辽宁省丹东市八年级下学期期末考试数学试题解析版

辽宁省丹东市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每小题2分，共18分）
1．已知：a＞b，则下列不等式一定成立的是（）
A．a+4＜b+4B．2a＜2b C．﹣2a＜﹣2b D．a﹣b＜0
2．下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）
A．x2﹣1B．x2+2x﹣1C．x2+x+1D．4x2+4x+1
4．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）
A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3
5．若关于x的分式方程＝有增根，则m的值为（）
A．0B．1C．1或0D．1或﹣1
6．如果把的a和b都扩大为原来的2倍，那么这个代数式的值（）A．不变B．扩大2倍
C．缩小到原来的D．缩小到原来的
7．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF相交于点G．下列结论错误的是（）
A．∠BAD＝2∠DFC B．若BC＝4EF，则AB：BC＝3：8
C．AF＝DE D．∠BGC＝90°
8．一次函数y＝ax+3与y＝bx﹣1的图象如图所示，其交点坐标B（﹣3，m），则不等式ax﹣bx+3
＞﹣1的解集正确的是（）
A．x＜﹣3B．x≤﹣3C．x≥﹣3D．x＞﹣3
9．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长是（）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（每小题2分，共18分）
10．某工厂储存了a天用的煤mt，要使储存的煤比预定多用d天，每天应节约用煤．11．分解因式：4x2﹣9y2＝．
12．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝2，则AB与CD 之间的距离等于．
13．当x＝时，分式的值为零．
14．已知y2﹣my+是完全平方式，则m的值为．
15．腰长为9cm，底角为15°的等腰三角形的面积为cm2．
16．如图所示的正六边形ABCDEF，连结FD，则∠FDC的大小为．
17．关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是．
18．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG＝EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；
⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是．
三、（每小题8分，共8分）
19．（8分）（1）因式分解：（a2+b2）2﹣4a2b2
（2）解不等式组：
四、（每小题10分，共10分）
20．（10分）（1）先化简，再求值：（a+）÷（﹣a+2），请从﹣1，0，1中选取一个作为a的值代入求值．
（2）解方程：﹣1＝
五、（21题6分，22题6分，共12分）
21．（6分）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度得△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2．
22．（6分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AB、BC于点M、E，边AC的垂直平分线交AC、BC于点N、F，△AEF的周长为10．
（1）求BC的长；
（2）若∠B+∠C＝45°，EF＝，求△AEF的面积．
六、（23题7分，24题8分，共15分）
23．（7分）某学校为绿化环境，计划种植600棵树，实际劳动中每小时植树的数量比原计划多20%，结果提前2小时完成任务，求原计划每小时种植多少棵树？
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE ∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．
（1）判断四边形BDEF的形状，并说明理由；
（2）若∠C＝45°，BD＝2，求D，F两点的距离．
七、（本题9分）
25．（9分）我市教育行政部门计划今年组织部分教师到外地学习，预定宾馆住宿是有条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案：甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超过的部分按九折收费；乙家是45人（含45）人以内的按标准收费，超过45人的超出的部分按八折收费，如果你是这个部门的负责人，当教师人数超过35人时，你应选择哪家宾馆？
八、（本题10分）
26．（10分）已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；
（2）如图2，若∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；
若不成立，请说明理由．
辽宁省丹东市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每小题2分，共18分）
1．已知：a＞b，则下列不等式一定成立的是（）
A．a+4＜b+4B．2a＜2b C．﹣2a＜﹣2b D．a﹣b＜0
【分析】根据不等式的性质逐项进行分析判断．
【解答】解：A、由不等式a＞b的两边同时加上4，不等号的方向改变，即a+4＞b+4；故本选项错误；
B、由不等式a＞b的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＞2b；故本选项错误；
C、由不等式a＞b的两边同时乘以﹣2，不等号的方向改变，即﹣2a＜﹣2b；故本选项正确；
D、∵a＞b，∴a﹣b＞0；故本选项错误．
故选：C．
【点评】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2．下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形
两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）
A．x2﹣1B．x2+2x﹣1C．x2+x+1D．4x2+4x+1
【分析】根据完全平方公式，可得答案．
【解答】解：4x2+4x+1＝（2x+1）2，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解，熟记公式是解题关键．
4．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）
A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3
【分析】先将每一个不等式解出，然后根据不等式的解集是x＞3求出m的范围
【解答】解：①x+8＜4x﹣1
﹣3x＜﹣9
x＞3
②x＞m
∵不等式组的解集为x＞3
∴m≤3
故选：C．
【点评】本题考查不等式组的解法，解题的关键是熟练一元一次不等式的解法，以及正确理解不等式组的解集，本题属于中等题型．
5．若关于x的分式方程＝有增根，则m的值为（）
