欣宜市实验学校二零二一学年度初三数学三点共线不容忽视试题

黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度初三数学三
点一共线不容无视
□朱元生
四边形是初中几何的重要内容之一，也是中考的必考内容，它既是三角形知识的延续，又是学好相似形和圆的根底。

在四边形问题的解答过程中，不少同学常常无视三点一共线这一关键点，为引起同学们的重视，现略举几例加以剖析，供学习时参考。

一、解题过程中没有说明三点一共线
例1.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，OH ⊥AD于点H，依次连接EF，FG，GH和HE，试证明四边形EFGH为矩形。

图1
错解：因BD为菱形ABCD的对角线，所以∠ABD＝∠CBD。

又因为OE⊥AB，OF⊥BC，由角平分线性质得OE＝OF。

同理可得OF＝OG，OG＝OH，OH＝OE
即OE＝OF＝OG＝OH
所以四边形EFGH为平行四边形
因为OE＋OG＝OF＋OH，即EG＝FH
所以四边形EFGH为矩形
剖析：在上面的解题过程中，先说明了四边形EFGH的“对角线〞EG和FH互相平分，可得四边形EFGH为平行四边形，再说明“对角线〞EG＝FH，从而得到结论四边形EFGH为矩形。

外表上似乎推理严谨，无懈可击，其实不然，无论是，还是推理过程都没有说明E，O，G和F，O，H分别是同一条直线上的三点〔即三点一共线〕，所以上述解题过程中把EG和HF直接看做四边形EFGH的对角线是缺乏根据的，必须说明EG和FH分别是四边形EFGH的对角线后，上面的说理才能成立。

正解：因为OG⊥CD，AB∥CD，所以OG⊥AB
又OE ⊥AB ，那么线段OE 和OG 在同一条直线上。

即E ，O ，G 三点一共线，从而EG 为四边形EFGH 的对角线。

同理可知，FH 也是四边形EFGH 的对角线。

下略，可参考错解。

例2.如图2，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，DC ，BD ，AC 的中点，连接EG ，GH ，HF ，试证明()GH BC AD =-12。

图2
错解：因EH 是△ABC 的中位线，由中位线定理可得EH BC =12
同理EG 是△ABD 的中位线，那么EG AD =12 所以()GH EH EG BC AD BC AD =-=-=-121212 剖析：由“EH 是△ABC 的中位线〞和“GH EH EG =-〞可以看出，错解将线段EH 和折线EGH 默认为是同一个对象。

虽然事实上它们是同一个对象，但题设中并没有直接给出，需要证明E 、G 、H 三点一共线。

正解：容易证明EG ，GH ，HF 都和AD 平行，故E ，G ，H ，F 四点一共线〔这个结论是关键〕。

下略，可参考错解。

二、添加辅助线无视三点一共线
例3.如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为斜边AB 上的中线，试证明CD
AB =12。

图3
错解：过点A 作AF ∥CB ，过点B 作BG ∥CA 交AF 于点E ，连接DE 。

由两组对边分别平行可得四边形ACBE 为平行四边形。

因D 为对角线AB 的中点，由平行四边形的对角线互相平分，可知D 也为对角线CE 的中点，所以CD CE =
12。

因为∠ACB ＝90°，所以四边形ACBE 为矩形 从而AB ＝CE ，所以CD AB =12
剖析：该题“连接DE 〞后，默认C ，D ，E 三点一共线，CE 为过D 点的平行四边形ACBE 的对角线，这是缺乏根据的，应先将三点一共线这一条件说明。

正解：如图4，延长CD 至E ，使DE ＝CD ，连接AE ，BE 。

因D 为AB 的中点，所以AD ＝BD ，故四边形ACBE 为平行四边形。

图4
由∠ACB ＝90°，知四边形ACBE 为矩形
所以CE ＝AB 故CD CE AB ==1212
例4.如图5，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B 与∠C 互余，E ，F 分别为AD ，BC 的中点。

试证明()EF
BC AD =-12。

图5
错解：延长BA ，CD 交于点O ，连接OE 。

因∠B 与∠C 互余，故∠BOC ＝90°。

因E ，F 分别为AD ，BC 的中点 剖析：错解中“连接OE 〞后，默认O ，E ，F 三点一共线，导致EF ＝OF －OE 的结论。

结论虽然是正确的，但没有经过推导而得出的结论是不能作为解题条件来使用的。

正解：如图6，过E 作EG ∥AB ，EH ∥DC ，分别交BC 于G ，H 。

图6
那么AE ＝BG ，DE ＝CH ，∠B ＝∠1，∠C ＝∠2 结合条件，可得∠GEH ＝90°，F 为GH 的中点 所以()EF GH BC AD ==-1212。