABC的平面
如图Δ A’B’C’是水平放置的Δ ABC的直观 图，则在Δ ABC的三边及中线AD中，最长的线 AC ） 段是（ Y A
空间几何体的直观图 课件
________于x′ 轴、y′ 轴或z′ 轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已
平行 知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
不变 ，平 (4)在几何体中平行于 x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度 ________ 一半 ． 行于y轴的线段，长度为原来的________ (5)擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．
轴，便得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′(图3)．
『规律方法』
简单几何体直观图的画法规则：
(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系． (2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面． (3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．
(4)连线成图．
〔跟踪练习 2〕 A′B′C′D′的直观图．
[ 解析]
由题意可知，直观图如图所示
分别过 C、D 作 AB 的垂线，E、F 为垂足． ∵CD＝1，∴EF＝1． 又∵BC＝AD＝1，∠A＝∠B＝45° 2 ∴CE＝DF＝BE＝AF＝ 2 ∴AB＝ 2＋1．
1＋ 2＋1 2＋1 2 S 直观图＝ ×2＝ 2 ． 2 S直观图 2 又∵ ＝4 S原图形 2＋1 4 ∴S 原形图＝ × 2 ＝2＋ 2． 2
(2)在已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成________ 平行 于x′
轴或y′轴的线段． (3)在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度________ 不变 ，平行 一半 ． 于y轴的线段，长度变为原来的________
[归纳总结]
用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直
1 ＝6 cm；由于平行于 y 轴的线段在直观图中长度变为原来的一半，则 C′D′＝2 CD＝2 cm．
人高中数学必修二 1.2.3 空间几何体的直观图
看一看：
小结：“横同，竖半 ,平行性不变”
练一练：
请画出水平放置的梯形ABCD的直观图
小明想给一个正六 棱锥涂色，他拿着 左边的图纸找到美 术老师 “老师，这个棱锥 怎么涂色更好看？” 美术老师:“ …….”
平行投影
l
左右移光源 上下移光源 演示投影线 关闭投影线
平行投影
l
左右移光源 上下移光源 演示投影线 关闭投影线
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于o 点．画直观图时把它画成对应的x′轴y′轴，使
一个人的整个生活既全以儿童时期所受的教导为转移，所以，除非每个人的心在小时候得到培养，能去应付人生的一切意外，否则任何机会都 会错过。——夸美纽斯 勇猛大胆和坚定的决心能抵得上武器的精良。——达芬奇 当你的朋友向你倾吐胸襟的时候，你不要怕说出心中的“否”，也不要瞒住心中的“可”。 忌妒别人，不会给自己增加任何的好处；忌妒别人，也不可能减少别人的成就。
建立坐标系注意事项： 1 注意图形的对称性 2 注意尽可能的将点放在坐标轴上
三棱锥S-ABC的底面是边长为a的正三角形，高为b，且顶点在底面上 的投影是底面中心，画出这个三棱锥的直观图。
z
S
C’ a
A’
O
B’
y C
M
A
O
B
x
S
C
A
B
F
棱柱的画法：请画出底面边长为a，高为b的正六
棱柱的直观图
空间几何体的直观图课件.完美版PPT
相应的高度．
(5)成图．连接PA′，PB′，AA′，BB′，整理得到三视图表示 的几何体的直观图(如图②)．
①
②
方法归纳 (1)由三视图画几何体的直观图，首先要认清几何体的形状 与 大小，这是解决此类问题的关键． (2)然后按斜二测画法的规则及步骤作出直观图即可． (3)对于复杂的组合体，有时需要建立多个辅助坐标系，这时 只要逐个解决即可．
由三视图画直观图
如图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它 的直观图． (链接教材P18例3)
[解] 画法： (1)画轴．如图 ①， 画 x 轴，z 轴，使∠xOz＝90°. (2)画圆柱的下底面．在 x 轴上取 A ，B 两点， 使 AB 的长度等于俯视图中圆的直径，且 OA＝OB．选择椭 圆模板中适当的椭圆过 A，B 两点，使它为圆柱的下底面． (3)在 Oz 上截取点 O′，使 OO′等于正视图中 OO′的长度，过 点 O′作平行于轴 Ox 的轴 O′x′，类似圆柱下底面的作法作出 圆柱的上底面．
. . . . o. x ③确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．
.
