2006年等级教练员全国统一考试题解答

2006年(上)小学数学竞赛贰级教练员考试试卷答案
（1-8填空题,每题5分；9-17解答题,每题10分;18三选一,20分,共150分） 1．十六进制（满16进1）采用数字0-9和字母A-F 共16个数字符号，这些数字与十进制数字的对应关系如下表：
例如，用十六进制的数字：E+D=1B 。

试用这种数字表示下面的乘积： A ×B=___________。

解：∵A 表示十进制数10，B 表示11，∴A ×B 表示10×11=110，110=16×6＋14，∴A ×B=6E 。

2．已知，6
C ,
5
B ,
2
A
是3个最简真分数。

若把这3个分数的分子都加上B ，则所得的3
个分数的和是15
68。

原来这3个最简真分数分别是________________。

解：由
15
686
B C 5
B B 2
B A =+++++ 得
15
6830
C
5B 32A 15=
++。

所以，15A ＋32B ＋5C=136。

由条件可知，A=1，C=1或5。

经试算，只有A=1，B=3，C=5符合条件。

故所求的三个最简分数是
6
5,53,21。

3．某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球。

那么，
这个班至少有___________名学生这三项运动都会。

解1：根据题意，不会游泳、不会骑自行车和不会打乒乓球的人数分别是21、15和8。

故至少有一项不会的最多为21＋15＋8=44（人），由此，三项都会的至少有48－44=4（人）。

解2：会游泳、又会骑自行车的至少有27+33－48=12（人）。

所以，这三项运动都会的至少有12+40－48= 4（人）。

4．设有)365n
(n ≤个人，每人的生日都不是2月29日，则这n 个人生日互不相同的概
率是________________。

（一年按365天计算）
解：因为1个人的生日有365种可能的状况，2个人的生日有3652种可能的状况，…，n 个人的生日有365n 种状况。

其中n 个人的生日互不相同的状况有!n C n
365⨯种。

所以，
n 个人的生日互不相同的概率是
n
n 365
365
!
n C ⨯。

5．如图，长方形ABCD 中，AB=20cm ，BC=18cm ，E 是AB 的中
点，F 、G 分别在AD 、BC 上，AF=
3
1AD ，BG=
3
2BC ，H 是CD
上的任意一点，则图中阴影部分的面积是_____________。

解：S=
2
1×(20÷2)×18＋
2
1×(18÷3)×20=90＋60=150(cm 2)。

6．已知：△ABC 是等腰三角形，高AD=
2
1BC 。

则
∠BAC=_______________。

解：(1)如果BC 是等腰三角形的底边，则AD=BD=CD ，所以，∠BAC=90°。

(2)如果BC 是等腰三角形的腰，(如图) 则∵AD=
2
AB 2
BC =，
∴∠B=30°，∠BAC=
︒=︒
-︒752
30180。

7．用大小相同的黑、白两种正方形瓷砖铺成如下的图案序列：
则图案中黑色瓷砖的块数的通项公式是_____________________。

解：⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧+=.n ,2
n ;n ,21
n a 2
2n
是偶数如果是奇数如果 8．有两张正方形纸，它们的边长都是整厘米数，大的一张的面积比小的一张的面积多
44cm 2。

大、小正方形纸的边长分别是________与_________。

解：设大小正方形的边长分别是a ㎝和b ㎝。

则a 2－b 2=44，即(a －b)(a ＋b)=2×2×11 ∴⎩⎨
⎧=-=+4
b a 11b a 或 ⎩⎨
⎧=-=+2
b a 22b a 或 ⎩⎨
⎧=-=+1
b a 44b a
∵边长a ，b 都必须是整厘米数，∴a ＋b 与a －b 必须奇偶性相同，所以，只能是
⎩⎨⎧=-=+2b a 22b a ，解得⎩⎨
⎧==10
b 12
a 。

9．已知：a, b, c 中有一个数是7，一个是8，一个是9。

求证：(a －1)(b －2)(c －3) 必然是偶数。

证明1：因为a 、b 、c 中有两个奇数，一个偶数，所以a 、c 中至少有一个是奇数，从而a －1、c －3中至少有一个是偶数，因此(a －1)(b －2)(c －3)是偶数。

证明2：假设(a －1)(b －2)(c －3)是奇数，则a －1，b －2，c －3都是奇数。

因此，a ，c 是偶数，并且b 是奇数。

这和已知条件“a ，b ，c 中有两个奇数、一个偶数”矛盾。

所以(a －1)(b －2)(c －3)必然是偶数。

10．线段AB 的两端各有一个数3
1和
2
1。

现在按以下规律在线段上写出一些数：第一
次在AB 的中点C 写上
3
1和
2
1的算术平均数；第二次又在AC 和CB 的中点写上它们的
两端两个数的算术平均数（如下图）；…，如此继续。

