6-2高斯定理

q
S1 S2
q
Φe2 0
q
0
S3
6.2.4
高斯定理的应用
♦ 用高斯定理求电场强度
原理：高斯定理 Φe

S
E dS
1
0
q
i 1
n
i
范围：带电体，静电场必须具有高度的对称性。 步骤：
1. 依据电场强度叠加原理作对称性分析；
2. 根据对称性选择合适的高斯面；
3. 应用高斯定理计算；
q
i 1
n
i
在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量，等于 该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 0 。 （与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
请思考：(1) 高斯面上的 E 与那些电荷有关？
(2) 哪些电荷对闭合曲面 S 的Φe有贡献？
库仑定律 电场强度叠加原理
高斯定理
1. 点电荷位于球面中心（以下这三个需要讲， 记住结论） q
Ea
b
a
c
E
电场线性质：
（1）起于正电荷(或无限远)，止于负电荷(或无限远)； （2）不闭合，也不在没有电荷的地方中断； （3）两条电场线在没有电荷的地方不会相交。
点电荷的电场线
正点电荷
负点电荷
+
一对等量异号点电荷的电场线
+
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
E
4π 0 r
2
r
dS
Φe

S
E dS Φe q

q
S
4π 0 r
2
dS
+
0
2. 点电荷在任意封闭曲面内
dΦe
q 4π 0 r
2
dS cos
q dS 2 4π 0 r dS 其中立体角 dΩ 2 r q q Φe dΩ 4π 0 0
dS ＇ dS
+
r

dS ＇
dS
4. 由多个点电荷产生的电场（不用讲）
E E1 E2
Φe
q1
i
q2
E
dS

S
i in
E dS
S
Ei
E dS dS
S i
i out
S
S
qi
S
E i dS
i out

r

（ 2）
E dS 0
S2
O +R
+
+ + + + + + +
S1
r +
+ +
E0 rR

2
S2
E dS
Q
0
q 4π 0 r
2
q 4 π 0 R2
E
4πr E
q
0
E
o
R
r
四、均匀带电球体的电场 一半径为R，带电量为 q的均匀带电球体。
选高斯面为同心球面。 (1) r > R 时，高斯面内电荷为 q：
S
E
Φe ES ES cos
S Sen Φe E S

S

en
E
3. 非均匀场，任意曲面
小面元 dS dSen
E
en
dS
dΦe E dS EdS cos
Φe dΦe E dS s
面积分

E
4. 任意电场，封闭曲面
E
Φe
Φe

S
E dS E 4 r
2
q
0
P
E
q 4 0 r
2
er
q ＋＋ ＋ ＋ ＋ R ＋＋ O ＋＋ ＋ ＋r ＋ ＋＋
(2) r < R 时，高斯面内电荷为 q′：
q V
q 4 R 3
4 3 r3 r 3 q R 3 3
2
r q Φe E dS E 4 r 3 S 0 R 0 qr E 4 0 R3
讨论题
1. 将 q2 从A移到B点P电场强度是 否变化？ 变化 穿过高斯面S的Φe有否变化？ 不变化
A q2 P *
q2 B
s
q1
2. 在点电荷 q 和 q 的静电场中，做如下的三个闭合 面 S1、S2、S3 ，求通过各闭合面的电场强度通量。
Φe1

S1
E dS Φe3
q
0
int

(Q )
d
E dl
P (0)
0

(P)

4. 强调两句话 注重典型场 注重叠加原理
点电荷
均匀带电球面(体)
无限长的带电线(柱) 无限大的带电平面
ES 0
en
o
M

en
Q
z
E R x
Φe左 E S左 ES左 cos ES左 Φe右 E S右 ES右 cos ES左
Φe Φe前 Φe后 Φe左 Φe右 Φe下 0
6.2.3
电场的高斯定理
高斯定理
Φe

S
E dS
1
0
S出

S入
E cos dS E cos dS
表示：穿出与穿进封闭面的电场线的条数之差
E
Φe
S入
E cos dS E cos dS
dS
E

S出
结论：对封闭曲面
(1) 若e > 0，即电场强度通量为正，则有净的电场 线从曲面之内向外穿出；
(2) 若e < 0，即电场强度通量为负，则有净的电场 线从外部穿入曲面。
(3) 若Φe = 0，即电通量为零，则穿出与穿进曲面的 电场线的条数相等；
例1 如图所示 ，有一个三棱柱体放置在电场强度为 E 的匀强电场中。求通过此三棱柱体的电场强度通量。 （待定） y 解： Φe Φe前 Φe后
Φe左 Φe右 Φe下
P
N
en
Φe前 Φe后 Φe下

S S
E dS E cos dS
闭合面积分
dS
E
线方向
en 规定为封闭曲面的外法
dΦe EdS cos
E
1

2
, dΦe1 0 , dΦe2 0
2
Φe

2
dS 2
2
E2
dS1 1 E1

S
E dS

S
E cos dS
6.2.1
规定
电场线
1) 曲线上每一点切线方向为该点电场方向； 2) 通过垂直于电场方向单位面积电场线数为该点电场 强度的大小。
dN 电场线密度 E E dS
用电场线的疏密程度来表示 场强 E 的大小。
dS
E
总结： E
方向 ：切线方向
dN 大小： E =电场线密度 dS Ec Eb
S
E i dS 0
Φe
i in

Ei dS
1
0
i in
q
i
总结
Φe

S
E dS
1
0
q
i 1
n
+
i
1) 高斯面为封闭曲面(假想面）。
2) 高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度。
3) 仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献。 5) 穿出高斯面的电场强度通量为正，穿入为负。 6) 静电场是有源场。
4. 写出 E E (r ) 的分区函数。
一、均匀带电球壳的电场(必讲) 一半径为 R ，均匀带电 q 的薄球壳 。求球壳内外任意 点的电场强度。 对称性分析：球对称
S1
r +
O +R
S2
+ r + + + +d +q +
dq + + +
P
dE
r
选高斯面为同心球面。 解（1）
0r R
S1
E q 4 0 R
3
q
3
q ＋＋ ＋ ＋ ＋ R ＋＋ O ＋＋ r ＋ ＋ ＋ ＋＋P
r
结论：
q a. 均匀带电球体外的场强分 ＋＋ ＋ ＋ ＋ 布正象球体上的电荷都集中 R ＋ ＋ O ＋＋ 在球心时所形成的点电荷在 ＋ ＋ ＋ 该区的场强分布一样。 ＋＋
E
q 4 0 r
e 2 r
6.2.1
电场线
为形象描绘静电场而引入的一组空间曲线. 在电场中画一组曲线， 曲线上每一点的切线方向与 该点的电场方向一致，这一 组曲线称为电场线。 通过无限小面元dS的电 力线数目dN与dS 的比值称 为电力线密度。我们规定电 场中某点的场强的大小等于 该点的电力线密度。
E
dS
E
dN E dS 注意：dS 是垂直E 的
q
带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + +
均匀电场（匀强电场）：一组平行且疏密程度一致 的电场线。
6.2.2
电场强度通量
通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面的电 场强度通量 e 。 1. 均匀电场，E 垂直平面
dN E E dS
Φe ES
2. 均匀电场， E 与平面夹角
E
b. 在球体内的场强与场点离 球心的距离成正比。
E
q 4 0 R
3
R
r
r
均匀带电球体的电场
作业 6-9 6-13
1. 两个物理量 E , 2. 两个基本方程

Ε dS

q
i
int
S
0
,

L
E dl 0
3. 两种计算思路 E
(Q )

S
E dS
q
i
dE