A．0B．1C．1或0D．1或﹣1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母得：x+1＝2m，
由分式方程有增根，得到x＝1或x＝﹣1，
把x＝1代入整式方程得：m＝1；
把x＝﹣1代入整式方程得：m＝0，此时方程无解，不合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
6．如果把的a和b都扩大为原来的2倍，那么这个代数式的值（）A．不变B．扩大2倍
C．缩小到原来的D．缩小到原来的
【分析】根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：把的a和b都扩大为原来的2倍，得
＝•，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的性质，利用分式的性质是解题关键．
7．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF相交于点G．下列结论错误的是（）
A．∠BAD＝2∠DFC B．若BC＝4EF，则AB：BC＝3：8
C．AF＝DE D．∠BGC＝90°
【分析】求出AB＝CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线性质求出∠ABE＝∠AEB，推出AB＝AE，同理求出DF＝CD，求出AE＝DF可知选项C正确，由∠A＝∠BCD＝2∠FDC，可知
选项A正确，由∠GBC＝∠ABC，∠GCB＝∠BCD，又∠ABC+∠BCD＝180°，推出∠GBC+∠GCB＝90°，可知D正确；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠A＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠EBC，∠BCF＝∠DFC，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BCF＝∠DCF，
∴∠ABE＝∠AEB，∴∠BAD＝2∠DFC，故A正确
∴AB＝AE，
同理DF＝CD，
∴AE＝DF，
即AE﹣EF＝DF﹣EF，∴AF＝DE．故C正确
∵∠GBC＝∠ABC，∠GCB＝∠BCD，
又∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠GBC+∠GCB＝90°，
∴∠BGC＝90°，故D正确，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．一次函数y＝ax+3与y＝bx﹣1的图象如图所示，其交点坐标B（﹣3，m），则不等式ax﹣bx+3＞﹣1的解集正确的是（）
A．x＜﹣3B．x≤﹣3C．x≥﹣3D．x＞﹣3
【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解集．
【解答】解：观察函数图象，可知：当x＞﹣3时，直线y＝ax+3在直线y＝bx﹣1的上方，∴不等式ax﹣bx+3＞﹣1的解集为x＞﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
9．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长是（）
A．4B．3C．2D．1
【分析】连接DE并延长交AB于H，由已知条件可判定△DCE≌△HAE，利用全等三角形的性质可得DE＝HE，进而得到EF是三角形DHB的中位线，利用中位线性质定理即可求出EF的长．【解答】解：连接DE并延长交AB于H，
∵CD∥AB，
∴∠C＝∠A，∠CDE＝∠AHE，
∵E是AC中点，
∴AE＝CE，
∴△DCE≌△HAE（AAS），
∴DE＝HE，DC＝AH，
∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF＝BH，
∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣DC＝2，
∴EF＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中位线的判定和性质，解题的关键是连接DE和AB相交构造全等三角形，题目设计新颖．
二、填空题（每小题2分，共18分）
10．某工厂储存了a天用的煤mt，要使储存的煤比预定多用d天，每天应节约用煤t．【分析】根据每天节约用煤量＝原计划每天用煤量﹣实际每天用煤量列代数式即可．
【解答】解：∵每天节约用煤量＝原计划每天用煤量﹣实际每天用煤量，
∴﹣＝（t）．
故答案为t．
【点评】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
11．分解因式：4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y）．
【分析】直接利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：原式＝（2x+3y）（2x﹣3y）．
故答案为：（2x+3y）（2x﹣3y）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．12．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝2，则AB与CD 之间的距离等于4．
【分析】过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE＝OF＝OG，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAC+∠ACD＝180°，然后求出∠EOF+∠EOG＝180°，从而判断出F、O、G三点共线，然后求解即可．
【解答】解：过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，
∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，
∴OE＝OF，OE＝OG，
∴OE＝OF＝OG＝2，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠EOF+∠EOG＝（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ACD）＝180°，
∴F、O、G三点共线，
∴AB与CD之间的距离＝OF+OG＝2+2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于作出辅助线并证明F、O、G三点共线．
13．当x＝﹣3时，分式的值为零．
【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
【解答】解：要使分式由分子x2﹣9＝0解得：x＝±3．
而x＝﹣3时，分母x﹣3＝﹣6≠0．
x＝3时分母x﹣3＝0，分式没有意义．
所以x的值为﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
14．已知y2﹣my+是完全平方式，则m的值为±1．
【分析】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，这里首末两项是y和这两个数的平方，那么
中间一项为加上或减去y和积的2倍，故m＝±1．
【解答】解：∵（y±）2＝y2±y+，
∴在y2﹣my+中，±y＝my，
解得m＝±1．
故答案为：±1
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