第八次写完数以后，线段AB 上所有各数的和是多少？
A C
B A
C B
3
1
12
5
2
1 ，
3
1
24
9
12
5
24
11
2
1 ，…
（第一次） （第二次） 解：易见，从左至右各分点上的数成等差数列，并有： 第一次写数后，线段上的分点有2＋1个； 第二次写数后，线段上的分点有22＋1个； ……
第八次写数后，线段上的分点有28＋1个。

所以，线段AB 上所有各分点上的数之和是： ()
12
12852
2576
52
1221318
=
⨯=
+⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛+。

11．求方程 0x 2006y 22=-+的整数解。

解：原方程可化为 (x －y)(x ＋y)=2006
而2006=2×1003，所以有
（1）若x ，y 同奇偶，则x －y 、x ＋y 均为偶数，因而(x －y)(x ＋y)为4的倍数，不可能等于2006；
（2）若x ，y 一奇一偶，则x －y 、x ＋y 为奇数，因而(x －y)(x ＋y)为奇数，不可能等于2006。

综上所述可知：原方程无整数解。

12．糖果店开张了。

这家糖果店的糖果只有两种包装：要么4颗一包，要么7颗一包，不拆包零卖。

试问：哪些颗数的糖果在这里不好买？
解
易见，从18开始，连续出现能买的颗数在四个以上，因此，仅有1，2，3，5，6，9，10，13，17这9种颗数不能购买。

解2：4n＋1=4n＋4×2－7×1
4n＋2=4n＋4×4－7×2
4n＋3=4n＋7×1－4×1
∴当N≥7×2＋4×1=18时，都可以用4与7的正整数（或零）倍的和来表示。

经检验，当N<18时，对于N=1，2，3，5，6，9，10，13，17时，不存在这样的表示。

13．32支球队参加足球比赛，分成8个小组，每组4支球队。

每个小组内进行单循环赛（即每支球队都要和另外3支球队分别进行一场比赛），小组积分的前两名进入16强。

产生16强后，进行淘汰赛（即一场比赛决出胜负，胜者进入下轮比赛，负者被淘汰），决出8强；再进行淘汰赛，产生4强；4强仍进行淘汰赛，两支负队争夺第三名；两支胜队进入决赛，产生冠亚军。

试问：一共要举行多少场比赛？
解：先计算循环赛的场数：
因为，每个小组内4支球队进行循环比赛，各需赛3×4÷2=6（场）。

所以，8个小组共需比赛6×8=48（场）
再计算淘汰赛场数：
因为，每进行一场比赛淘汰一支球队，最后决出冠军共需进行16－1=15场比赛，再加上争夺第3名的一场比赛，共需进行15+1=16场比赛。

连同分组循环赛的场数，共要举行比赛48+16=64场。

14．如图，边长为1的正六边形F1在边长为2的正六边形F2内，并且它们有一个角重
合。

（1）设F
1在F
2
内滚动一周，F
1
旋转的度数是多少？
（2）如果F
1与F
2
边长的比是1︰n（n是正整数），则F
1
在F
2
内滚动一周后，F
1
旋转的
度数是多少？
解：（1）设最初正六边形F
1的∠1和正六边形F
2
的∠1`重合，则当F
1
动60°后，F
1的∠2就和F
2
的∠2`重合。

