2016-2017学年广东省肇庆实验中学、新桥中学联考高一(下)期末数学试卷

2016-2017学年广东省肇庆实验中学、新桥中学联考高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的值为（）
A.
B.
C.
D.
2. 已知向量，向量，则
A. B. C. D.
3. 角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，已知终边上点，则
A.
B.
C.
D.
4. 已知等比数列中，，，则
A.
B.
C.
D.
5. 的内角、、的对边分别为、、．已知，，，则
A. B.
C. D.
6. 设变量，满足约束条件，则的最大值为（）
A.
B.
C.
D.
7. 将函数的图象向右平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（）
A.
B.
C.
D.
8. 设向量，满足，，则
A. C.
D.
9. 是（）
A.最小正周期为的偶函数
B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数
D.最小正周期为的奇函数
10. 公差为正数的等差数列的前项和为，，且已知、的等比中项是，求
A. B.
C. D.
11. 设为所在平面内一点，则（）
A.
B.
C.
D.
12. 已知实数，满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
1. 已知向量，．若向量满足，，则________．
2. 面积为，且，，则________．
3. 当函数取得最小值时，________．
4. 已知正方形的边长为，为的中点，则________．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
1. 若，是第三象限的角，则
（1）求的值；
（2）求
2. 已知等差数列满足，
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和及的最大值．
3. 函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）记内角，，的对边分别为，，，若，且，求的值．
4. 已知数列的各项均为正数，表示数列的前项的和，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
5. 已知，，直线和是函数图象的两条相邻的对称轴，则
（1）求的解析式；
（2）设．
6. 已知公比为正数的等比数列，首项，前项和为，且、、成等差数列．（1）求数列的通项公式；
（2）设．
参考答案与试题解析
2016-2017学年广东省肇庆实验中学、新桥中学联考高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
C
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．
【解答】
解：，
故选：．
2.
【答案】
A
【考点】
平面向量的简单坐标运算
【解析】
根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可
【解答】
解：向量，向量，
则，
则，
故选：
3.
【答案】
B
【考点】
任意角的三角函数
二倍角的余弦公式
【解析】
由条件利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用二倍角的余弦公式求得的值
【解答】
解：∵角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，已知终边上点，
∴，
∴，
∴，
故选：
4. D
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
等比数列的公比设为，运用等比数列的通项公式，建立方程组，解方程即可得到首项和公比．
【解答】
解：等比数列的公比设为，
由，，可得：
，，
解得，，
故选：．
5.
【答案】
C
【考点】
三角形的面积公式
【解析】
利用余弦定理直接求解即可．
【解答】
解：∵的内角、、的对边分别为、、．
，，，
∴，即，
解得．
故选：．
6.
【答案】
C
【考点】
简单线性规划
【解析】
作出不等式组表示的可行域，由表示可行域内的点与原点的斜率，求出，的坐标，由直线的斜率公式，结合图形即可得到所求的最大值．
【解答】
解：作出约束条件
表示的可行域，
由表示可行域内的点与原点的斜率，
由解得，即有，
由代入可得，即，
，，
结合图形可得的最大值为．
故选：．
7.
【答案】
A
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
根据函数图象平移变换规律得出．
【解答】
解：函数的最小正周期，
∴函数向右平移个单位后的函数为．
故选．
8.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
运用向量的平方即为模的平方，化简整理，即可得到所求向量的数量积．
【解答】
解：，，
可得，，
即有，
，
两式相减可得．
故选．
9.
【答案】
D
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
把三角函数式整理，平方展开，合并同类项，逆用正弦的二倍角公式，得到的形式，这样就可以进行三角函数性质的运算．
【解答】
解：∵
，
∴且为奇函数，B
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
利用公差为正数的等差数列的前项和公式、通项公式和等比中项性质列出方程组，求出，，由此能求出．【解答】
解：公差为正数的等差数列的前项和为，，且已知、的等比中项是，
∴，
解得，，
∴．
故选：．
11.
【答案】
D
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
．
【解答】
解：如图，
，
故选：．
12.
【答案】
B
【考点】
简单线性规划
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的最小值是，确定的取值．
【解答】
解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由目标函数的最小值是，
得，即当时，函数为，此时对应的平面区域在直线的下方，
由，解得，即，
同时也在直线上，即，
故选：
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
1.