15．腰长为9cm，底角为15°的等腰三角形的面积为cm2．
【分析】如图，AB＝AC＝9cm，作BD⊥AC于D．解直角三角形求出BD即可解决问题；
【解答】解：如图，AB＝AC＝9cm，作BD⊥AC于D．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝15°，
∴∠DAB＝∠ABC+∠C＝30°，
∴BD＝AB＝cm，
＝•AC•BD＝，
∴S
△ABC
故答案为．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．如图所示的正六边形ABCDEF，连结FD，则∠FDC的大小为90°．
【分析】首先求得正六边形的内角的度数，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在正六边形ABCDEF中，∠E＝∠EDC＝120°，
∵EF＝DE，
∴∠EDF＝∠EFD＝30°，
∴∠FDC＝90°，
故答案为：90°
【点评】此题考查了正多边形和圆．等腰三角形的性质，此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
17．关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是a＞1．
【分析】先解分式方程得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得答案．
【解答】解：解方程＝1得：x＝a﹣1，
∵方程＝1的解是正数，
∴a﹣1＞0，
解得：a＞1，
故答案为：a＞1．
【点评】此题考查了分式方程的解，表示出分式方程的解是解本题的关键．
18．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD，
AB的中点．下列结论：①EG＝EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；
⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是①②④．
【分析】由中点的性质可得出EF∥CD，且EF＝CD＝BG，结合平行即可证得②结论成立，由
BD＝2BC得出BO＝BC，即而得出BE⊥AC，由中线的性质可知GP∥BE，且GP＝BE，AO＝EO，通过证△APG≌△EPG得出AG＝EG＝EF得出①成立，再证△GPE≌△FPE得出④成立，此题得解．
【解答】解：令GF和AC的交点为点P，如图所示：
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，且EF＝CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∴∠FEG＝∠BGE（两直线平行，内错角相等），
∵点G为AB的中点，
∴BG＝AB＝CD＝FE，
在△EFG和△GBE中，，
∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，
∴∠EGF＝∠GEB，
∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），
∵BD＝2BC，点O为平行四边形对角线交点，
∴BO＝BD＝BC，
∵E为OC中点，
∴BE⊥OC，
∴GP⊥AC，
∴∠APG＝∠EPG＝90°
∵GP ∥BE ，G 为AB 中点，
∴P 为AE 中点，即AP ＝PE ，且GP ＝BE ，
在△APG 和△EGP 中，
， ∴△APG ≌△EPG （SAS ），
∴AG ＝EG ＝AB ，
∴EG ＝EF ，即①成立，
∵EF ∥BG ，GF ∥BE ，
∴四边形BGFE 为平行四边形，
∴GF ＝BE ，
∵GP ＝BE ＝GF ，
∴GP ＝FP ，
∵GF ⊥AC ，
∴∠GPE ＝∠FPE ＝90°
在△GPE 和△FPE 中，
，
∴△GPE ≌△FPE （SAS ），
∴∠GEP ＝∠FEP ，
∴EA 平分∠GEF ，即④成立．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．
三、（每小题8分，共8分）
19．（8分）（1）因式分解：（a 2+b 2）2﹣4a 2b 2
（2）解不等式组：
【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式，进而结合完全平方公式分解因式即可；
（2）分别解不等式，进而得出不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣2ab）
＝（a+b）2（a﹣b）2；
（2），
解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x＜2，
在同一数轴上表示不等式①②的解集，如图．
，
因此，原不等式组的解集为：x≤1．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式以及一元一次不等组的解法，正确掌握解题方法是解题关键．
四、（每小题10分，共10分）
20．（10分）（1）先化简，再求值：（a+）÷（﹣a+2），请从﹣1，0，1中选取一个作为a的值代入求值．
（2）解方程：﹣1＝
【分析】（1）先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的x的值代入计算可得；
（2）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝（+）÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
∵a≠±1，
∴取x＝0，
则原式＝1；
（2）方程两边都乘以（x+2）（x﹣2），得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝8，
解得：x＝2，
检验，将x＝2代入（x+2）（x﹣2）＝0，
所以，x＝2 是原方程的增根，
原方程无解．
【点评】本题主要考查分式的化简求值与解分式方程的能力，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
五、（21题6分，22题6分，共12分）
21．（6分）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度得△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2，即为所求．
【点评】此题主要考查了平移变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
22．（6分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AB、BC于点M、E，边AC的垂直平分线交AC、BC于点N、F，△AEF的周长为10．
（1）求BC的长；
（2）若∠B+∠C＝45°，EF＝，求△AEF的面积．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，AF＝FC，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据三角形内角和定理得到∠FAE＝90°，根据完全平方公式、三角形面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵边AB的垂直平分线交AB、BC于点M、E，
∴AE＝BE，
