高考数学压轴专题无锡备战高考《不等式》知识点总复习有答案解析

《不等式》知识点汇总(1)
一、选择题
1．已知函数24,0
()(2)1,0
x x f x x
x x ⎧+>⎪
=⎨⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(2,)+∞
B ．(4,)+∞
C ．(2,4)
D ．(3,4)
【答案】A 【解析】 【分析】
画出函数()f x 的图象,再根据基本不等式求解4
y x x
=+的最小值,数形结合求解即可. 【详解】
画出函数()f x 的图象,如图所示.当0x >时,4()4f x x x
=+
….设()2g x m =,则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根,即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可
知,24m >,即2m >,故实数m 的取值范围是(2,)+∞.
故选：A 【点睛】
本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.
2．若33
log (2)1log a b ab +=+42a b +的最小值为（ ）
A ．6
B ．83
C ．
163
D ．
173
【答案】C 【解析】 【分析】
由33
log (2)1log
a b ab +=+21
3b a
+=，且0,0a b >>，又由
12142(42)3a b a b b a ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.
【详解】
因为3log (2)1a b +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，
所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得21
3b a
+=，且0,0a b >>，
所以12118211642(42)()(8)(83333
a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a
=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.
3．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )
A ．12万元
B ．16万元
C ．17万元
D ．18万元
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果. 【详解】
设每天甲、乙产品的产量分别为x 吨、y 吨由已知可得3212,
28,0,0,
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩
目标函数34z x y =+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，
可得目标函数在点P 处取得最大值，由28,
3212,
x y x y +=⎧⎨+=⎩得()2,3P ，则
max 324318z =⨯+⨯=（万元）.选D.
【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
4．设变量,x y 满足约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D 【解析】 【分析】
由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】
根据约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
画出可行域如图：目标函数z ＝5x +y 可化为y ＝-5x +z ，
即表示斜率为-5，截距为z 的动直线，由图可知，
当直线5z x y =+过点()1,0A 时，纵截距最大，即z 最大， 由21
1
x y x y +=⎧⎨
+=⎩得A （1，0）
∴目标函数z ＝5x +y 的最小值为z ＝5 故选D
【点睛】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
5．若实数,,a b c ，满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，，则c 的最大值是（ ） A ．
43
B ．2log 3
C ．
25
D ．2
4log 3
【答案】D 【解析】 【分析】
利用基本不等式求出2a b +的最小值后可得2
21
a b a b ++-的最大值，从而可得2c 的最大值，故可
得c 的最大值. 【详解】
因为222a b a b ++=，故222222a b a b a b a b +++=≥⨯= 整理得到24a b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立.
又因为2222a b c a b c ++++=，故2114
211212133
a b c
a b a b +++==+≤+=--，
当且仅当1a b ==时等号成立，故max 24
log 3
c =. 故选：D. 【点睛】
本题考查基本不等式的应用以及指数不等式的解，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果多变量等式中有和式和积式的关系，则可利用基本不等式构造关于和式或积式的不等式，通过解不等式来求最值，求最值时要关注取等条件的验证.
6．已知α，β均为锐角，且满足()
sin 2cos sin αβαβ
-=，则αβ-的最大值为（ ）
A ．
12
π
B ．
6
π C ．
4
π D ．
3
π 【答案】B 【解析】
【分析】
利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则
,22
ππαβ⎛⎫
-∈- ⎪⎝
⎭
，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差
的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由
()
sin 2cos sin αβαβ
-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=，
即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，
化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=， 所以
()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan αββ
αβαββ
ββ
--=
==
+++，
又因为β为锐角，所以tan 0β>，
根据基本不等式
2
1
33tan tan ββ
≤
=
+，
当且仅当tan 3
β=时等号成立， 因为,22ππαβ⎛⎫-∈-
⎪⎝⎭
，且函数tan y x =在区间,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递增，
则αβ-的最大值为6
π
. 故选:B . 【点睛】
本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.
7．已知变量,x y 满足2402400x y x y x +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则24x y --的最小值为（ ）
A
B ．8 C
D ．
163
【答案】D 【解析】 【分析】
2
2
24
2451
2
x y x y ----=⨯
+，而
2
2
24
12
x y --+表示点(,)x y 到直线240x y --=的距
离，作出可行域，数形结合即可得到答案. 【详解】
因为2
2
2424512
x y x y ----=⨯
+，所以24x y --可看作为可行域内的动点到直线
240x y --=的距离的5倍，如图所示，
点44
(,)33
A 到直线240x y --=的距离d 最小，此时22
442433
3512d -⨯-==+ 所以24x y --16
53
d =. 故选：D. 【点睛】
本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.
