2020天津高三数学一轮复习课件8.4 椭圆

因为|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,
所以|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,
即 2a=2×2c,������������ = 12.
又 c2=a2-b2,解
4 ������2
+
3 ������2
=
1,
������2 = ������2-������2, 得
������ ������
焦距
|F1F2|= 2c
离心率
������
e= ������
∈(0,1)
a,b,c 的关系 c2=a2-b2 -4-
知识梳理 双基自测
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭
圆.( × )
(2)椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形.( √ ) (3)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其 中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( √ )
所以 2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2. 所以|PF1||PF2|=2b2. 所以������△������������1������2 = 12|PF1||PF2|=12×2b2=b2=9. 所以 b=3.
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考点1
考点2
考点3
(2)设椭圆的标准方程为������������22 + ������������22=1(a>b>0). 由点 P(2,√3)在椭圆上,知���4���2 + ���3���2=1.
A.13
B.12
C.√22
D.2√3 2
解析 因为椭圆 C 的一个焦点为(2,0),所以其焦点在 x 轴上,c=2.
因为 a2-4=c2,所以 a2=8,a=2√2,所以椭圆 C 的离心率 e=������������ = √22.
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知识梳理 双基自测
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4.若关于 x,y 的方程 ������2 + ������2 =1 表示椭圆,则 k 的取值范围
(2)已知一个椭圆的中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,P(2,√3)是 椭 为圆���8���2上+的���6���2一=点1 ,.且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的标准方程
思考如何灵活运用椭圆的定义解决有关问题?
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考点1
考点2
考点3
解析 (1)由椭圆的定义知|PF1|+| ������������2, 故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, 则(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2,
5-������ ������-3
是 (3,4)∪(4,5) .
5-������ > 0, 解析 由已知得 ������-3 > 0, 解得 3<k<5,且 k≠4.
5-������ ≠ ������-3,
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知识梳理 双基自测
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方5程.已为知1���椭���62 +圆���������4���������222=+1
������������22=1(a>b>0)的离心率为√23,短轴长为 .
4,则椭圆的
解析 由题意可知 e=������������ = √23,2b=4,得 b=2,
∴
������ ������
=
√3 2
,
������2 = ������2
+
������2
=
4
+
解得 ������2,
������ ������
8.4 椭圆
知识梳理 双基自测
1.椭圆的定义
平面内到两个定点F1,F2的距离的和 等于常数 (大于|F1F2|)的 点的轨迹叫做椭圆.这两个定点F1,F2叫做椭圆的 焦点 .
注:若点M满足|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为
常数,则
(1)当 2a>|F1F2|
=
1 2
,
������2 = 8, ������2 = 6,
故椭圆的标准方程为������2
8
+
���6���2=1.
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考点1
考点2
考点3
解题心得1.在利用椭圆的定义解题时,一方面要注意到常数 2a>|F1F2|这个条件;另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦 点所组成的焦点三角形中的数量关系.
时,点M的轨迹是椭圆;
(2)当 2a=|F1F2|
时,点M的轨迹是线段;
(3)当 2a<|F1F2|
时,点M的轨迹不存在.
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知识梳理 双基自测
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x2 a2
+
by22=1(a>b>0)
y2 a2
+
x2 b2
=1(a>b>0)
图形
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知识梳理 双基自测
标准方程
= 4, = 2√3,
∴椭圆的标准方程为������2
16
+
���4���2=1.
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考点1
考点2
考点3
考点 1 椭圆的定义及其标准方程
例 1(1)已知 F1,F2 是椭圆 C:������������22 + ������������22=1(a>b>0)的两个焦点,P 为 椭圆 C 上的一点,且������������1 ⊥ ������������2.若△PF1F2 的面积为 9,则 b= 3 .
A.2√2
B.2√3
C.2√5 D.4√2
解析 由椭圆的定义可知,椭圆上的任意点 P 到两个焦点的距离 之和为 2a=2√5,故选 C.
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知识梳理 双基自测
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3.(2018 全国Ⅰ,文 4)已知椭圆 C:������������22 + ���4���2=1(a>0)的一个焦点为
(2,0),则 C 的离心率为( C )
(4)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( × )
(5)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆
. (√ )
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知识梳理 双基自测
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2.(2018
上海,13)设
P
是椭圆������ 2
+
������
2
=1
上的动点,则点
P
到该椭圆
53
的两个焦点的距离之和为( C )
范围
x2 a2
+
by22=1(a>b>0)
-a≤x≤a
-b≤y≤b
y2 a2
+
bx22=1(a>b>0)
-b≤x≤b
-a≤y≤a
对称性 对称轴:坐标轴
对称中心:原点
性 顶点 质
轴
A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) 长轴 A1A2 的长为 2a 为 2b
A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0) ;短轴 B1B2 的长