(精编)福建省永春县第一中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题有答案

永春一中高一年下学期期末考数学科试卷（2018.07）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分 第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。

1
．下列各式中，值为2
-的是( )
A ．22sin 75cos 75︒+︒
B ．2sin 75cos 75︒︒
C ．22sin 151︒-
D ．22cos 15sin 15︒-︒
2．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件数应为( )
A ．10
B ．12
C ．18
D ．24
3．下列说法正确的是( )
A ．某厂一批产品的次品率为10%，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品；
B ．气象部门预报明天下雨的概率是90﹪，说明明天该地区90﹪的地方要下雨，其余 10﹪的地方不会下雨；
C ．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈；
D ．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5．
4．执行如右图所示的程序框图，若输出的值为21，则 判断框内应填 ( )
A ．5?n ≥
B ．6?n >
C ．5?n >
D ．6?n < 5．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，
终边在直线3x ﹣y=0上，则
()()3sin 3cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫
--- ⎪⎝⎭
（ ） A ．2 B ．
32 C ．2- D ．12
6．两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，从每个袋中各任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为( ) A ．
6
1
B ．
8
1 C ．
9
1 D ．
12
1
7．某中学为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学 生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用 下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均 每人的课外阅读时间为 ( )
A ．0.6小时
B ．0.8小时
C ．0.9小时
D ．1.1小时
则实数m 的取值范围是 ( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞
B ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12
C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞
D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12
10．某单位共有A 、B 、C 三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁，又已知A 和B 两部门人员平均年龄为30岁，B 和C 两部门人员平均年龄为34岁，则该单位全体人员的平均年龄为( )
A ．34 岁
B ．35 岁
C ．36岁
D ．37岁
11．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数()603sin
3
t
F t =+ (其中020t ≤≤)给出，()F t 的单位是辆/分，t 的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A ． [15，20]
B ．[10，15]
C ．[5，10]
D ．[0，5] 12．通常，满分为100分的试卷，60分为及格线．若 某次满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这 100人的卷面分数按照[)[)[]
96,84,
,
48,36,36,24 分组后绘制的频率分布直方图如图所示．由于及格 人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采 用“开方乘以10取整．．” 的方法进行换算以提高 及格率（实数．．a 的取整．．．等于不超过a 的最大整数）， 如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的 最终考试成绩，则按照这种方式求出的及格率与实际 及格率的差是( )
A ．0.45
B ．0.52
C ．0.60
D ．0.82
第II 卷（非选择题，共90分）
第12题图
二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。

13．若向量(2,4)AB =，(2,)BC n =-，(0,2)AC =，则n = ．
14．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1<0”发生的概率为______． 15．已知函数()sin()f x A x πφ=+
的部分图象如右图所示，点C B ,
是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于E D ,两点，
则)()(-⋅+的值为 .
16．设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数， 将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从 大到小排成的三位数记为D (a ) (例如a ＝815，则I (a )＝158，
D (a )＝851)。

阅读如右图所示的程序框图，运行相应的程序，
任意输入一个a ，输出的结果b ＝_____。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

