2016春《课时夺冠》九年级数学人教版下册课件：锐角三角函数专题十二

). 3
∴在Rt△ECB中，
CE 3 1 tanB= . CB 3 3 3
5 4 3.如图，矩形ABCD的边AB上有一点P，且AD= ,BP= ,以 3 5 点P为直角顶点的直角三角形的两条直角边分别交线段DC，BC
于点E，F，连接EF，求tan∠PEF的值. 解：过点E作EM⊥AB于点M， ∵∠PEM+∠EPM=90°,
∠FPB+∠EPM=90°,
∴∠PEM=∠FPB, 又∵∠EMP=∠PBF=90°, M
8.如图，点C是半圆O的半径OB上的动点，作PC⊥AB于C，点D 是半圆上位于PC左侧的点，连接BD交线段PC于点E，且PD=PE. (1)求证：PD是⊙O的切线; (2)若⊙O的半径为4 3 ,PC=8 3 ,设OC=x,PD2=y. ①求y关于x的函数解析式; ②当x= 3 时，tanB的值. 解：(1)证明：连接OD. ∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB， ∵PD=PE，∴∠PDE=∠PED， ∠PDO=∠PDE+∠ODE =∠PED+∠OBD
∴12+x2=(2-x)2,解得x= ∴FO∥DH,∴∠EFO=∠HDE, ∴tan∠EFO=tan∠HDE=
EH 3 . DH 4
7.如图，直线l与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E，
F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线l
于B，C两点. (1)求证：∠ABC+∠ACB=90°; (2)若⊙O的半径R=5,BD=12，求tan∠ACB的值.
∴∠EOA=∠FBO,
∵∠BFO=∠OEA=90°, ∴△BFO∽△OEA,

AO 3 在Rt△AOB中，cos∠BAO= , AB 3 设AB= 3 x,则OA=x,根据勾股定理得:
BO= 2 x,∴OB∶OA= 2∶1,
∴S△BFO∶S△OEA=2∶1,
∵A在反比例函数y=
2 上, x
∴S△OEA=1,∴S△BFO=2，则k=-4.
5.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,P是射线BC上的一个动 点，过点P作PE⊥AP,交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F， 设BP=a. (1)当点P在线段BC上时(点P与点B，C 都不重合)，试用含a的代数式表示CE； (2)当a=3时，连接DF，试判断四边形 APFD的形状，并说明理由; 1 (3)当tan∠PAE= 时，求a的值. 2 解：(1)设CE=y,∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=4,BC=AD=5,∠B=∠BCD=∠D=90°, ∵BP=a,CE=y,∴PC=5-a,DE=4-y, ∵AP⊥PE,∴∠APE=90°,∠APB+∠CPE=90°, ∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠CPE=∠BAP, BP AB a 4 a 2 5a , , y ; ∴△ABP∽△PCE,∴ CE PC y 5a 4
=∠BEC+∠OBD=90°，
∴PD⊥OD，∴PD是⊙O的切线.
(2)①连接OP，在Rt△POC中， OP2=OC2+PC2=x2+192, 在Rt△PDO中， PD2=OP2-OD2=x2+144.
∴y=x2+144(0≤x≤4
②当x= 3 时,y=147, ∴PD=7 3 ,EC= 3 , ∵CB=3 3 ,
解：（1）证明：∵EF是⊙O的直径，
∴∠EAF=90°， ∴∠ABC+∠ACB=90°.
(2)连接OD，则OD⊥BD，
过点E作EH⊥BC，垂足为点H，
∴EH∥OD. ∵EF∥BC,EH∥OD,OE=OD,
∴四边形EODH是正方形. ∴EH=HD=OD=5,
∵BD=12,∴BH=7,
H
BH 7 在Rt△BEH中,tan∠BEH= , EH 5 又∵∠ABC+∠BEH=∠ABC+∠ACB=90°, 7 ∴∠ACB=∠BEH,∴tan∠ACB= . 5
专题十二
锐角三角函数
2 1.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y= 的图象上，第 x k 二象限内的点B在反比例函数y= 的图象上，且OA⊥OB,cosA x 3 = ，求k的值. 3 解：过A作AE⊥x轴于点E，
过B作BF⊥x轴于点F， ∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°, ∴∠BOF+∠EOA=90°, ∵∠BOF+∠FBO=90°, F E
在Rt△APB中，AB=4，BP=3，∠B=90°， ∴AP=5=PF,∴四边形APFD是菱形. 1 AP (3)根据tan∠PAE= 可得 =2,易得△ABP∽△PCE, 2 PE a 4 BP AB a 4 2, ∴ 2, 2或 y a5 CE PC y 5a
解得a=3,y=1.5或a=7,y=3.5, ∴a=3或7.
6.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,⊙D的半径为1.现将一 个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O点转 动三角板，使它的一条直角边与⊙D相切于点H，此时两直角边 与AD交于E，F两点，求tan∠EFO的值. 解：连接DH, ∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，
∴BD= 4 2 2 2 =25,
32 5 3 3 3 5 (2)当a=3时,y= ，即CE , DE , 4 2 2 2 ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BF,∴△AED∽△FEC, AD DE ∴ , ∴CF=3,∴PF=PC+CF=5, CF CE ∵四边形ABCD是矩形，∴四边形APFD是平行四边形,
PF BP BP 12 ∴△EPM∽△PFB,∴ , EP ME AD 25 PF 12 . ∴tan∠PEF= EP 25
4.如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是边AD上一 点，连接FE并延长交BC的延长线于点G，连接BF，BE，且 BE⊥FG. (1)求证：BF=BG; (2)若tan∠BFG= 3 , S△CGE=6 3 ,求AD的长. 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠DCG=90°， ∵E是CD的中点,∴DE=CE， 又∵∠DEF=∠CEG，∴△EDF≌△ECG, ∴EF=EG,∵BE⊥FG,∴BE是FG的中垂线，∴BF=BG. (2)∵BF=BG,∴∠BFG=∠G,∴tan∠BFG=tan∠G= 3, 3 2 设CG=x,CE= 3x,则S△CGE= x =6 3 , 2 解得x=2 3,∴CG=2 3 ,CE=6, 由射影定理得EC2=BC· CG,∴BC=6 3 ,∴AD=6 3 .
1 ∵O是对称中心，∴OD= BD 5 . 2 ∵OH是⊙D的切线，∴DH⊥OH,
1 ∵DH=1,∴OH=2,∴tan∠ADB=tan∠HOD= , 2 ∵∠ADB=∠HOD,∴OE=ED.
设EH为x,则ED=OE=OH-EH=2-x,
3 3 ,EH= ， 4 4 又∵∠FOE=∠DHO=90°,
2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AC在x轴上，边BC k ⊥x轴，双曲线y= (x>0)与边BC交于点D（4,m），与边AB交 x 于点E（2，n）.
(1)求n关于m的函数关系式; 1 (2)若BD=2,tan∠BAC= ， 2 求k的值和点B的坐标. 解：（1）n=2m; (2)过点E作EF⊥BC于点F， ∵由（1）可知n=2m,∴DF=m.∵BD=2,∴BF=2-m. ∵点D(4,m),点E(2,n)，∴EF=4-2=2.∵EF∥x轴， BF 2 m 1 , ∴tan∠BAC=tan∠BEF= EF 2 2 解得m=1,∴D(4,1),∴k=4×1=4,B(4,3). F