高考数学总复习 基础知识 第三章 第五节三角函数的图象与性质 文

第五节 三角函数的 图象与性质
1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象．
2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如值域、单调性、奇偶性、最大
值和最小值以及与x 轴交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π
2上的性质．了解三角函数的周期性．
知识梳理
一、正弦函数、余弦函数、正切函数的性质
(续上表)
二、研究函数y＝A sin(ωx＋φ)性质的方法
类比于研究y＝sin x的性质，只需将y＝A sin(ωx＋φ)中的ωx＋φ看成y＝sin x中的x，但在求y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数．研究函数y＝A cos(ωx＋φ)，y＝A tan(ωx＋φ)的性质的方法与其类似，也是类比、转化．
三、求三角函数的周期的常用方法
经过恒等变形化成“y＝A sin(ωx＋φ)，y＝A cos(ωx＋φ)，y＝A tan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式．
如：函数y＝A sin(ωx＋φ)，y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期都是2π
|ω|；函数y＝A tan(ωx＋φ)
的最小正周期是π
|ω|.
另外还有图象法和定义法．
基础自测
1．(2013·揭阳二模)设函数f (x )＝cos(2π－x )＋3cos ⎝⎛⎭⎫
π2－x ，则函数的最小正周期为( ) A.π2
B ．π
C ．2π
D ．4π
解析：函数f (x )＝cos x ＋3sin x ＝2⎝⎛⎭
⎫32sin x ＋12cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 故其最小正周期为2π
1＝2π，故选C.
答案：C
2．(2013·天津卷)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π
2上的最小值为( ) A ．－1
B ．－
2
2
C.2
2
D ．0
解析：因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，令n ＝2x －π
4
，则s in ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin n 在n ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值为sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－2
2.故选B. 答案：B
3．(2012·浙江名校新高考联盟二联) 若函数f (x )＝sin (x ＋α)－2cos(x －α)是奇函数，则sin αcos α＝________.
解析：因为函数f (x )＝sin(x ＋α)－2cos(x －α)是奇函数，所以f (0)＝sin α－2cos α＝0，即
tan α＝2.所以sin αcos α＞0，不妨设α为锐角，可得sin α＝25，cos α＝1
5
.所以sin αcos α
＝25
. 答案：25
4．(2012·合肥模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)在⎝⎛⎭⎫0，4π3上单调递增，在⎝⎛⎭⎫4π3，2π上单调递减，则ω＝___________.
1．(2013·山东卷)函数y ＝x co s x ＋sin x 的图象大致为( )
解析：函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排除B.取x ＝π
2，排除C ；取x ＝π，排除A ，故
选D.
答案：D
2．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
6－1. (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π
4上的最大值和最小值．
解析：(1)∵f (x )＝4cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π6＋cos x sin π
6－1 ＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6， ∴函数f (x )的最小正周期为π.
(2)∵－π6≤x ≤π4，∴－π6≤2x ＋π6≤2π3.∴当2x ＋π6＝π2，即x ＝π
6时，函数f (x )取得最大值2；
当2x ＋π6＝－π
6
，
即x ＝－π
6时，函数f (x )取得最小值－1.
1. (2013·佛山一模)函数y ＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π
3 的最小正周期为________，最大值是________．
解析：因为函数y ＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin x ＋12sin x －3
2cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 所以函数的周期为T ＝2π
1＝2π；
函数的最大值为： 3. 答案：2π 3
2．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos 2x (x ∈R )．
(1)当x 取什么值时，函数f (x )取得最大值？并求其最大值． (2)若θ为锐角，且f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8＝2
3，求tan θ的值．
解析：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2⎝⎛
⎭
⎫22sin 2x ＋22cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
4. ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π
8(k ∈Z )时，函数f (x )取得最大值，其最大值为 2.
(2)∵f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8＝23， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝23. ∴cos 2θ＝1
3
.
∵θ为锐角，即0<θ<π
2，∴0<2θ<π.
∴sin 2θ＝
1－cos 22θ＝22
3
.
∴tan θ＝sin θcos θ＝2sin θcos θ2cos 2
θ＝sin 2θ1＋cos 2θ＝2
2
.。