.
.
. o’.
x’
常用的一些空间图形的平面画法
二、平面图形的直观图的画法： 例1:画水平放置的正六边形的直观图.
F A
B
y ME
0 D x A1 B1
NC
y1
F1 M1 E1
01 N1 C1
D1 x1
四个步骤：取轴、画轴、平行性、长度.
(2)画下底面．以 O 为中点，在 x 轴上取线段 EF，使得 EF ＝AB＝6 cm，在 y 轴上取线段 GH，使得 GH＝12AB，再过 G，
1.2.2空间几何体的直观图
观察教材图1.2-13，请说出三 视图表示的几何体，并用斜二测画法 画出它的直观图. 正 视 图 俯 视 图 测 视 图
图1.2-13
平行投影与中心投影
观察教材图1.2-15，请同学们 观察比较:在平行投影下画空间图形与 在中心投影下画空间图形各有什么特 点?
图1.2-15
课堂小结
1. 平面图形的斜二测画法的关键与
y A
B G O C F D E H x
练习 根据斜二测画法，画出水平放置的 正五边形的直观图.
y A
B
G
H
E O C F D H
x
G
用斜二测画法画水平放置的圆的 直观图.
探求空间几何体的直观图的画法
用斜二测画法画长、宽、高分别是
4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A'B'C'D' 的直观图.
斜二测画法
⑵ 已知图形中平行于x轴或y轴的线段， 在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴 的线段； ⑶ 已知图形中平行于x轴的线段，在直 观图中保持原长度不变；平行于y轴的 线段，长度为原来的一半．
练习 根据斜二测画法，画出水平放置的 正五边形的直观图.
练习 根据斜二测画法，画出水平放置的 正五边形的直观图.
几何体的直观图
几何体的直观图
h'
h' r' O'
l
r O
几何体的直观图
几何体的直观图
思考 怎样才能画好物体的直观图呢？
用斜二测画法画水平放置的正六边形 的直观图.
用斜二测画法画水平放置的正六边形 的直观图.
y
F A
E
H D O
x
人教A版高中数学必修二1.2.3空间几何体的直观图 课件
知道画图时该
怎么处理吗？
空间几何体直观图画法步骤
1.建系画轴--
xOy=45 ,xOz 90 .
2.画底面-- 平行不变，横不变，纵减半 3.画侧棱-- 平行不变，竖不变
4.连线成图
（ （画43法）） ：画（在 圆1锥）O画的z轴轴 顶.点画上.x轴在取，O点 zz轴轴，上O使截'， 取xO使 点z =P9O，0O；使P' 等 O等于于 （（正等正 行 25）于例）视视 于 画俯成图3圆视图 轴 图中已柱图.相中 O的中连知应下圆x接几O的 的底的P何O高A面直轴 体'，度'.径的 在的O，P.xB长 三轴且' 'x，上O视度 'A， A取图AA， O'，类 ,，BB两画过 ,B选似 B点出择'点 ，，圆 它椭整使O圆的柱 A理模B直'作 的得下 板观长到中平 底 图度三适 当视面的图的 椭表圆作 示过的法 A,几B作 两何点体出，的使圆 直它观柱 为图圆的.柱上 的下底底面面. .
