2018-2019新疆乌鲁木齐市第四中学高一下学期期末考试数学试题

2018-2019学年新疆乌鲁木齐市第四中学高一下学期期末考
试数学试题
一、单选题
1、已知集合{|23}A x x =-≤≤，2
{|30}B x x x =-≤，则A
B =（ ）
A ．[2,3]-
B ．[2,0]-
C ．[0,3]
D ．[3,3]-
2、函数22,0,()ln ,0,
x x x f x x x ⎧+=⎨>⎩，则1e f f ⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）
A ．-1
B ．1
C ．e
D ．1
e
3、将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6
π
个单位长度得到()g x 图象，则函数的解析式是（ ）
A ．()sin 23g x x π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
B ．()sin 26g x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
C ．()sin 23g x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
D ．()sin 26g x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
4、已知向量a ，b 满足||1a =，1a b ⋅=-，则(2)a a b ⋅-=（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
5、若均为第二象限角，满足，，则（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
6、ABC ∆中，2,6,3
a b B π
===
，则sin A 的值是（ ）
A ．
12
B 2
C 3
D ．
123
7、已知等差数列{}n a 的公差不为零，n S 为其前n 项和，39S =，且21a -，31a -，51a - 构成等比数列，则5S =（ ） A ．15
B ．-15
C ．30
D ．25
8、下列命题中为真命题的是（ ）
①若a b a α⊥∥，，则b α⊥； ②若a b αα⊥⊥，，则a b ∥； ③若a a b α⊥⊥，，则//b α； ④若a a b α⊥∥，，则b α⊥. A ．①②
B ．①②③
C ．②③④
D ．①②④
9、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10、设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,
x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪
⎨-⎪⎪-⎩，则目标函数4z x y =-+的最大值为
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
11、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，121AB BC AA ，===，则1BC 与平面
11BB D D 所成角的正弦值为（ ）
A 6
B 25
C 15
D 10
12、已知tan 1α=，则212cos sin 2α
α
+=（ ）
A ．2
B ．-2
C ．3
D ．-3
二、填空题
13、如图所示，已知平面α
平面l β=，EA α⊥，垂足为A ，EB β⊥，垂足为B ，直
线a β⊂,a AB ⊥，则直线a 与直线l 的位置关系是__________.
14、角α的终边经过点(3,4)P -，则cos(
)2
π
α-=_____.
15、已知ABC ∆的三个顶点分别是(5,0)A -，(3,3)B -，(0,2)C ，则BC 边上的高所在直
线的斜截式方程为______.
16、ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +3a cos B =0，则B =___________.
三、解答题
17、已知等差数列{}n a 中，17a =-，315S =-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
18、如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =，6BD =．
（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；
（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长． 19、已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且
21()n n S a n N =-∈*.
（1）求数列{}n a 的通项公式
（2）求数列{}n na 的前n 项和n T 。

20、已知三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP ⊥ .若平面α分别与棱
PA PB BC AC 、、、相交于点,,,E F G H 且PC 平面α.
求证: （1）∥EH FG ； （2）AB FG ⊥.
21、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点． (1)求证：PA// 平面BDE ； (2)求证：平面PAC ⊥平面BDE ．
22、如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ,90BAD ∠=, 4AB =，2AD =，3DC =,点E 在CD 上，且2DE =，将ADE 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE （如图）. G 为AE 中点.
（Ⅰ）求证:DG ⊥平面ABCE ； （Ⅱ）求四棱锥D ABCE -的体积； （Ⅲ）求点B 到面ADC 的距离。

参考答案
1.A
2.A
3.C
4.B
5.B
6.B
7.D
8.A
9.D 10.C 11.D 12.A 13. 平行14.
4515. 335y x =+16. 34
π 17. （1）依题意，设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为32315S a ==-，所以25a =-，又17a =-， 所以公差2d =，
所以(1)n n a a n d =+-=72(1)29n n -+-=-． （2）由（1）知17a =-，2d =，
所以1(1)2n n n S na d +=+=(1)
72(8)2
n n n n n +-+⨯=- 18. （Ⅰ）在ABD 中，由正弦定理，得sin sin AD BD
ABD A
=∠∠．
因为60,A AD BD ︒∠===，
所以sin sin sin 60AD ABD A BD ︒∠=
⨯∠==
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，sin ABD ∠=， 因为90ABC ︒∠=，
所以()
cos cos 90sin CBD ABD ABD ︒∠=-∠=∠=． 在BCD ∆中，由余弦定理，
得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠．
因为2,CD BD ==
所以2462BC BC =+- 即2320BC BC -+=，
解得1BC =或2BC =． 又CD BC >，则1BC =． 19. （1）因为21n n S a =-， 当2n ≥时，1121n n S a --=-， 两式相减可得，1122n n n n S S a a ---=- 即122n n n a a a -=- 整理可得，12n n a a -=
11121a S a ==-，解得11a =，
所以数列{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列；
12n n a -∴=；
（2）由题意可得：0112222n
n T n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅， 所以12121222(1)22n n
n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+⋅
两式相减可得，121
12222n n
n T n --=+++⋅⋅⋅+-⋅12221212
n
n n n n n -=-⋅=--⋅-
∴221n n n T n =⋅-+. 20. 证明（1）因为PC
平面α，平面α
平面PAC EH =,PC ⊂平面PAC ，所以有
PC EH ,同理可证出PC FG ,根据平行公理，可得∥EH FG ；
（2）因为AB AC ⊥，AB AP ⊥，AP AC A ⋂=,,AP AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ,而PC ⊂平面PAC ,所以AB PC ⊥,由（1）可知PC FG EH ,所以
AB FG ⊥.
21. (1)证明：连结OE ，如图所示．
∵O ，E 分别为AC ，PC 的中点， ∴OE ∥PA.
∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， ∴PA ∥平面BDE.
(2)证明：∵PO ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥BD.
在正方形ABCD 中，BD ⊥AC. 又∵PO ∩AC ＝O ， ∴BD ⊥平面PAC. 又∵BD ⊂平面BDE ， ∴平面PAC ⊥平面BDE.
22. （Ⅰ）证明：因为G 为AE 中点，2AD DE ==， 所以DG AE ⊥.
因为平面ADE ⊥平面ABCE ， 平面ADE
平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ，
所以DG ⊥平面ABCE ． （Ⅱ）在直角三角形ADE 中，易求22AE =则2AD DE
DG AE
⋅== 所以四棱锥D ABCE -的体积为
1(14)25
22323
D ABC
E V -+⨯=⨯=．
（Ⅲ） 过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，则:1:3AF FB =． 过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ,则:1:3DP PB =． 又因为CF//A E ，AE ⊂平面,ADE CF ⊄平面ADE , 所以CF //平面ADE ． 同理//FP 平面ADE ． 又因为CF PF F ⋂=， 所以平面CFP //平面ADE ． 因为CP ⊂平面CFP ， 所以//CP 平面ADE ．
所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE ，且3
4
BP BD =。