8．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的
一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x
f x =的两对“线性对称点”，则c
的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+
C ．
43
D ．3log 41-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据已知有333b c a b c a ++++=，可得1313
1
c
a b
+=+
-，只需求出3a b +的最小值，根据
333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.
【详解】
依题意知，a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”， 所以33323323a b a b a b a b ++=+=≥⋅， 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）. 又+a b 与c 为函数()3x f x =的
“线性对称点， 所以333b c a b c a ++++=，
所以314
3131313
a b c
a b a b +++==+≤--，
从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】
本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.
9．已知不等式组y x
y x x a ≤⎧⎪
≥-⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积为9，若点
， 则
的最大值为（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：
则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1
292
S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，
由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.
10．已知0a >，0b >，且()12
2y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ ） A ．
18
B ．
14
C ．
12
D ．
34
【答案】A 【解析】 【分析】
根据()1
22y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 1
22
a b =⋅利用基本不等式求解. 【详解】
因为()12
2y a b x =+为幂函数， 所以21a b +=， 又因为0a >，0b >，
所以ab 2
1121
22228
a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，
当且仅当21a b +=，2a b =即11
,24
a b ==取等号. 所以ab 的最大值为 1
8
. 故选：A 【点睛】
本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.
11．已知函数()2
814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，
(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）
A ．-4
B ．-3
C ．-2
D ．-1
【答案】C 【解析】 【分析】
由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为
()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.
【详解】
由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，
由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()
21f x
-＃-，
此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.
当3a >-时，()2
2814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，
即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.
12．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元 B ．360千元
C ．400千元
D ．440千元
【答案】B 【解析】
设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：
2348069600,0,x y x y x y x N y N
+≤⎧⎪+≤⎪
⎨
≥≥⎪⎪∈∈⎩， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值. 绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知： 目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.
点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．
13．已知x ，y 满足约束条件02340x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）
A ．2
B ．
1
2
C ．-2
D ．12
-
【答案】A 【解析】 【分析】
由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A ，代入可构造方程求得结果. 【详解】
由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：
当直线:l y ax z =-+经AOB V 区域时，当l 过点()2,0A 时，在y 轴上的截距最大， 即()2,0A 为最优解，42a ∴=，解得：2a =. 故选：A . 【点睛】
本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.
14．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】
【分析】
通过列举，和推理证明可以推出充要性.
【详解】
若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞
； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞；
故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】
本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．
15．已知M 、N 是不等式组1,1,10,6
x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是（ ）
A
B
C
．D ．172
【答案】A
【解析】
【分析】 先作可行域，再根据图象确定MN 的最大值取法，并求结果.
【详解】
作可行域，为图中四边形ABCD 及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN 的最大值为
选A.
【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
16．若实数x ，y 满足不等式组11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
，则2x y +的最小值是( )
A ．3
B ．32
C ．0
D ．3- 【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数2z x y =+可得2y x z =-+，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求Z 的最小值．
【详解】
解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC ∆，
由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距
把直线:2l y x =-向上平移到A 时，z 最小，此时由1y x y =⎧⎨
=-⎩
可得(1,1)A -- 此时3z =-，
故选：D ．
【点睛】
本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z 的意义是关键，属于中档题．
17．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是
A ．3
B ．4
C ．92
D ．112 【答案】B
【解析】
【详解】 解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭
，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥
18．已知,a b 都是正实数，则
222a b a b a b +++的最大值是（ ） A ．223- B ．322- C ．221 D ．43
【答案】A
【解析】
【分析】
设2,2m a b n a b =+=+，将
222a b a b a b +++，转化为2222233a b n m a b a b m n +=--++，利用基本不等式求解.
【详解】
设2,2m a b n a b =+=+， 所以22,33
m n n m a b --==，
所以2222222333
a b n m a b a b m n +=--≤-=-++， 当且仅当
233n m m n =时取等号.
所以222a b a b a b +++的最大值是23
-. 故选：A
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
19．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<
”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项.
【详解】
充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-，
所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-， 整理得，22
12cos a b C ab
++>，
由基本不等式，222a b ab ab
+≥=， 当且仅当a b =时等号成立，
此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；
必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-=
=>⨯⨯， 故3C π
<，但228ab c =<，故3C π
<推不出2ab c >.
故必要性不成立；
故p 是q 的充分不必要条件.
【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.
20．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值.
【详解】
将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：
长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径，
设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，
因为三棱锥外接球的表面积为8π，
则284R π=π， 解得2R =，所以体对角线为2， 所以2228x y z ++=，
111222
S yz xy xz =++侧面积 由于()()()()222
222240x y z S x y y x x z ++-=-+-+-≥， 所以416S ≤，故4S ≤，
即三棱锥的侧面积之和的最大值为4，
故选：B.
本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.。