F
A
B
y
横
E
M
O Dx
y 不
变
A
B
F M
O 45°
N C
E
D
， 纵 减
x半
，
NC
平 行
第一步：画轴
性
特第点二步：：图取像点关于坐标轴对称，90°变为45°或
不 变
特1第3点5三°：步：先连确线定坐标轴上点，利用平行关系取其他点；凡
平行X轴的平行x’ 轴，长度不变；凡平行Y轴的平行y’ 轴，
长度变为原来的一半
O`
o 正视图
O`
o 侧视图
俯视图
z
1.2 空间几何体的直观图
4、右图是Δ ABC利用斜二测画法得到的水平 放置的直观图Δ A‘B‘C’，其中A‘B’∥y’轴， B‘C’∥x‘轴，若Δ A‘B‘C’的面积是3，则Δ ABC 的面积是( 2 ) 6
课堂小结： 1、水平放置的平面图形的直观图的画法
2、空间几何体的直观图的画法
y A A` o x
B
B`
C`
C
正六棱柱的直观图的画法
步骤：
zノ
1、画轴； 2、画底面； 3、画侧棱； 4、成图。
oノ
yノ
xノ
正六棱柱的直观图的画法
zノ
步骤：
1、画轴； 2、画底面； 3、画侧棱； 4、成图。
F
A E oノ B D
yノ
C
xノ
正六棱柱的直观图的画法
zノ
步骤：
Fノ
ノ A
Eノ Bノ
Hale Waihona Puke DノyF AM
E D
y
A
x
O
F M E
N C
B
B N C
O
D
x
~请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤~
斜二测画法的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点.画 直观图时，把它画成对应的x’轴、y ’轴，两轴交于O’，使 x'Oy' 45 (或135，它们确定的平面表示水平平面． ) (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画 成平行于x’轴或y’轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不 变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
例1、用斜二测画法画出下图所示的水平放 置的△ABC的直观图.
高一数学必修2 空间几何体的直观图
1（1）限时3分钟
四、阅读例2－P21（限时4分钟）
五、完成P21 的 探究 六、练习（限时15）： 2 、 3、 4
七、作业：
一、 P21 1（2）
二、用斜二测画法画出水平放置的棱长为3cm的正方体的直观图
直观图
画直观图的方法：斜二侧法
1、画水平放置的正六边形的直观图.
yFΒιβλιοθήκη MEy′A
O
Dx
B
NC
.
O′
.侧视图 O
y′ y
x′
.
俯视图
.p .O′
.o
o
x
练习 1. 对几何体三视图，下列说法正确的是：（C） A . 正视图反映物体的长和宽 B . 俯视图反映物体的长和高 C . 侧视图反映物体的高和宽 D . 正视图反映物体的高和宽
2 . 若某几何体有一种视图为圆，那么这个几何体可能
是球
____________
y
D1
C1
A1 M
A
D
Q
o
P
B1 C
N
x
B
规则：
（1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴ox、 oy,再取oz轴，使∠xoy=450，且∠xoz=900 ；
（2）画直观图时，把它们画成对应的 o' x',o' y',o' z'
轴，使 x'o' y' 450 或135 0 , x'o' z' 900. x'o' y' 所确定
图中分别画成平行于 x' 或轴 y'轴的线段；
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中 保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的 一半
人教数学必修二课件-123空间几何体的直观图
斜二测画法
⑵ 已知图形中平行于x轴或y轴的线段， 在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴 的线段；
斜二测画法
⑵ 已知图形中平行于x轴或y轴的线段， 在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴 的线段；
⑶ 已知图形中平行于x轴的线段，在直 观图中保持原长度不变；平行于y轴的 线段，长度为原来的一半．
练习1 根据斜二测画法，画出水平放置 的正五边形的直观图.
练习1 根据斜二测画法，画出水平放置 的正五边形的直观图.
yA
B
E
x
GO
H
CF D
练习1 根据斜二测画法，画出水平放置 的正五边形的直观图.
yA
B
E
x
G
H
GO
H
CF D
例2 用斜二测画法画水平放置的圆的 直观图.
二、探求空间几何体的直观图的画法
例3 用斜二测画法画长、宽、高分别是 4cm、3cm、2cm的 长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.
课堂小结
1. 平面图形的斜二测画法的关键与 步骤；
2. 简单几何体的斜二测画法；
课堂小结
1. 平面图形的斜二测画法的关键与 步骤；
2. 简单几何体的斜二测画法； 3. 简单组合体的斜二测画法；
课堂小结
1. 平面图形的斜二测画法的关键与 步骤；
2. 简单几何体的斜二测画法； 3. 简单组合体的斜二测画法； 4. 注意的几点.
思考: 请说出下列三视图表示的几何体， 并用斜二测画法画出它的直观图.
