集合-绝对值-区间.pptx
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作 a A , 读作“a属于A”。否则记作a A ,读作
“a不属于A”。
不含任何元素的集合叫做空集，记作
例如，方程 x2 y2 1 的实数解是一个空集。
（3）集合元素具有三个基本特征：
※ 元素的确定性：对于任何一个对象都能确定它是 不是某一集合的元素。
※ 元素的互异性：集合中的元素是各不相同的，相 同的两个元素归并到同一集合中的只取其中一个。
数轴上表示点a与点b之间的线段，包括其两个端点 （图1.5）。
开区间（a,b）
闭区间 [a,b]
a
bx
图1.4
a
图1.5
bx
还有其它类型的区间：
x | a x b 记作（a，b],称为半开区间； x | a x b 记作[a，b),称为半开区间； x | x a 或 x | x a 记作(a,) 或(, a) ，称为半无穷区间；
属性。
例如： 1. 满足不等式a<x<b的所有x的集合，可表示为
或 2. 表示所有的圆心在原点的圆的集合为：
3. 表示所有在直线 上的点的集合为：
二、子集、交集、并集和补集
※ 子集：如果集合A中的每一个元素都属于集合B， 则称A为B的子集，记为
或
读作“A包含于B”或“B包含于A”。 例如：R表示全体实数的集合，Q表示全体有理数
※ 全集：如果所讨论的集合都是某一个集合 的 子集，那么集合 称为全集。
※ 补集：如果集合A是全集 的子集，则在 中 不属于A的元素所组成的集合，叫做集合A 在集合 的补集，简称集合A的补集，记作 。
如图1.3中阴影部分是集合A的补集 （长方形 表示全集 ），它可表示为
=
显然， 其中 表示集合 的补集。 例如，全集 为所有实数的集合 。Q表示所有有 理数的集合，则 = 即 为所有无理数的集合。
的集合，显然Q中每个元素都属于R，所有集合Q是集 合R的子集。
※ 真子集：如果A是B的子集，并且集合B中至少 有一个元素不属于A。那么集合A叫做集合B的真子 集，记作
例如，所有有理数的集合Q是所有实数的集合R的 真子集，即
由定义可知，任何一个集合A是它自己的子集,即
。
注：空集可认为是任何集合的子集。
x | x为任何实数 记作（ ， ），称为无穷区间等。
※ 邻域
定义：集合x || x a | 称为点a的邻域。它可以用开区
间来表示。
事实上，
| x a |
去绝对值，得
xa
即
a x a
就是说，点a的 邻域就是开区间(a , a )。
从数轴上看，点a的 邻域表示：以点a为中心， 长度为 2的 开区间。
1.1 集合 绝对值 区间
一、集合
（1）定义：具有某种属性的一些对象所组成的全体 称为集合。集合里的各个对象叫做这个集合的元素。
例如：某班全体同学组成一个集合；地球上 所有的国家组成一个集合；数1.2.3.4.5组成一个集 合。满足不等式a<x<b的x组成一个集合；第一、 三象限分角线上所有的点组成一个集合等等。
a
a
a
图1.6
1
例如，把-1的 2 邻域表示成开区间，即
| x (1) | 1 2
去绝对值，得
1 1 x 1 1
2
2
即
1 x 1 1
2
2
就是开区间
(
3 2
,
1 2
)
。
五、小结
1、集合的概念和特性 2、绝对值的概念和特性 3、区间的概念和特性
事实上， 即
a abb ab b
ab a b
（c） ab a b
a a (b 0) bb
这两个公式是显然的。
四、区间
定义1 集合x | a x b 称为开区间，记作（a，b）。
它在数轴上表示点a与点b之间的线段，但不包括端点 a及端点b（图1.4）；
定义2 集合x | a x b 称为闭区间，记作[a,b]。它在
※ 集合相等：设两个集合A,B。如果 ，同时 , 则称集合A与集合B相等。记作
※ 交集： 既属于集合A又属于集合B的所有元 素的集合叫做集合A与集合B的交集，记作
图1.1
图1.2
※ 并集：所有属于A或属于B的元素组成的集合 叫做集合A与集合B的并集，记作
如图1.2中阴影部分表示集合A与B的并集。 例如， 那么
图1.3
三、绝对值
（1）定义：实数a的绝对值（记作|a|）规定为
a的绝对值在数轴上表示点a到原点的距离。
（2）绝对值有以下的一些性质：
（a） a a a ；
（b）如果
，反之亦然。
（c）如果
，反之亦然。
（3）绝对值的运算规则：
（a）
（a，b为实数）。
事实上
两式相加，得
所以
(b) a b a b
（2）元素和集合的关系
一般地，如果是集合A的元素就记为“∈A”， 读作“属于A”；如果不是集合A的元素，就记为 “A”，读作“不属于A”.例如 2∈N，-3∈Z ， Q等等.
习惯上集合用大写字母如A，B，C…等表示，而 元素用小写字母如a，b，c…表示。
含有有限个元素的集合称为有限集。含有无限个元 素的集合称为无限集。如果a是集合A的元素，则记
※ 元素的无序性：在同一集合中不考虑元素之间的 顺序.