请在答题卡各自题目的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．。

17．（本小题满分10分）
某教师为了了解本校高三学生一模考试的数学成绩情况，将所教两个班级的数学成绩(单位：分)绘制成如图所示的茎叶图．
（1）分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数；
（2）若规定成绩不小于115分为优秀，分别求出两个班级数学成绩的优秀率．
18．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作角α和β，0,,,22ππαβπ⎛⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，其终边分别交单位圆于A 、B 两点．
若A 、B 两点的横坐标分别是3
,510
-． （1）求tan α，tan β的值；
（2）求扇形AOB （与劣弧AB 对应的扇形)的面积S 的值．
19.（本小题满分12分）
某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示) ，其中样本数据分组区间为：[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100]．
（I ）求频率分布直方图中a 的值；
（II ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（III ）从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，
b ，(12=-
c ． （1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；
（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．
21.（本小题满分12分）
为了研究考前“限时抢分”强化训练次数x 与答题正确率%y 的关系，对某校某班学生进行了关注统计，得到如表数据：
（1）求保留整数）； （2）若用
3
i
i y x +（1,2,3,4i =）表示统计数据的“强化均值”（四舍五入，保留整数），若 “强化均值”的标准差在区间[0,2)内，则强化训练有效，请问这个班的强化训练是否有效？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
12
21
n
i i i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑，a y bx =-，样本数据1x ，2x ，…，n x 的标准差为s =
22.（本小题满分12分）
已知向量9(sin ,1),(sin ,cos )8
a x
b x x ==-， 设函数[]
(),0,f x a b x π=⋅∈． （1）求()f x 的值域； （2）求()f x 的单调区间； （3）设函数()f x 的图像向左平移
2
π
个单位长度后得到函数()h x 的图像， 若不等式()()sin 20f x h x x m ++-<有解，求实数m 的取值范围．
永春一中高一年下学期期末考数学科参考答案 （2018.07） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
13. 2- 14.
1
3
15. 2 16. 495 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题满分10分） （1）由所给的茎叶图知，
甲班50名同学的成绩由小到大排序，排在第25，26位的是108，109，数量最多的是103， 故甲班数学成绩的中位数是108.5， 众数是103； （4分）
乙班48名同学的成绩由小到大排序，排在第24，25位的是106，107，数量最多的是 92和101，故乙班数学成绩的中位数是106．5，众数为92和101． （8分） （2） 由茎叶图中的数据可知，甲班中数学成绩为优秀的人数为20，优秀率为
202
505
=； 乙班中数学成绩为优秀的人数为18，优秀率为183
488
=．（10分） 18．（本小题满分12分）
解：（1）由条件知cos α =，cos β =﹣．…… 2分
∵0,
,,22ππαβπ⎛⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴sin α = ，sin β =
=
，…… 4分
则tan α =
= ，tan β =
=﹣7；……6分 （2）∵∠AOB=β﹣α，
∴tan ∠AOB=tan （β﹣α）=
=
= ，…… 8分
∵0,
,,22ππαβπ⎛⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴0＜β﹣α＜π，则β﹣α=． …… 10分 即扇形AOB
∴22111122248
S lr r ππ
θ=
==⨯⨯= . …… 12分 19.（本小题满分12分）
（I ） 因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1，所以a=0.006. …… 3分
（II ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为 (0.022+0.018)×10=0.4． 所以估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率为0.4. …… 6分 （III ）受访职工中评分在[50,60)的有:50×0.006×10=3(人)，记为A 1,A 2,A 3； 受访职工中评分在[40,50)的有:50×0.004×10=2(人)，记为B 1,B 2. …… 8分 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是
{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 2,A 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{B 1,B 2},…… 10分 因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B 1,B 2}, …… 11分 所以所抽取2人的评分都在[40,50)的的概率为1
10
p =. …… 12分 20．（本小题满分12分）
解：（1）因为()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b
，()
12=-c ，
所以1===a b c ，
且cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b ． …… 3分 因为+=a b c ，所以2
2+=a b
c ，即a
2
2 a ⋅ b b 2
1，
所以12sin ()11αβ+-+=，即1sin ()2
αβ-=-． …… 6分 （2）因为5π6α=
，所以()
12
=，a ．
依题意，(
)
1sin cos 2ββ+=--，b c ． …… 7分
因为()//+a b c
，所以)()11cos sin 022
ββ-
--=．
化简得，11sin 22
ββ=，所以()π1sin 32β-=． …… 10分
因为0πβ<<，所以ππ2π333
β-<-<． 所以ππ36β-=，即π2β=． …… 12分 20．（本小题满分12分）
解：（1）由所给数据计算得： 2.5x =，40y =，………………………（2分）
41
470i i i x y xy =-=∑，4
2
21
45i i x x =-=∑，
4
1
4
2
2
1
470
145
4i i
i i
i x y x y
b x
x
==-=
=
=-∑∑，………………………（4分）
4014 2.55a y bx =-=-⨯=，
所求回归直线方程是145y x =+，………………………（6分）
由100145x =+，得 6.79x =预测答题正确率是100%的强化训练次数为7次．…（8分） （2）经计算知，这四组数据的“强化均值”分别为5,6,8,9，平均数是7，………（10分）
“强化均值”的标准差是2s ==<，
所以这个班的强化训练有效．………………………（12分） 22.（本小题满分12分） （1）
222991
()sin cos 1cos cos cos cos 888f x x x x x x x =+-
=-+-=-+-……（2分） 2
11()(cos )2
8
f x x ∴=--+，
[]()1710,1cos 188
x x f x π∈∴-≤≤∴-
≤≤ ()f x ∴的值域为171,88⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
…………（4分）
（2）由2
11()(cos )2
8
f x x =--+
， 令cos t x =，则()2
11()()2
8
f x
g t t ==--+ 当0,
3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，112t ≤≤，且cos t x =为减函数 又2
1
1()()2
8g t t =--+
在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上时减函数，()f x ∴在0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数 当,3x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦时，112t -≤≤，且cos t x =为减函数
又2
1
1()()2
8g t t =--+
在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上时增函数，()f x ∴在,3ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数 综上，()f x 的单调增区间为0,
3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间为,3ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.…………（8分） （3）函数2
1()cos cos 8f x x x =-+-，[]0,x π∈的图像向左平移2
π
个单位长度后得到函数()h x 的图像，
2
2
11()cos cos sin sin 2288h x x x x x ππ⎛
⎫
⎛⎫∴=-+
++-=--- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，
依题意，不等式()()sin 2m f x h x x >++在0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
有解， 设5
()()sin 2cos sin sin 24
y f x h x x x x x =++=--
+ 52sin cos cos sin ,0,42x x x x x π⎡⎤
=+--∈⎢⎥⎣⎦
令[]cos sin ,
0,1,142t x x x x t ππ⎛
⎫⎡⎤
=-=
+∈∴∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，
则[]2
2
11,1,142y t t t t ⎛⎫
=-+-=--∈- ⎪⎝⎭
∴函数()()sin 2y f x h x x =++的值域为9,04⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
∴min 94
m y >=-
故实数m 的取值范围为9,4⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
.………（12分）。