正
侧
视
视
图
图
俯 视 图
三、平行投影与中心投影
人教A版高中数学必修二.3空间几何体的直观图PPT课件
y
F A
M E
O
D
x
y
F M E
A
O
D x
B N C
B NC
注意：水平放置的线段长不变，垂直放置的线段长变为原来 的一半．
人教A版高中数学必修二.3空间几何体 的直观 图PPT 课件
人教A版高中数学必修二.3空间几何体 的直观 图PPT 课件
（一）水平放置的平面图形的画法
思考1:把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以 平行四边形的感觉，如图.比较两图，其中哪些线段之间的 位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？
思考2:把一个直角梯形水平放置，得其直观图如图，比较 两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变 化？哪些没有发生变化？
zS
C
A
B
y C
M
A
OBx
S
C
A
B
思考3:画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤进行？
画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图
1.已知一四边形ABCD的水平放置的直观图A' B 'C ' D '是 一个边长为2的正方形，请画出这个图形的真实图形.并 计算真实图形的面积.
由题意知，A' B ' 2，所以A'C ' 2 2.
(3)连接A'B',C'D', D'E', F 'A', 并擦去辅助线x′轴和y′轴，便 获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F '.
《空间几何体的直观图》教学设计(优质课)
空间几何体的直观图（一）数学目标1．知识与技能（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图.（2）采用对比的方法了解在平行投影下面空间图形与在中心投影下面空间图形两种方法的各自特点.2．过程与方法学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图.3．情感态度与价值观（1）提高空间想象力与直观感受.（2）体会对比在学习中的作用.（3）感受几何作图在生产活动中的应用.（二）教学重点、难点重点、难点：用斜二测面法画空间几何值的直观图.（三）教学方法在以水平放置的正六边形或正六棱柱为例画直观图，通过多媒体课件的具体准确逐步演示，使学生熟练掌握并归纳斜二测画法去画直棱柱的基本步骤z 轴，三轴交于点 O ，使∠ xOy = 45 °， ∠xOz = 90 °.上取线段 MN ，使 MN = 4cm ；在 y 轴上 取线段 PQ ，使 PQ =3 cm. 分别过点 M2和 N 作 y 轴的平行线，过点 P 和 Q 作x轴的平行线，设它们的交点分别为 A ，B ， C ，D ，四边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD.（3）画侧棱. 过 A ，B ，C ，D 各点分别 作 z 轴的平行线， 并在这些平行线上分 别截取 2 cm 长的线段 A ′A ，B ′B ，C ′C ， D ′D.（4）成图，顺次连接 A ， B ， C ， D ，并 加以整理（去掉辅助线，将被挡的部分 改为虚线），就得长方体的直观图 . 3．简单组合体画法（2）画底面 . 以点 O 为中点，在 x 轴法. 教师边演示边讲解，学 生边观察，边思考，边 总结.师：请大家归纳一下， 直棱柱的直观图画法 .生：①画轴 ②画底画 ③画侧棱 ④成图 师：有什么注意事项 吗？ 生 1 ：竖直方面保持平行 关系和长度关系不变 . 生 2 ：被遮的部分用虚 线.学生讨论然后简答例 3 已知几何体的三视图说出它的结 生 1 ：这个几何体是一个 构特征，并用斜二测画法画它的直观 简单的组合体，它的下前后联系加强 知识的系统 性.图.画法：（1）画轴. 如图（1），画x 轴、z 轴，使∠ xOz=90° .（2）画圆的柱的下底面. 在x 轴上取A，B 两点，使AB的长度等于俯视图中圆的直径，且OA = OB. 选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B 两点，使它为圆柱下底面的作法作出圆柱的下底面.（3）在Oz上截取点O′，使OO′ 等于正视图中OO′ 的长度，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.（4）画圆锥的顶点. 在Oz 上截取点P，使PO′ 等于正视图中相应的高度.（5）成图. 连接PA′、PB′，AA′，BB′，整理得到三视图表示的几何体的直观图. （如图（2））画轴的下底面.部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆柱上底面与圆锥底面相重合.生 2 ：我们可以先画出上部的圆锥.师给予肯定然后点拔注意事项.