专题01 截长补短模型证明问题(基础训练)(解析版)

专题01 截长补短模型证明问题1、如图，AC平分∠BAD，CE∠AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.
解析：如图，在EA上取点F,使EF=BE,连接CF,
∠CE∠AB
∠CF=CB
∠CFB=∠B
∠∠AFC+∠CFB=180°，∠D+∠B=180°
∠∠D=∠AFC
∠AC平分∠BAD
即∠DAC=∠FAC
在∠ACD和∠ACF中
∠D=∠AFC
∠DAC=∠FAC
AC=AC
∠ACD∠∠ACF（AAS）
∠AD=AF
∠AE=AF+EF=AD+BE
2、如图，已知在∠ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD
解析：在AB上取一点E,使AE=AC,
连接DE,
∠AE=AC,∠1=∠2，AD=AD
∠∠ACD∠∠AED
∠CD=DE,∠C=∠3
∠∠C=2∠B
∠∠3=2∠B=∠4+∠B
∠∠4=∠B，∠DE=BE,CD=BE
∠AB=AE+BE
∠AB=AC+CD
3、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求证：AD平分∠CDE.
解析：
延长CB至点F,使BF=DE,连接BF=DE,连接AF,AC
∠∠1+∠2=180°，∠E+∠1=180°
∠∠2=∠E
∠AB=AE,∠2=∠E,BF=DE
∠∠ABF∠∠AED
∠F=∠4，AF=AD
∠BC+BF=CD
即FC=CD
又∠AC=AC
∠∠ACF∠∠ACD
∠∠F=∠3
∠∠F=∠4
∠∠3=∠4
∠AD平分∠CDE.
4、已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,
∠ADC
求证：∠PBQ=90°-1
2
解析：
如图2，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK,
∠∠ABC+∠ADC=180°
∠∠BAD+∠BCD=180°
∠∠BCD+∠BCK=180°
∠∠BAD=∠BCK
在∠BAP 和∠BKC 中
AP=CK
∠BAP=∠BCK
AB=BC
∠∠BPA∠∠BKC （SAS ）
∠∠ABP=∠CBK,BP=BK
∠PQ=AP+CQ
∠PQ=QK
∠在∠BPQ 和∠BKQ 中
BP=BK
BQ=BQ
PQ=KQ
∠∠BPQ∠∠BKQ(SSS)
∠∠PBQ=∠KBQ
∠∠PBQ=12∠ABC ∠∠ABC+∠ADC=180°
∠∠ABC=180°-∠ADC
∠12∠ABC=90°-12∠ADC
∠∠PBQ=90°-12∠ADC
5、如图，A 、P 、B 、C 是∠O 上四点，∠APC =∠CPB =60°．
（1）判断∠ABC 的形状并证明你的结论；
（2）当点P 位于什么位置时，四边形PBOA 是菱形？并说明理由．
（3）求证：P A+PB=PC．
【答案】（1）∠ABC是等边三角形，证明见解析；（2）当点P位于AB中点时，四边形PBOA是菱形，理由见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，则可得∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断∠ABC的形状；
（2）当点P位于AB中点时，四边形PBOA是菱形，通过证明∠OAP和∠OBP均为等边三角形，得到OA=AP=OB=BP即可得证；
（3）在PC上截取PD=AP，则∠APD是等边三角形，然后证明∠APB∠∠ADC，证明BP=CD即可得证结论．【详解】
（1）∠ABC是等边三角形．
证明如下：在∠O中，
∠∠BAC与∠CPB是BC所对的圆周角，∠ABC与∠APC是AC所对的圆周角，
∠∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∠∠APC=∠CPB=60°，
∠∠ABC=∠BAC=60°，
∠∠ABC为等边三角形；
（2）当点P位于AB中点时，四边形PBOA是菱形，
如图1，连接OP．
∠∠AOB=2∠ACB=120°，P是AB的中点，
∠∠AOP=∠BOP=60°
又∠OA=OP=OB，
∠∠OAP和∠OBP均为等边三角形，
∠OA =AP =OB =PB ，
∠四边形PBOA 是菱形；
（3）如图2，在PC 上截取PD =AP ，
又∠∠APC =60°，
∠∠APD 是等边三角形，
∠AD =AP =PD ，∠ADP =60°，即∠ADC =120°．
又∠∠APB =∠APC +∠BPC =120°，
∠∠ADC =∠APB ．
在∠APB 和∠ADC 中，
APB ADC ABP ACD AP AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∠∠APB ∠∠ADC （AAS ），
∠BP =CD ，
又∠PD =AP ，
∠CP =BP +AP ．
【点睛】
本题考查圆内接多边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键．
6、如图所示，AB∠CD,BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.
解析：
在BC上取点F，使BF=AB
∠BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线
∠∠ABE=∠FBE,∠BCE=∠DCE
∠AB∠CD
∠∠A+∠D=180°
在∠ABE和∠FBE中
AB=FB
∠ABE=∠FBE
BE=BE
∠∠ABE∠∠FBE（SAS）
∠∠A=∠BFE
∠∠BFE+∠D=180°
∠∠BFE+∠EFC=180°
∠∠EFC=∠D
在∠EFC和∠EDC中，
∠EFC=∠D
∠BCE=∠DCE
CE=CE
∠∠EFC∠∠EDC（AAS）
∠CF=CD
∠BC=BF+CF
∠BC=AB+CD
7、四边形ABCD中，BD＞AB,AD=DC,DE∠BC,BD平分∠ABC （1）证明：∠BAD+∠BCD=180°
（2）DE=3,BE=6,求四边形ABCD的面积.
【解析】（1）过点D作BA的垂线，得∠DMA∠DEC（HL）
∠∠ABC+∠MDE=180°，∠ADC=∠MDE
∠∠ABC+∠ADC=180°
∠∠BAD+∠BCD=180°
（2）S四边形ABCD=2S∠BED=18
8、已知：在∠ABC中，AB=CD-BD,求证：∠B=2∠C.
【解析】在CD上取一点M使得DM=DB
则CD-BD=CM=AB
∠∠AMD=∠B=2∠C
9、如图，∠ABC中，BD∠AC于点D，CE∠AB于点E，且BD,CE交于点F，点G是线段CD上一点，连接AF，GF，若AF=GF,BD=CD.
求∠CAF的度数
判断线段FG与BC的位置关系，并说明理由.
【解析】
（1）延长AF与BC交于点M，可知AF∠BC
∠BD=DC，BD∠DC∠∠FBC=45°
∠AF=FG，FD∠AG∠∠AFD=GFD=45°
∠AF∠GF
∠∠CAF=45°
（2）由（1）可证FG∠BC。