(4) 集合的表示方法
※ 列举法：就是把集合中所有元素都列举出来写在 大括号内。
例如：集合A包含1、2、3、4、5五个数，就可记为
※ 描述法：就是把集合中的元素的公共属性描述出来。
，再画上一竖
线或“：”，然后再写上这个集合的元素所具有的共同
“a不属于A”。
不含任何元素的集合叫做空集，记作
例如，方程 x2 y2 1 的实数解是一个空集。
（3）集合元素具有三个基本特征：
※ 元素的确定性：对于任何一个对象都能确定它是 不是某一集合的元素。
※ 元素的互异性：集合中的元素是各不相同的，相 同的两个元素归并到同一集合中的只取其中一个。
数轴上表示点a与点b之间的线段，包括其两个端点 （图1.5）。
开区间（a,b）
闭区间 [a,b]
a
bx
图1.4
a
图1.5
bx
还有其它类型的区间：
x | a x b 记作（a，b],称为半开区间； x | a x b 记作[a，b),称为半开区间； x | x a 或 x | x a 记作(a,) 或(, a) ，称为半无穷区间；
属性。
例如： 1. 满足不等式a<x<b的所有x的集合，可表示为
或 2. 表示所有的圆心在原点的圆的集合为：
3. 表示所有在直线 上的点的集合为：
二、子集、交集、并集和补集
※ 子集：如果集合A中的每一个元素都属于集合B， 则称A为B的子集，记为
或
读作“A包含于B”或“B包含于A”。 例如：R表示全体实数的集合，Q表示全体有理数
※ 全集：如果所讨论的集合都是某一个集合 的 子集，那么集合 称为全集。
※ 补集：如果集合A是全集 的子集，则在 中 不属于A的元素所组成的集合，叫做集合A 在集合 的补集，简称集合A的补集，记作 。
如图1.3中阴影部分是集合A的补集 （长方形 表示全集 ），它可表示为
=
显然， 其中 表示集合 的补集。 例如，全集 为所有实数的集合 。Q表示所有有 理数的集合，则 = 即 为所有无理数的集合。
的集合，显然Q中每个元素都属于R，所有集合Q是集 合R的子集。
※ 真子集：如果A是B的子集，并且集合B中至少 有一个元素不属于A。那么集合A叫做集合B的真子 集，记作
例如，所有有理数的集合Q是所有实数的集合R的 真子集，即
由定义可知，任何一个集合A是它自己的子集,即
。
注：空集可认为是任何集合的子集。
x | x为任何实数 记作（ ， ），称为无穷区间等。
※ 邻域
定义：集合x || x a | 称为点a的邻域。它可以用开区
间来表示。
事实上，
| x a |
去绝对值，得
xa
即
a x a
就是说，点a的 邻域就是开区间(a , a )。
从数轴上看，点a的 邻域表示：以点a为中心， 长度为 2的 开区间。
1.1 集合 绝对值 区间
一、集合
（1）定义：具有某种属性的一些对象所组成的全体 称为集合。集合里的各个对象叫做这个集合的元素。
例如：某班全体同学组成一个集合；地球上 所有的国家组成一个集合；数1.2.3.4.5组成一个集 合。满足不等式a<x<b的x组成一个集合；第一、 三象限分角线上所有的点组成一个集合等等。
a
a
a
图1.6
1
例如，把-1的 2 邻域表示成开区间，即
| x (1) | 1 2
去绝对值，得
1 1 x 1 1
2
2
即
1 x 1 1
2
2
就是开区间
(
3 2
,
1 2
)
。
五、小结
1、集合的概念和特性 2、绝对值的概念和特性 3、区间的概念和特性
事实上， 即
a abb ab b
ab a b
（c） ab a b
a a (b 0) bb
这两个公式是显然的。
四、区间
定义1 集合x | a x b 称为开区间，记作（a，b）。
它在数轴上表示点a与点b之间的线段，但不包括端点 a及端点b（图1.4）；
定义2 集合x | a x b 称为闭区间，记作[a,b]。它在
※ 集合相等：设两个集合A,B。如果 ，同时 , 则称集合A与集合B相等。记作
※ 交集： 既属于集合A又属于集合B的所有元 素的集合叫做集合A与集合B的交集，记作
图1.1
图1.2
※ 并集：所有属于A或属于B的元素组成的集合 叫做集合A与集合B的并集，记作
如图1.2中阴影部分表示集合A与B的并集。 例如， 那么
图1.3
三、绝对值
（1）定义：实数a的绝对值（记作|a|）规定为
a的绝对值在数轴上表示点a到原点的距离。
（2）绝对值有以下的一些性质：
（a） a a a ；
（b）如果
，反之亦然。
（c）如果
，反之亦然。
（3）绝对值的运算规则：
（a）
（a，b为实数）。
事实上
两式相加，得
所以
(b) a b a b
（2）元素和集合的关系
一般地，如果是集合A的元素就记为“∈A”， 读作“属于A”；如果不是集合A的元素，就记为 “A”，读作“不属于A”.例如 2∈N，-3∈Z ， Q等等.
习惯上集合用大写字母如A，B，C…等表示，而 元素用小写字母如a，b，c…表示。
含有有限个元素的集合称为有限集。含有无限个元 素的集合称为无限集。如果a是集合A的元素，则记
※ 元素的无序性：在同一集合中不考虑元素之间的 顺序.
(4) 集合的表示方法
※ 列举法：就是把集合中所有元素都列举出来写在 大括号内。
例如：集合A包含1、2、3、4、5五个数，就可记为
※ 描述法：就是把集合中的元素的公共属性描述出来。
，再画上一竖
线或“：”，然后再写上这个集合的元素所具有的共同