备用例题例 1 用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图 .【分析】先画出正五边形的图形，然后按照斜二测画法的作图步骤进行画图 .【解析】（1）如图 1所示，在已知正五边形 ABCDE 中，取中心 O 为原点，对称轴 FA 为 y 轴，对点 O 与 y 轴垂直的是 x 轴，分别过 B 、E 作GB ∥y 轴，HE ∥y 轴，与 x 轴分别交于点 G 、 H. 画对应的轴 O ′x ′、O ′y ′，使∠ x ′O ′y ′ = 45 °.（2）如图 2所示：以点 O ′为中点，在 x ′轴上取 G ′H ′ = GH ，分别过 G ′、 H ′，在 x ′轴的上方，作 G ′ B ′∥ y ′轴，使 G ′B ′ = 12GB ；作 H ′E ′∥y ′轴，使 H ′E ′ =21HE ； 在 y ′轴的点 O ′上方取 O ′A ′ = 1 OA ，在点 O ′下方取 O ′F ′ = 1OF ，并且以点F′为中点，画C′D′∥ x′轴，且使C′D′ = CD.（3）连结A′B′、B′C′、D′ E′、E′A′，所得正五边形A′B′C′D′E′就是正五边形ABCDE的直观图，如图 3 所示.1 2 3【评析】在直观图中确定坐标轴上的对应点及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较好办，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段与坐标轴相交，先确定这些平行线段在坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点.例2 已知一个正四棱台的上底面边长为2cm，下底面边长为6cm，高为4cm. 用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.【分析】先画出上、下底面正方形的直观图，再画出整个正四棱台的直观图.【解析】（1）画轴. 以底面正方形ABCD的中心为坐标原点，画x 轴、y轴、z 轴，三轴相交于O，使∠ xOy = 45 °，∠ xOz = 90 °.（2）画下底面. 以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF = AB = 6cm，在y轴上取线段GH，使得GH = 1 AB，再过G、H分别作AB＝∥EF ，C＝∥D EF，且使得CD的中点为H，AB 的中点为G，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.（3）画上底面. 在z 轴上截取线段OO1 = 4cm ，过O1点作O1x′∥Ox、O1y′∥Oy，使∠x′ O1y′ = 45 °，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中重复（2）的步骤画出上底面的直观图A1B1C1D1.（ 3）再连结 AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图（图 2）. 【评析】用斜二测画法画空间图形的直观图时，对于图中与x 轴、y 轴、z 轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决： 过与坐标轴不平行的线段的端点作坐标轴的平行线段， 再借助于所作平行线段确定端点在直观图中的位置，有了端点在直观图中的位置，一切问题 便可迎刃而解 .例 3 如右图所示，梯形 A 1B 1C 1D 1是一平面图形 ABCD 的直观图 . 若 A 1D 1∥O 1y ，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1 = 2C 1D 1 = 2 ， A 1D 1 = O ′D 1 = 1. 请画出原来3的平面几何图形的形状，并求原图形的面积xoy ，在 x 轴上截取 OD=O ′ D 1=1， OC=O ′ C 1=2.在过点 D 的 y 轴的平行线上截取 DA=2D 1A 1=2. 在过点 A的 x 轴的平行线上截取 AB=A 1B 1 = 2. 连接 BC ，即得到了原图形 .由作法可知，原四边形 ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为 AB = 2 ，CD = 3 ，直角 腰长度为 AD = 2.所以面积为 S 223 2= 5.评析】给出直观图来研究原图形，逆向运用斜二测画法规则，更要求我们具有逆向思维的能力 . 画法关键之处同样是关键点的确定，逆向的规则为“水平长不变，垂直长增倍” 注意平行于 y ′轴的为垂直 .解析】如图，建立直角坐标系。
《 空间几何体的直观图》课件
正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的 一个平面图形的直观图，则原图形的周长是
C
B
OA
试比较三视图和直观图：
三视图从细节上刻画了空间几何体的结 构,根据三视图，我们可以得到一个精确的 空间几何体,正是因为这个特点，使它在生 产活动中得到广泛应用(比如零件图纸、建 筑图纸等).