因此，滚动60°×6=360°后，
∠1与∠1`又将重合。

所以，F
1在F
2
内滚动一周，F
1
要旋转360°。

（2）当边长的比为1︰n 时，从∠1与∠1`重合到∠2与∠2`重合要滚动60°×(n-1)。

因此，滚动一周，F 1要旋转(n-1)×360°。

15．如图，在直线l 的同侧有七个正方形，它们的面积分别是1S ，2S ，…，7S 。

已
知：1S
解：设这些正方形的边长分别为a 1，a 2，a 3，…，a 7。

则由全等的直角三角形可知：a 12＋a 32=a 22，即S 2=S 1+S 3。

同理，S 4=S 3+S 5，S 6=S 5+S 7。

所以S 2 ∶S 4 ∶S 6=(1+3)∶(3+5)∶(5+7)=1∶2∶3。

16．已知：长方形ABCD 的边长分别为5cm 和12cm 。

在对角线AC 上有一点P ，AP=6cm 。

Q 是这个长方形边界上的点，△APQ 是等腰三角形。

有多少个这样的点Q ？试画图说明。

答：有_______个这样的点Q 。

解：∵点P 到AD 的距离小于6，∴P 到BC 的距离大于6。

又PD>6，所以， （1）设AP 是等腰三角形的腰，并且A 是等腰三角形的顶点。

则Q 在以A 为圆心、AP 为半径的圆上。

⊙(A ，AP)与长方形ABCD 的边界有两个交点； （2）设AP 是腰，并且P 是等腰三角形的顶点，则Q 在以P 为圆心、AP 为半径的圆上。

⊙(P ，AP)与长方形ABCD 的边界的交点除点A 外另有4个；
（3）如果AP 是等腰三角形的底边，则Q 在AP 的垂直平分线上。

AP 的垂直平分线与长方形ABCD 的边界也有两个交点。

因此，共有8个这样的点Q 。

17．已知：P 是正方形ABCD 内的一点，PA ∶PB ∶PC=1∶2∶
3。

求∠APB 。

分析：（1）在△APB 中，只根据PA ︰PB=1︰2，求∠APB 的度数是困难的，要设法应用其它条件。

（2）为了把条件PA ︰PB ︰PC=1︰2︰3集中到一个三角形
或四边形中，我们可以将△APB 绕B 沿顺时针方向旋转90°，到达△CQB 的位置，就
l
可以得出一个等腰直角三角形PBQ和另一个三角形PCQ，所要
求的角∠APB=∠CQB，它的一部分∠PQB=45°。

只要设法求
出∠PQC的度数，问题即可解决。

解：设PA、PB、PC分别为a，2a，3a。

将△APB绕点B顺时
针旋转90°，至△CQB位置，连PQ。

则∠APB=∠CQB CQ=AP=a，QB=PB=2a
∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=90°∴∠PQB=45°
∴PQ2=PB2+QB2=8a2，PQ2+CQ2=8a2+a2=9a2=PC2∴∠PQC=90°
∴∠BQC=45°+90°=135°
∴∠APB=∠BQC=135°
18．从下列各题中任选一题，分析解题思路，并解答。

（1）用数字卡片1，2，3，4，5摆出一个三位数和一个两位数，使它们的乘积最大。

试写出这个算式。

分析与解：①由abc·de =1000ad+100(ae+bd)+10(be+cd)+ce可知，a，d要尽可能大，而c，e要尽可能小，所以，a,d∈{4,5}，c,e∈{1,2}。

从而有b=3。

②试算、比较：431×52=22412 432×51=22032 531×42=22302 532×41=21812
所以，431×52为所求。

解2：①b=3时，ae+bd=ae+3d，be+cd=3e+cd。

(ae+3d)－(3e+cd)=(a－3)e+(3－c)d 要尽可能大。

∴e要尽可能大，c要尽可能小。

∴e=2，c=1。

②a31×d2 =1000×20+100(2a+3d)+10(6+d)+2 =20062+200a+310d
∴为使积尽可能大，应取a=4，d=5。

即应摆成的算式是431×52。

（2）怎样将0，1，2，…，9分别填入右边加法竖式的□内，使这个竖式正确。

如何向小学生讲清楚填写的思维过程？并计算有多少种正确的填法。

分析与解：
①∵从十位到百位最多只能有进位“1”，从百位到千位必须有进位“1”，∴百位上的加数只能是“9”，和的千位与百位分别是“1”、“0”。

右边待填的七个□里只能填{2，3，4，5，6，7，8}。

②考察个位，∵2+3+4=9，所以个位相加而不进位是不可能的。

只能是□+□+□=1□（等号左边的数字和比右边多9）。

此外，十位还有向百位的进“1”。

所以，横线上的五个□里的数字和将比横线下两个□里的数字和多19。

[(2+3+4+5+6+7+8)-19]÷2=8
即横线下两个□里的数字和为8。

可以分别填：(2，6)，(6，2)，(3，5)和(5，3)。

③假设和是1026，则加数的五个□里应该分别填{3，4，5，7，8}。

个位上的三个数的和是16，只能填3，5，8（有6种填法）。

十位上分别填4，7（有2种填法）。

共有12种填法。

④同理：当和是1062、1035或1053时，也各有12种填法。

总共有48种正确的填法。

（3）一个容器盛满了纯酒精。

第一次倒出10L 后，用水加满；第二次又倒出6L 后，再用水加满。

这时，容器内酒精与水的体积之比是7︰13。

求这个容器的容积。

（暂不考虑酒精与水混合后，总体积发生的变化）
分析和解：设容器的容积为x L 。

则容器内酒精与水的变动情况如下表：
由
13
7x
60
16x 6x )10x (=-
-⋅
-，得13x 2－320x+1200=0，即(13x －60)(x －20)=0，
∴x=
13
60<10(舍去)或x=20。

答：这个容器的容积是20L 。