【答案】
【考点】
平面向量的简单坐标运算
【解析】
根据题意，设，分析可得若，则有①，若，则有②，联立①②，解可得、的值，即可得答案．【解答】
解：根据题意，设，
则，，
若，则有，①
若，则有，②
联立①②，解可得，，
则，
故答案为：．
2.
【答案】
【考点】
三角形的面积公式
【解析】
由．得．
【解答】
解：∵面积为，且，
∴．
∴．
故答案为：
3.
【答案】
【考点】
正弦函数的图象
三角函数的化简求值
【解析】
化简的解析式可得，再利用正弦函数的性质得出取得最小值时对应的．
【解答】
解：，
∴即时，取得最小值．【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
根据题意，建立平面直角坐标系，用坐标表示出、，计算的值．
【解答】
解：建立平面直角坐标系，如图所示，
正方形的边长为，为的中点，
∴，，，；
则，
∴，
，
∴．
故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
1.
【答案】
解：（1）因为，是第三象限的角，
可得，
；
（2）由（1）可得，
则．
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
（1）运用同角的平方关系，可得的值，再由两角和的正弦公式，计算即可得到所求值；（2）运用同角的商数关系，可得的值，再由二倍角的正切公式，计算即可得到所求值．【解答】
解：（1）因为，是第三象限的角，
可得，
；
（2）由（1）可得，
2.
【答案】
（本题满分分）
解：（1）设数列公差为，
∵等差数列满足，，
∴，…
解得，，…
∴．…
（2）∵等差数列中，，，，
∴…
…
∵，
∴或时，取最大值．…
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
（1）设数列公差为，利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的通项公式．（2）由等差数列中，，，，求出，利用配方法能求出或时，取最大值．
【解答】
（本题满分分）
解：（1）设数列公差为，
∵等差数列满足，，
∴，…
解得，，…
∴．…
（2）∵等差数列中，，，，
∴…
…
∵，
∴或时，取最大值．…
3.
【答案】
解：（1）∵，∴
（2）由（1）可知，，
∴
∵，∴
又，且，
所以
【考点】
三角形的面积公式
余弦函数的图象
【解析】
（1）由，得（2）由（1）可知，，得，，又，且，可得．
【解答】
解：（1）∵，∴
（2）由（1）可知，，
∴
∵，∴
又，且，
所以
4.
【答案】
解：（1）∵，
∴当时，，且，
可得，
∵，
∴当时，，
∴，
∴，
又，
∴，
则是以为首项，以为公差的等差数列，
故，；
（2）由
可得
．
【考点】
数列的求和
数列递推式
【解析】
（1）由数列的递推式：当时，，当时，，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）求得，运用数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．
【解答】
解：（1）∵，
∴当时，，且，
可得，
∵，
∴当时，，
∴，
∴，
又，
∴，
则是以为首项，以为公差的等差数列，
故，；
（2）由
可得
5.
【答案】
解：（1）由题意可知函数的最小正周期为
，即，；…
∴；
令，，…
将代入可得，；
∵，∴；…
∴；…
（2）∵，
∴
，…
令，，
解得，；
∵，
∴的单调减区间为．…
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
正弦函数的图象
【解析】
（1）根据题意求出、的值，得出的解析式；
（2）根据写出并化简，根据三角函数的图象与性质求出的单调减区间．【解答】
解：（1）由题意可知函数的最小正周期为
，即，；…
∴；
令，，…
将代入可得，；
∵，∴；…
∴；…
（2）∵，
∴
，…
令，，
解得，；
∵，
∴的单调减区间为．…
6.
【答案】
解：（1）依题意公比为正数的等比数列，首项，
设，所以，
即，
化简得，
从而，解得，
因为公比为正数，
所以，，；
（2），
则，
，
两式相减可得
，
化简可得．
【考点】
数列的求和
数列递推式
【解析】
（1）设公比为，由等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得，即可得到所求通项公式；（2）求得，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．【解答】
解：（1）依题意公比为正数的等比数列，首项，
设，
因为、、成等差数列，
所以，
即，
化简得，
从而，解得，
因为公比为正数，
所以，，；
（2），
则，
，
两式相减可得
，
化简可得．。