直观图是对空间几何体的整体刻画，我 们可以根据直观图的结构想象实物的形 象．
2
练、如图ΔA’B’C’是水平放置的ΔABC的直观图， 则在ΔABC的三边及中线AD中，最长的线段是 （ A）C
练、已知正ΔABC的边长为a,则其平面直观图 ΔA’B’C’的面积是_______ 6 a2
16
练、已知ΔABC的平面直观图ΔA’B’C’是边长为 a的正三角形,则原三角形的面积是_______
中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图较复 杂，又不易度量．
立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图， 这种画法叫斜二测画法．
投影规律
1.平行性不变，但形状、长度、 夹角会改变；
2.平行直线段或同一直线上的 两条线段的比不变；
3.在太阳光下，平行于地面的 直线在地面上的投影长不变．
例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
(1)在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，对称轴MN 所在直线为Y轴，两轴交于点O．画对应的 X ' ,Y ' 轴，两轴相交 于点 O'，使 X 'OY ' 45
y
F
ME
y'
A
O
D
x
O
x'
B NC
注意：(1)建系时要尽量考虑图形的对称性 (2)画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置．
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第二课时空间几何体的直观图
重点、难点：用斜二测面法画空间几何值的直观图
创设情境：
三视图用三个角度的正棱影图反映空间几何体的形状和大小，我们能否将空间图形用一个平面图形来表示呢？
平面图形既富有立体感又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，我们称这种图形为立体图形的直观图.
探索新知：
水平放置的平面图形的直观图的画法.
例1．：用斜二测法画水平放置的正六边形的直观图.
画法：（1）如图（1），在正方边开ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′ = 45°.
（2）在图（2）中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′轴上取M′N ′ =1
2 MN.
以点N ′为中点，画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M ′为中点，画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.
（3）连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′（图（3））
2）斜二测画法基本步骤.
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平表示水平面.
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
注意：
（1）平行于x轴，y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴
（2）原图中平行于x 轴的线段在直观图中保持原长度不变平行于y 轴的线段长度，为原来的一半.
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm ，3cm ，2cm 的长方体ABCD – A ′B ′C ′D ′的直观图.
画法：（1）画轴. 如图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴交于点O ，使∠xOy = 45°，∠xOz = 90
（2）画底面. 以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN = 4cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ =3
2
cm. 分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交
点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .
（3）画侧棱. 过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段A ′A ，B ′B ，C ′C ，D ′D .
（4）成图，顺次连接A ，B ，C ，D ，并加以整理（去掉辅助线，将被挡的部分改为虚线），就得长方体的直观图
注意：
（1）竖直方面保持平行关系和长度关系不变.（2）被遮的部分用虚线.
备用例题
例1． 用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图
例2． 用斜二测画法画出正三角形直观图，并探索与原正三角形面积之间的关系
1. 利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论，正确的是（）
Ａ．①②Ｂ．①Ｃ．③④Ｄ．①②③④
2 如图1所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是图2中的（
）
3. 若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是
（）
Ａ．圆柱Ｂ．三棱柱Ｃ．圆锥Ｄ．球体
4 下列说法中正确的是（）
Ａ．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线
Ｂ．梯形的直观图可能是平行四边形
Ｃ．矩形的直观图可能是梯形
Ｄ．正方形的直观图可能是平行四边形
5. 如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）
Ａ．3Ｂ．
32
2
Ｃ．6Ｄ．32
6. 下面的说法正确吗？
（１）水平放置的正方形的直观图可能是梯形；
（２）两条相交直线的直观图可能平行；
（３）互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直．
7 如图中斜二测直观图所示的平面图形是（）
y'
x'
O
ＡＢＣＤ
图2
图1
１
２
１２３
O′
B′
A′
y
45°
x
Ａ．直角梯形 Ｂ．等腰梯形 Ｃ．不可能是梯形 Ｄ．平行四边形
8. 下图中直观图所表示的平面图形是（ ） Ａ．正三角形 Ｂ．锐角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．直角三角形
9. 如图，设正三棱锥P ABC -的侧棱长为l ，30
APB ∠=þ， E ，F 分别是BP ，CP 上的点，求AEF △周长的最小值．
1--8ACCDC AD 三错
答案：解：如图，PABCA ´为正三棱锥的侧面展开图， 则AA ´为所求AEF △周长的最小值，
在PAA △´中，90APA ∠=þ´
，PA PA l ==´， 2AA l =∴´．
y ′ x ′ O ′
A ′
B ′
C ′
D ′
O ′ x ′ y ′ A ′ B ′
C ′ A
B
E
F C
P
P
A
B
E
F
C
A ´。