2018数学文一轮课件：6-2-1 等差数列的概念及运算 精品

等差数列的前 n 项和公式： Sn＝na12＋an＝na1＋nn2－1d .
5 等差数列的单调性 当 d>0 时，数列{an}为 递增 数列； 当 d<0 时，数列{an}为 递减 数列； 当 d＝0 时，数列{an}为 常数列．
注意点 定义法证明等差数列时的注意事项
(1)证明等差数列时，切忌只通过计算数列的 a2－a1，a3－a2，a4－a3 等有限的几个项的差后，发现它 们都等于同一个常数，就断言数列{an}为等差数列．
【解题法】 等差数列的判定方法 (1)定义法：对于 n≥2 的任意自然数，验证 an－an－1 为同一常数． (2)等差中项法：验证 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立． (3)通项公式法：验证 an＝pn＋q. (4)前 n 项和公式法：验证 Sn＝An2＋Bn.
撬题·对点题 必刷题
an＋1－an＝d，d 为常数 ．
2 等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项，且 A＝a＋2 b .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 等差数列的通项公式及其变形
通项公式：
an＝a1＋(n－1)d
an＝am＋(n－m)d，m，n∈N* .
4 等差数列的前 n 项和
，其中 a1 是首项，d 是公差．通项公式形：
命题法 1 等差数列的基本运算 典例 1 等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn.已知 a10＝30，a20＝50. (1)求通项 an； (2)若 Sn＝242，求 n.
[解] (1)由 an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50， 得方程组aa11＋ ＋91d9＝ d＝305， 0. 解得 a1＝12，d＝2.所以 an＝2n＋10；
命题法 2 等差数列的判定与证明 典例 2 数列{an}满足 a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2. (1)设 bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式．
[解] (1)证明：∵an＋2＝2an＋1－an＋2， ∴bn＋1－bn＝an＋2－an＋1－(an＋1－an) ＝2an＋1－an＋2－2an＋1＋an＝2. ∴{bn}是以 1 为首项，2 为公差的等差数列． (2)由(1)得 bn＝1＋2(n－1)，即 an＋1－an＝2n－1， ∴a2－a1＝1，a3－a2＝3，a4－a3＝5， …，an－an－1＝2n－3，累加法可得 an－a1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)＝(n－1)2， ∴an＝n2－2n＋2.
高考数学·文
第六章 数列
第2讲 等差数列及前n项和
考点一 等差数列的概念及运算
撬点·基础点 重难点
1 等差数列的定义
一般地，如果一个数列 从第 2 项起 ，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数 ，那么这个数列
就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示，定义的表达式为
(2)由 Sn＝na1＋nn－2 1d，Sn＝242， 得方程 12n＋nn－2 1×2＝242， 解得 n＝11 或 n＝－22(舍去)．
【解题法】 等差数列计算中的两个技巧 (1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两 个，体现了用方程的思想解决问题． (2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量， 用它们表示已知和未知是常用方法．
解析 ∵S3＝3a1＋ 2 a3＝3a2＝12，∴a2＝4. ∵a1＝2，∴d＝a2－a1＝4－2＝2. ∴a6＝a1＋5d＝12.故选 C.
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 等差数列的定义，通项公式及前 n 项和公式是高考中常考内容，用定义判断或证明等 差数列，由 n，an，Sn，a1，d 五个量之间的关系考查基本运算能力．
2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3＝6，a3＝4，则公差 d 等于( )
A．1
5 B.3
C．2
D．3
解析 因为 S3＝a1＋a23×3＝6，而 a3＝4.所以 a1＝0，所以 d＝a3－2 a1＝2.
3．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝2，S3＝12，则 a6 等于( ) A．8 B．10 C．12 D．14
(2)用定义法证明等差数列时，常采用 an＋1－an＝d，若采用 an－an－1＝d，则 n≥2，否则 n＝1 时无意义.
1．思维辨析 (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an＋an＋2.( √ ) (3)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的．( √ ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数．( × ) (5)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数．( × )