∵边AC的垂直平分线交AC、BC于点N、F，
∴AF＝FC，
∵△AEF的周长为10，
∴AE+EF+AF＝BE+EF+FC＝BC＝10，
则BC＝10；
（2）∵∠B+∠C＝45°，
由（1）知∠B+∠C＝∠BAE+∠FAC，
∴∠FAE＝90°，
∵△AEF的周长为10，EF＝，
∴AE+AF＝，
∴（AE+AF）2＝，AE2+AF2＝，
∴AE•AF＝5，
则△AEF的面积＝×AE•AF＝2.5．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、勾股定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
六、（23题7分，24题8分，共15分）
23．（7分）某学校为绿化环境，计划种植600棵树，实际劳动中每小时植树的数量比原计划多20%，结果提前2小时完成任务，求原计划每小时种植多少棵树？
【分析】根据题意列出方程即可求出答案．
【解答】解：设原计划每小时种植x棵树．
由题意可知：＝+2
解得：x＝50
经检验：x＝50是所列方程的解，且符合题意，
答：原计划每小时种植50棵树．
【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确理解题意列出方程，本题属于基础题型．24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE ∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．
（1）判断四边形BDEF的形状，并说明理由；
（2）若∠C＝45°，BD＝2，求D，F两点的距离．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，证出∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG 是平行四边形，得出∠DEG＝∠C，证出∠F＝∠DEG，得出BF∥DE，即可得出结论；
（2）证出△BDE、△BEF是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF＝BE＝BD＝，作FM⊥
BD于M，连接DF，则△BFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出FM＝BM＝BF＝1，得出DM＝3，在Rt△DFM中，由勾股定理求出DF即可．
【解答】（1）解：四边形BDEF为平行四边形，理由如下：
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C，
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG＝∠C，
∵BE＝BF，
∴∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC，
∴∠F＝∠DEG，
∴BF∥DE，
∴四边形BDEF为平行四边形．
（2）解：∵∠C＝45°，
∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，
∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，
∴BF＝BE＝BD＝，
作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：
则△BFM是等腰直角三角形，
∴FM＝BM＝BF＝1，
∴DM＝3，
在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF＝＝，
即D，F两点间的距离是．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和勾股定理是解决问题的关键．
七、（本题9分）
25．（9分）我市教育行政部门计划今年组织部分教师到外地学习，预定宾馆住宿是有条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案：甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超过的部分按九折收费；乙家是45人（含45）人以内的按标准收费，超过45人的超出的部分按八折收费，如果你是这个部门的负责人，当教师人数超过35人时，你应选择哪家宾馆？
【分析】根据优惠时的实际花费相同的等量关系，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
【解答】解：设甲、乙两家宾馆收费分别为y1元和y2元，共有x名教师
则y1＝120×35+（x﹣35）×0.9×120，即y1＝108x+420
y2＝120×45+（x﹣45）×0.8×120，即y2＝96x+1080
（1）当y1＝y2得108x+420＝96x+1080 解得x＝55
（2）当y1＞y2得108x+420＞96x+1080 解得x＞55
（3）当y1＜y2108x+420＜96x+1080 解得x＜55
所以，当教师为55人时两家宾馆一样，当教师人数多于55条时．选择乙宾馆，
当教师人数超过35少于55人时．选择甲宾馆．
【点评】此题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是用代数式列出在甲、乙两宾馆的费用，用了分类讨论的方法，是解决此类问题常用的方法．
八、（本题10分）
26．（10分）已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；
（2）如图2，若∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；
若不成立，请说明理由．
【分析】（1）得到∠ACD＝∠ACB＝30°后再可以证得AD＝AB＝AC从而，证得结论；（2）过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F，证得△CED≌△CFB后即可得到AD+AB ＝AE﹣ED+AF+FB＝AE+AF，从而证得结论．
【解答】（1）关系是：AD+AB＝AC（1分）
证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°
∴∠CAD＝∠CAB＝60°
又∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB＝30°
则AD＝AB＝AC（直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半）（4分）
∴AD+AB＝AC（5分）；
（2）仍成立．
证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F（6分）
∵AC平分∠MAN
∴CE＝CF（角平分线上点到角两边距离相等）（7分）
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠CDE＝180°
∴∠CDE＝∠ABC
又∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB（AAS）（10分）
∵ED＝FB，∴AD+AB＝AE﹣ED+AF+FB＝AE+AF（11分）
由（1）知AE+AF＝AC（12分）
∴AD+AB＝AC（13分）
【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质等知识，是一道比较好的综合题．。